|
Arithmétique
° Suite
arithmétique. – Suite dans
laquelle chaque nombre est relié d'une manière définie au précédent et au
suivant. Les suites arithmétiques de degré supérieur à 0 sont
formées, à partir d'un nombre choisi, par l'addition des termes successifs
d'une suite de degré immédiatement inférieur.
Le terme général d'une suite
arithmétique de degré n est un polynôme en n de même degré.
Les nombres 7, 9, 13, 20, 31, 47, ... forment une suite arithmétique du
troisième degré. Les différences des termes forment successivement des suites
de degrés 2, 1 et 0.
|
7 9 13 20 31
47
2 4 7 11
16
2 3 4 5
1 1 1 |
ß degré 3
ß degré 2
ß degré 1
ß degré 0 |
Les deux premiers termes d'une suite arithmétique de degré
1 étant p et q, le terme général est an + b, où n
correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (q - p)
et b = (2p - q). Par exemple, le terme général de la
suite 3, 7, 11, 15, 19, ... est (4n - 1).
Les trois premiers termes d'une suite arithmétique de degré 2 étant p,
q, r, le terme général est an² + bn + c,
où n correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (p
- 2q + r)/2, b = (-5p + 8q - 3r)/2, c
= 3p - 3q + r. Par exemple, le terme général de la suite
1, 3, 6, 10, 15, ... est (n2 + n)/2
ou n(n + 1)/2.
Les quatre premiers termes d'une suite arithmétique de degré 3 étant p,
q, r, s, le terme général est an3 + bn2
+ cn + d, où n correspond au rang du terme. Dans ce
polynôme, a = (-p + 3q - 3r + s)/6, b
= (3p - 8q + 7r - 2s)/2, c = (-26p + 57q
- 42r + 11s)/6, d = 4p - 6q + 4r - s.
Par exemple, le terme général de la suite 1, 4, 10, 20, 35, ... est (n3
+ 3n2 + 2n)/6 ou n(n
+ 1)(n + 2)/6.
Les cinq premiers termes d'une suite arithmétique de degré 4 étant p, q,
r, s, t, le terme général est an4 + bn3
+ cn2 + dn + e où n correspond au rang du
terme. Dans ce polynôme, a = (p - 4q + 6r - 4s
+ t)/24, b = (-7p + 26q - 36r + 22s - 5t)/12,
c = (71p - 236q + 294r - 164s + 35t)/24,
d = (-77p + 214q - 234r + 122s - 25t)/12
et e = 5p -10q + 10r - 5s + t. Par
exemple, le terme général de la suite 1, 5, 15, 35, 70, 126, ... est (n4
+ 6n3 + 11n2
+ n)/24 ou n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/24.
Les
problèmes de suites arithmétiques appartiennent à la classe des récréations numériques.
© Charles-É. Jean
Index
: A
|
Pour en savoir plus, lisez l'article : Les
suites arithmétiques : un univers à explorer.
|
