Chapitre
4. Carrés de nombres
265.
Carré d’un nombre
Comment
savoir si un nombre est un carré ?
Étapes
• On
soustrait 1 au nombre donné.
• On
cherche si le résultat peut être décomposé en produit de deux nombres
qui diffèrent de 2.
• Si
le résultat peut être décomposé ainsi, le nombre donné est un carré.
Si non, il ne l’est pas.
Soit
à savoir si 189 est un carré. On fait : 189 –
1 = 188. On ne peut pas trouver de facteurs qui diffèrent de 2.
Le nombre 189 n’est pas un carré.
Soit
à savoir si 289 est un carré. On fait : 289 – 1
= 288. On peut écrire : 16 × 18 =
288. Le nombre 289 est un carré.
266.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au
carré ? (1)
Étapes
• On soustrait 1 au nombre choisi.
• On additionne 1 au nombre choisi.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats.
• On additionne 1.
Soit à trouver le carré de 13. On fait : 13 – 1 = 12, 13 +
1 = 14, 12 × 14 = 168 et 168 + 1 = 169. Le carré est 169.
267.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au
carré ? (2)
Étapes
• On soustrait 1 au nombre choisi.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne le nombre choisi.
• On additionne le résultat de la première ligne.
Soit à trouver le carré de 23. On fait : 23 – 1 = 22, 22
× 22 = 484, 484 + 23 = 507 et 507 + 22 = 529. Le carré est 529.
268.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au
carré ? (3)
Étapes
•
Soit n le nombre choisi,
on écrit la suite des n nombres impairs consécutifs à partir de 1.
•
On additionne les nombres de la suite.
Soit à trouver le carré de 9. On fait : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
+ 17 = 81. Le carré est 81.
269.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au
carré ? (4)
Étapes
•
On multiplie le nombre choisi par 2.
•
On multiplie par le nombre choisi.
•
On divise par 2.
Soit à trouver le carré de 15. On fait : 15 × 2 = 30, 30 × 15 = 450 et
450 ÷ 2 = 225. Le carré est 225.
270.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre sans élever ce nombre au
carré ? (5)
Étapes
• On choisit un
multiple de 10 pour les nombres de deux chiffres, de 100 pour les nombres de
trois chiffres, … immédiatement supérieur au nombre à élever au carré.
• Du multiple, on
soustrait le nombre à élever au carré.
• On trouve la différence
entre le nombre à élever au carré et le résultat précédent.
• On multiplie par
le multiple choisi.
• On multiplie le résultat
de la deuxième ligne par lui-même.
• On additionne les
deux résultats précédents.
Soit à trouver le carré de 492. Le multiple choisi est 500. On fait : 500 – 492 = 8, 492 – 8 =
484, 484 × 500 = 242 000, 8 × 8 = 64 et 242 000 + 64 = 242 064.
Le carré est 242 064.
271.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre impair sans élever ce
nombre au carré ? (1)
Étapes
• On soustrait 1 au nombre choisi.
• On divise par 2.
• On multiplie le nombre choisi par 2.
• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.
• On additionne le nombre choisi.
Soit à trouver le carré de 13. On fait : 13 – 1 = 12, 12
÷ 2 = 6, 13 × 2 = 26, 26 × 6 = 156 et 156 + 13 = 169. Le carré est 169.
272.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre impair sans élever ce
nombre au carré ? (2)
Étapes
• On soustrait 1 au nombre choisi.
• On divise par 2.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On multiplie par 4.
• On additionne le résultat de la première ligne.
• On additionne le nombre choisi.
Soit à trouver le carré de 19. On fait : 19 – 1 = 18, 18
÷ 2 = 9 et 9 × 9 = 81. On fait : 81 × 4 = 324, 324 + 18 = 342 et 342
+ 19 = 361. Le carré est 361.
273.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre pair sans élever ce nombre
au carré ? (1)
Étapes
• On divise le nombre choisi par 2.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On multiplie par 4.
Soit à trouver le carré de 14. On fait : 14 ÷ 2 = 7, 7 × 7
= 49 et 49 × 4 = 196. Le carré est 196.
274.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre pair sans élever ce nombre
au carré ? (2)
Étapes
• On divise le nombre choisi par 2.
• On multiplie le nombre choisi par 2.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
Soit à trouver le carré de 36. On fait : 36 ÷ 2 = 18, 36 ×
2 = 72 et 72 × 18 = 1296. Le carré est 1296.
