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Gnomonique
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Tableau gnomonique.
–
Tableau de nombres partagé en gnomons
et dans lequel le premier nombre de chaque ligne est 1 et où les autres nombres
forment des suites arithmétiques dont
les raisons sont successivement un entier consécutif à partir de 2.
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1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
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1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
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1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
29 |
33 |
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1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
26 |
31 |
36 |
41 |
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1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
31 |
37 |
43 |
49 |
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1 |
8 |
15 |
22 |
29 |
36 |
43 |
50 |
57 |
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1 |
9 |
17 |
25 |
33 |
41 |
49 |
57 |
65 |
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1 |
10 |
19 |
28 |
37 |
46 |
55 |
64 |
73 |
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1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
51 |
61 |
71 |
81 |
De nombreuses propriétés se dégagent de ce tableau. En
voici quatre :
n Chacun des nombres placés dans le coin
inférieur droit d’un gnomon est un carré dont la racine correspond au rang
du gnomon. Par exemple, 36 est dans le sixième gnomon.
n La somme des nombres inclus
dans une figure carrée dont une diagonale est composée de carrés parfaits est
un carré parfait. Par exemple, (9 + 13 + 17) + (11 + 16 + 21) + (13 + 19 + 25)
= 144 = 122.
n La somme des nombres de
chaque gnomon est un cube dont la base est le plus petit nombre du gnomon. Par
exemple, 1 + 4 + 3 = 8 = 23, 1 + 5 + 9 + 7 + 5 = 27 = 33,
1 + 6 + 11 + 16 + 13 + 10 + 7 = 64 = 43.
n La somme des nombres de
chaque carré incluant tous les gnomons à partir de 1 est un carré parfait
dont la base est un nombre triangulaire. Par exemple, (1 + 3 + 5 + 7) + (1 + 4 +
7 + 10) + (1 + 5 + 9 + 13) + (1 + 6 + 11 + 16) = 100 = 102 = 43 +
62. La somme peut être décomposée en deux facteurs dont l’un est
le cube du nombre n de gnomons et l’autre le carré d’un nombre triangulaire
de rang (n - 1).
De ces deux dernières propriétés, on peut déduire que 13 + 23
+ 33 + .. + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.
Cette identité était connue dans l’Antiquité.
© Charles-É. Jean
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: G
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