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Résidu
Nombre d’un seul chiffre issu de l'addition des chiffres d'un
entier naturel et de la répétition, au besoin, de l'addition des chiffres du
résultat obtenu. Le résidu de la somme de deux nombres est égal au résidu de
la somme de leur résidu.
Cette propriété est le fondement de la preuve par 9
pour l’addition et la soustraction. Soit 569 + 247 = 816, le résidu de 569
est 2 et celui de 247 est 4. La somme des résidus est 6. Le résidu de 816 est
bien 6. On peut prendre des raccourcis comme ignorer les 0 ; regrouper les
chiffres dont la somme est 9 toutes les fois que c’est possible et ignorer les
9. On peut aussi regrouper certains chiffres, les additionner, trouver le
résidu de la somme et additionner les résidus.
Le résidu d’un nombre
correspond au reste de la division de ce nombre par 9. Par convention, le résidu
0 est remplacé par 9. Par exemple, si on divise 346 par 9, le résultat est 38 reste 4. Le
résidu de 346 est 4. La table suivante donne les résidus pour la somme des
résidus de 1 à 9.
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+
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
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4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Par exemple, si on prend deux nombres dont le résidu de l’un
est 7 et celui de l’autre 8, le résidu de ces deux nombres est 6 qui se
trouve à l’intersection de la ligne 7 et de la colonne 8. On peut trouver un
chiffre qui manque dans une addition en appliquant la théorie des résidus.
Soit 6*12 + 758 = 7170 où l'astérisque représente le chiffre manquant. Les
résidus sont respectivement 9, 2, 6. Le résidu des deux nombres additionnés
est 2 car 9 + 2 = 11. Il manque 4 pour que le résidu de la somme soit 6.
Le premier nombre est 6412.
Le résidu du produit de deux nombres est égal au résidu du
produit de leur résidu. Cette propriété est le fondement de la preuve par 9
pour la multiplication et la division. Soit 125 ´ 43
= 5375. Le résidu de 125 est 8 ; celui de 43 est 7. Le résidu de 8 ´
7 = 56 est 2 ; celui de 5375 est 2. La table suivante donne les résidus
pour le produit des résidus de 1 à 9.
|
´ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
3 |
3 |
6 |
9 |
3 |
6 |
9 |
3 |
6 |
9 |
|
4 |
4 |
8 |
3 |
7 |
2 |
6 |
1 |
5 |
9 |
|
5 |
5 |
1 |
6 |
2 |
7 |
3 |
8 |
4 |
9 |
|
6 |
6 |
3 |
9 |
6 |
3 |
9 |
6 |
3 |
9 |
|
7 |
7 |
5 |
3 |
1 |
8 |
6 |
4 |
2 |
9 |
|
8 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
9 |
|
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
On peut trouver un chiffre qui manque dans une
multiplication. Soit 126 ´ 83 = 10*58 où
l'astérisque représente le chiffre manquant. Les résidus sont respectivement
9, 2 et 5. On fait 9 ´ 2 = 18. Le résidu est 9. Le
chiffre qui manque est 9 - 5 = 4. Le produit est donc 10 458. La table ci-après
donne les résultats de résidus (première colonne) élevés à une puissance
de 1 à 9 (première ligne). Par exemple, le résidu de 78 est 4, ce
qui veut dire que le résidu de 2328 est 4 de même que le résidu de
5838.
|
an |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
4 |
8 |
7 |
5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
3 |
3 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
|
4 |
4 |
7 |
1 |
4 |
7 |
1 |
4 |
7 |
1 |
|
5 |
5 |
7 |
8 |
4 |
2 |
1 |
5 |
7 |
8 |
|
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
|
7 |
7 |
4 |
1 |
7 |
4 |
1 |
7 |
4 |
1 |
|
8 |
8 |
1 |
8 |
1 |
8 |
1 |
8 |
1 |
8 |
|
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
Le
résidu de la somme de neuf nombres consécutifs est 9.
Le résidu
des multiples de 3 est 3, 6 ou 9.
Le résidu
de la différence de deux nombres ayant les
mêmes chiffres est 9.
Le résidu
de la différence d’un nombre et de son
résidu est 9.
La période des résidus
des nombres triangulaires
correspond à un nombre de neuf chiffres : 136 163 199 ; deux
triangulaires dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.
La période des résidus
des carrés correspond à un nombre de neuf
chiffres : 149 779 419 ; deux carrés dont la différence de rang est
9 ont le même résidu.
La période des résidus
des nombres hexagonaux
correspond à un nombre de neuf chiffres : 166 193 139 ; deux
hexagonaux dont la différence de rang est 9 ont le même résidu.
La théorie des résidus s’applique notamment en
numérologie. Traditionnellement, chaque lettre correspond au résidu de son
rang alphabétique. Par exemple, M = 4 car elle est de rang 13 dont le résidu
est 4. Voici le tableau de correspondance :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
|
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
|
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
|
Le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre le résidu
est appelé persistance. La persistance de
2876 est 2, car on obtient son résidu en deux étapes : 2 + 8 + 7 + 6 = 23
et 2 + 3 = 5. Le résidu de RÉCRÉOMATH est : 9 + 5 + 3 + 9 + 5 + 6 +
4 + 1 + 2 + 8 = 7.
On peut justifier la validité de l'obtention d'un résidu
par les étapes suivantes :
1) On décompose le nombre donné en puissances de 10.
2) On divise chacun des termes par 9 en notant les restes.
3) On additionne les restes.
4) Si la somme est supérieure à 9, on refait les mêmes opérations sur cette
somme jusqu'à ce que le résultat soit inférieur à 10.
Pour trouver le résidu de 472, on écrit 400 + 70 + 2. On
divise 400 par 9 ; le reste est 4. On divise 70 par 9 ; le reste est 7. On
divise 2 par 9 ; le reste est 2. On fait : 4 + 7 + 2 = 13. On refait les mêmes
opérations ; le résidu est 4.
Voilà pourquoi, le résidu s'obtient par l'addition des
chiffres. Pour la même raison, 9 est neutre car le reste de la division de 9
par 9 est 0.
© Charles-É. Jean
Index
: R
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