275.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever
ce nombre au carré ? (1)
Étapes
• On additionne le nombre choisi et son unité.
• On multiplie par la dizaine.
• On ajoute un 0 à la fin.
• On multiplie l’unité par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver le carré de 43. On fait : 43 + 3 = 46 et 46 × 4 = 184. On écrit 1840. On fait : 3 × 3 = 9 et 1840 + 9 = 1849. Le carré est 1849.
276.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever ce nombre au carré ? (2)
Étapes
• On multiplie la
dizaine du nombre par elle-même.
• On ajoute deux 0 à
la fin. On note le résultat.
• On multiplie les
deux chiffres l’un par l’autre.
• On multiplie par
2.
• On ajoute un 0 à
la fin. On note le résultat.
• On multiplie
l’unité par elle-même. On note le résultat.
• On additionne les
trois résultats notés.
Soit à trouver le carré de 47. On fait : 4 × 4 = 16. On note
1600. On fait : 4 × 7 = 28 et 28 × 2 = 56. On note 560.
On fait : 7 × 7 = 49. On note
49. On fait : 1600 + 560 + 49 = 2209. Le carré est 2209.
277.
Carré d’un nombre
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres sans élever
ce nombre au carré ? (3)
Étapes
•
On additionne le nombre choisi et son unité.
•
On multiplie la dizaine du nombre choisi
par celle du résultat précédent.
•
On ajoute un 0 à la fin.
•
On multiplie la dizaine du nombre choisi
par l’unité du résultat de la première ligne.
•
On additionne les deux résultats précédents.
•
On ajoute un 0 à la fin.
•
On multiplie l’unité du nombre choisi
par elle-même.
•
On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver le carré de 57. On fait : 57 + 7 = 64. On fait : 5 × 6
= 30. On écrit 300. On fait : 5 x 4 = 20,
300 + 20 = 320. On écrit 3200. On fait : 7 x 7 = 49 et 3200 + 49 =
3249. Le carré est 3249.
278.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne 1.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
•
On additionne le résultat de la deuxième ligne.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 + 1 = 8, 7 × 8 = 56 et 56 + 8 = 64. Le
nombre 64 est un carré, soit celui de 8.
279.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (2)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 2.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 1.
Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 + 2 = 13, 11 × 13 =
143 et 143 + 1 = 144. Le nombre 144 est un carré, soit celui de 12.
280.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (3)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 2.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On multiplie le nombre choisi par 2.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On additionne 4.
Soit 8 le nombre choisi. On fait : 8 + 2 = 10, 10 × 8 = 80, 8
× 2 = 16, 80 + 16 = 96 et 96 + 4 = 100. Le nombre 100 est un carré, soit
celui de 10.
281.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (4)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie par son successeur.
• On multiplie le nombre choisi par 3.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On additionne 4.
Soit 10 le nombre choisi. On fait : 10 × 11 = 110, 10 × 3 =
30, 110 + 30 = 140 et 140 + 4 = 144. Le nombre 144 est un carré, soit celui
de 12.
282.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (5)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 3.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On soustrait le nombre choisi.
• On additionne 1.
Soit 12 le nombre choisi. On fait : 12 + 3 = 15, 15 × 12 =
180, 180 – 12 = 168 et 168 + 1 = 169. Le nombre 169 est un carré, soit
celui de 13.
283.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (6)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne 3.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
•
On additionne le nombre choisi.
•
On additionne 4.
Soit
6 le nombre choisi. On fait : 6 + 3 = 9, 6 × 9 = 54, 54 + 6 = 60 et 60
+ 4 = 64. Le nombre 64 est un carré, soit celui de 8.
284.
Carré d’un nombre
Comment
trouver un carré sans élever au carré ? (7)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie par le nombre qui précède.
•
On multiplie par 4.
•
On additionne 1.
Soit
11 le nombre choisi. On fait : 11 × 10 = 110, 110 × 4 = 440 et 440 +
1 = 441. Le nombre 441 est un carré, soit celui de 21.
285.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (8)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 4.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 4.
Soit 21 le nombre choisi. On fait : 21 + 4 = 25, 25 × 21 =
525 et 525 + 4 = 529. Le nombre 529 est un carré, soit celui de 23.
286.
Carré d’un nombre
Comment trouver un carré sans élever au carré ? (9)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne 5.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
•
On additionne le nombre choisi.
•
On additionne 9.
