Dictionnaire de mathématiques récréatives Carré parfait

Parfait

° Carré parfait – 1^e Nombre qui est le carré d'un entier naturel. Voici un tableau qui contient les 99 plus petits carrés parfaits :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Le terme général de rang n est n². La somme des n carrés parfaits consécutifs à partir de l'unité est égale à n(n + 1)(2n + 1)/6.

Un entier n'est pas un carré si son dernier chiffre est 2, 3, 7 ou 8 ; ou encore si son résidu est 2, 3, 5, 6 ou 8. Chaque carré parfait est divisible par 3 ou l’est quand on lui soustrait 1. Chaque carré parfait est divisible par 4 ou l’est quand on lui soustrait 1. Chaque carré parfait est divisible par 5 ou l’est quand on lui additionne ou soustrait 1. En retranchant l'unité à un carré parfait impair, le résultat est un multiple de 8.

On peut écrire des identités avec des carrés lorsque le premier terme est 3, 10, 21, 36, ... On a successivement 2, 3, 4, ... termes dans le premier membre et 1, 2, 3, ... termes dans le deuxième membre. Voici les quatre premières identités :

3² + 4² = 5²= 25

10² + 11² + 12² = 13²+ 14² = 365

21² + 22² + 23² + 24²= 25² + 26² + 27² = 2030

36² + 37² + 38² + 39²+ 40² = 41² + 42² + 43² + 44²= 7230

Le tableau suivant donne la suite des 39 premiers termes de ces identités.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		3	10	21	36	55	78	105	136	171
1	210	253	300	351	406	465	528	595	666	741
2	820	903	990	1081	1176	1275	1378	1485	1596	1711
3	1830	1953	2080	2211	2346	2485	2628	2775	2926	3081

Ce sont des nombres triangulaires de rangs pairs ou ceux qui ne sont pas hexagonaux. Le terme général est n(2n + 1). Tout carré parfait est appelé nombre carré quand il est représenté sous forme de points. Le carré parfait et le nombre carré ont donc, comme nombre, les mêmes propriétés.

2^e Carré qui peut être divisé en un nombre fini de petits carrés tous non congruents. Les petits carrés constituant le carré parfait en sont les éléments. Le nombre d'éléments du carré en est l'ordre. Le plus petit carré parfait connu mesure 112 unités de côté. Il est composé de 21 petits carrés. Il a été trouvé en 1978 par A. J. W. Duijvestijn (1927-1998). Le voici :

Un carré ne peut pas être divisé en petits carrés dont les aires forment la suite des carrés des entiers consécutifs. L'étude des carrés parfaits a des applications dans la distribution des intensités électriques ou dans la distribution en réseaux.

Les problèmes de partage du carré appartiennent à la classe des récréations de construction.

Index : P

Voir aussi Carré parfait dans l'Aide-mémoire.