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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Hexagonal

° Nombre hexagonal. – Nombre polygonal qui est engendré par un hexagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques hexagonaux. Le terme général est n(2n - 1). Les quatre plus petits hexagonaux peuvent être représentés ainsi :

Un nombre est hexagonal si, lui ayant soustrait 1, le résultat peut être décomposé en deux facteurs : un entier et le double de cet entier plus 3. Son rang est le plus petit facteur augmenté de 1. Pour trouver son successeur, on lui additionne quatre fois son rang et 1. Par exemple, 325 est un hexagonal car 324 = 12 × 27. Il est au rang 13. Son successeur est 325 + (4 × 13) + 1 = 378. Les 59 plus petits hexagonaux sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

1

6

15

28

45

66

91

120

153

1

190

231

276

325

378

435

496

561

630

703

2

780

861

946

1035

1128

1225

1326

1431

1540

1653

3

1770

1891

2016

2145

2278

2415

2556

2701

2850

3003

4

3160

3321

3486

3655

3828

4005

4186

4371

4560

4753

5

4950

5151

5356

5565

5778

5995

6216

6441

6670

6903

 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres formé de deux palindromes : 1 658 561 et 030.

Les unités est 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n premiers hexagonaux est un pyramidal hexagonal de rang n.

La différence de deux hexagonaux successifs est un gnomonique hexagonal.

Tout hexagonal est la différence de deux pyramidaux hexagonaux successifs.

Tout hexagonal est un triangulaire de rang impair.

Tout hexagonal de rang n est la somme du triangulaire de même rang et du triple du triangulaire de rang (n - 1).

Tout hexagonal de rang n est la somme de n et de quatre fois le triangulaire de rang (n - 1).

Tout entier est hexagonal ou est la somme d’au moins deux hexagonaux ou d’au plus six hexagonaux. (Fermat)

Trente-deux fois un hexagonal de rang n plus 4 est un carré de rang (8n - 2).

Tous les nombres parfaits sont hexagonaux.

L’ensemble des hexagonaux forme une suite arithmétique de degré 2.

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des hexagonaux des éléments de la première ligne et celle de la troisième ligne sont identiques ; de même, la somme des hexagonaux des éléments de la première colonne et celle de la troisième colonne sont identiques.

13

2

9

4

8

12

7

14

3

Soit H(n) un hexagonal de rang n, H(13) + H(2) + H(9) = H(7) + H(14) + H(3) = 484 ; de même, H(13) + H(4) + H(7) = H(9) + H(12) + H(3) = 444. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que H(2) + H(9) - [H(4) + H(7)] = 40. Pour écrire un hexagonal, on peut adopter un exposant qui pourrait être s (six) et la base serait le rang de l’hexagonal. Par exemple, 13s serait égal à 325. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire entre autres : 13s + 2s + 9s = 7s + 14s + 3s.

La suite des hexagonaux est la même que celle des étoilés triangulaires. Les hexagonaux sont des nombres figurés.

© Charles-É. Jean

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