Soit
10 le nombre choisi. On fait : 10 + 5 = 15, 10 × 15 = 150, 150 + 10 =
160 et 160 + 9 = 169. Le nombre 169 est un carré, soit celui de 13.
287.
Nombres formés de 1
Comment
trouver le carré d’un nombre formé de 1 sans
élever ce nombre au carré ?
Étapes
•
On choisit un nombre formé de 1, sans dépasser neuf 1.
• On écrit les chiffres consécutifs à partir de 1 en s’arrêtant
au chiffre qui correspond à la quantité de chiffres du nombre à élever
au carré.
• À la suite, on écrit les chiffres en ordre décroissant
jusqu’à 1.
Soit à trouver le carré de 11 111. On écrit 12345, puis
4321. Le carré est 123 454 321.
288.
Nombres formés de la dizaine 1
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont la
dizaine est 1 sans élever ce nombre au carré ?
Étapes
• On additionne le nombre et son unité.
• On ajoute 0 à la fin.
• On multiplie l’unité par elle-même.
• On additionne le résultat de la deuxième ligne.
Soit à trouver le carré de 17. On fait : 17 + 7 = 24. On écrit
240. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 + 240 = 289. Le carré de 17 est 289.
289.
Nombres formés de 3
Comment trouver le carré d’un nombre formé uniquement de 3 sans
élever ce nombre au carré ?
Étapes
• On écrit 1 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever
au carré.
• On
écrit un 0.
• On
écrit 8 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au carré.
• On
écrit un 9.
Soit à trouver le carré de 33 333. On écrit quatre 1, un 0,
quatre 8 et un 9. Le carré est 1 111 088 889.
290.
Nombres formés de 3 et d’un 4
Comment
trouver le carré d’un nombre formé de 3
et dont l’unité est 4 sans élever ce nombre au
carré ?
Étapes
•
On écrit 1 autant de fois que le nombre a de chiffres.
• On
écrit 5 autant de fois que le nombre a de 3.
• On
écrit le chiffre 6.
Soit à trouver le carré de 33 334. On écrit cinq 1, quatre
5 et un 6. Le résultat est 1 111 155 556. Le carré est 1 111 155
556.
291.
Nombres formés d’unité 5
Comment
trouver le carré d’un nombre dont l’unité est 5 sans
élever ce nombre au carré ? (1)
Étapes
•
On multiplie le nombre amputé du 5 par son successeur.
•
On ajoute 25 à la fin.
Soit à trouver le carré de 85. On fait : 8 × 9 = 72. On ajoute 25 à la
fin : cela donne 7225. Le carré est 7225.
292.
Nombres formés d’unité 5
Comment
trouver le carré d’un nombre dont l’unité est 5 sans
élever ce nombre au carré ? (2)
Étapes
•
On multiplie le nombre amputé du 5 par lui-même.
•
On additionne le nombre amputé du 5.
•
On ajoute 25 à la fin.
Soit à trouver le carré de 125. On fait :
12 × 12 = 144 et 144 + 12 = 156. On ajoute 25. Le carré est 15 625.
293.
Nombres formés de 9
Comment
trouver le carré d’un nombre formé de 9 sans
élever ce nombre au carré ?
Étapes
•
On écrit le chiffre 9 autant de fois, moins 1,
que le nombre à élever au carré.
•
On écrit un 8.
• On
écrit le chiffre 0 autant de fois, moins 1, que le nombre à élever au
carré.
• On
écrit un 1.
Soit à trouver le carré de 99 999. On écrit quatre 9, un 8,
quatre 0 et un 1. Le carré est 9 999 800 001.
294. Nombres formés d’unité 9
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont
l’unité est 9 sans élever ce nombre au carré ?
Étapes
• On additionne 1 à la dizaine du nombre.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On ajoute un 0 à la fin.
• On additionne à lui-même le résultat de la première ligne.
• On soustrait les deux derniers résultats.
• On ajoute un 0 à la fin.
• On additionne 1.
Soit à trouver le carré de 79. On fait : 7 + 1 = 8 et 8 × 8
= 64. On écrit 640. On fait : 8 + 8 = 16, 640 – 16 = 624. On écrit
6240. On fait : 6240 + 1 = 6241. Le carré est 6241.
295. Nombres de dizaine 9
Comment trouver le carré d’un nombre de deux chiffres dont la
dizaine est 9 sans élever ce nombre au carré ?
