Accueil

Banque de problèmes récréatifs

Défis

Détente

Jeux de société

Quiz

Récréations cryptarithmiques

Récréations géométriques

Récréations logiques

Récréations magiques

Récréations numériques

Banque d'outils mathématiques

Aide-mémoire

Articles

Dictionnaire de mathématiques récréatives

Lexique de résolution de problèmes

Livres édités

Références

Contactez-nous


Dictionnaire de mathématiques récréatives

Arithmétique

° Suite arithmétique. Suite dans laquelle chaque nombre est relié d'une manière définie au précédent et au suivant. Les suites arithmétiques de degré supérieur à 0 sont formées, à partir d'un nombre choisi, par l'addition des termes successifs d'une suite de degré immédiatement inférieur. 

Le terme général d'une suite arithmétique de degré n est un polynôme en n de même degré. Les nombres 7, 9, 13, 20, 31, 47, ... forment une suite arithmétique du troisième degré. Les différences des termes forment successivement des suites de degrés 2, 1 et 0.

 7   9   13   20   31   47  
2   4     7    11   16
2    3     4     5 
1     1     1

 ß degré 3  
 ß
degré 2
 ß
degré 1
 ß
degré 0

Les deux premiers termes d'une suite arithmétique de degré 1 étant p et q, le terme général est an + b, où n correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (q - p) et b = (2p - q). Par exemple, le terme général de la suite 3, 7, 11, 15, 19, ... est (4n - 1).

Les trois premiers termes d'une suite arithmétique de degré 2 étant p, q, r, le terme général est an² + bn + c, où n correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (p - 2q + r)/2, b = (-5p + 8q - 3r)/2, c = 3p - 3q + r. Par exemple, le terme général de la suite 1, 3, 6, 10, 15, ... est (n2 + n)/2 ou n(n + 1)/2.

Les quatre premiers termes d'une suite arithmétique de degré 3 étant p, q, r, s, le terme général est an3 + bn2 + cn + d, où n correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (-p + 3q - 3r + s)/6, b = (3p - 8q + 7r - 2s)/2, c = (-26p + 57q - 42r + 11s)/6, d = 4p - 6q + 4r - s. Par exemple, le terme général de la suite 1, 4, 10, 20, 35, ... est (n3 + 3n2 + 2n)/6 ou n(n + 1)(n + 2)/6.

Les cinq premiers termes d'une suite arithmétique de degré 4 étant p, q, r, s, t, le terme général est an4 + bn3 + cn2 + dn + en correspond au rang du terme. Dans ce polynôme, a = (p - 4q + 6r - 4s + t)/24, b = (-7p + 26q - 36r + 22s - 5t)/12, c = (71p - 236q + 294r - 164s + 35t)/24, d = (-77p + 214q - 234r + 122s - 25t)/12 et e = 5p -10q + 10r - 5s + t. Par exemple, le terme général de la suite 1, 5, 15, 35, 70, 126, ... est (n4 + 6n3 + 11n2 + n)/24 ou n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/24.

Les problèmes de suites arithmétiques appartiennent à la classe des récréations numériques.

© Charles-É. Jean

Index : A

Pour en savoir plus, lisez l'article : Les suites arithmétiques : un univers à explorer.