Étapes
• De 10, on soustrait l’unité.
• On multiplie par 2.
• De 100, on soustrait le résultat précédent.
• On ajoute deux 0 à la fin.
• On multiplie par lui-même le résultat de la première ligne.
• On additionne les deux derniers résultats.
Soit à trouver le carré de 97. On fait : 10 – 7 = 3, 3 ×
2 = 6 et 100 – 6 = 94. On écrit 9400. On fait : 3 × 3 = 9 et 9400 +
9 = 9409. Le carré est 9409.
296.
Nombre de carrés
Comment trouver combien il y a de carrés inférieurs
à un nombre donné ?
Étapes
· On extrait la racine carrée du nombre donné.
•
Si la racine carrée est un entier, on soustrait 1. Si non, on conserve la partie entière.
Soit
à trouver le nombre de carrés inférieurs à 863. On fait :
√863 = 29,38. La partie entière est 29. Il y a 29 carrés inférieurs
à 863.
297.
Addition de carrés
Comment
savoir si un nombre premier est la somme de deux carrés ?
Étapes
• On divise le nombre par 4.
• Si la décimale est 0,25, le nombre est la somme de deux carrés.
Si non, il ne l’est pas.
Soit
à savoir si 61 est la somme de deux carrés.
On fait : 61 ÷ 4 = 15,25. Le nombre 61 est la somme de deux carrés.
On peut écrire : 52 + 62 = 61.
298.
Addition de carrés
Comment
savoir si un nombre peut être la somme de deux carrés consécutifs ?
Étapes
· On divise le nombre par 2.
· On extrait la racine carrée.
· On additionne le carré de la partie entière du résultat et le carré de
l’entier suivant.
· Si le résultat est égal au nombre donné, ce dernier est la somme de deux carrés consécutifs. Si non, il ne
l’est pas.
Soit
à savoir si 1556 est la
somme de deux carrés consécutifs. On fait : 1556 ÷ 2 = 778,
√778 = 27,89 et 272 + 282 = 1513. Le nombre 1556
n’est pas la
somme de deux carrés consécutifs.
Soit
à savoir si 2113 est la
somme de deux carrés consécutifs. On fait : 2113 ÷ 2 = 1056,5. On
fait : √1056,5 = 32,50 et 322 + 332 = 2113.
Le nombre 2113 est la
somme de deux carrés consécutifs.
299.
Addition d’un nombre et de son carré
Comment
trouver la somme d’un nombre et de son carré sans élever au carré ?
Étapes
• On additionne 1 au nombre.
• On multiplie par le nombre.
Soit à trouver la somme de 13 et du carré de 13. On fait :
13 + 1 = 14 et 14 × 13 = 182. La somme est 182.
300.
Addition de deux carrés
Comment
trouver la somme de deux nombres élevés au carré sans effectuer le carré
de ces nombres ? (1)
Étapes
• On
multiplie les deux nombres l’un par l’autre.
• On multiplie par 2. On note le résultat.
• On
soustrait les deux nombres l’un de l’autre.
• On
multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne le résultat noté.
Soit
à trouver la somme des carrés de 8 et de 15. On fait : 8 ×
15 = 120 et 120 × 2 = 240. On fait : 15 – 8 = 7, 7 × 7 = 49 et 49 +
240 = 289. La somme est 289.
301.
Addition de deux carrés
Comment
trouver la somme de deux nombres élevés au carré sans effectuer le carré
de ces nombres ? (2)
Étapes
• On
additionne les deux nombres.
• On
multiplie le résultat par lui-même. On note le résultat.
• On
multiplie l’un par l’autre les deux nombres donnés.
• On multiplie par 2. On note le résultat.
• On soustrait l’un de
l’autre les deux résultats notés.
Soit
à trouver la somme des carrés de 31 et de 22. On fait : 31 + 22 = 53,
53 × 53 = 2809. On note 2809. On fait : 31 ×
22 = 682 et 682 × 2 = 1364. On note 1364. On fait : 2809 – 1364 =
1445. La somme est 1445.
302.
Addition de deux carrés
Comment
trouver la somme de deux nombres de deux chiffres, élevés au carré, sans
effectuer le carré de ces nombres ?
Étapes
• On
choisit un nombre dont l’unité n’est pas 0 entre 10 et 59.
• On
soustrait 1 à l’unité du nombre choisi : c’est la dizaine du
second nombre.
• De
10, on soustrait la dizaine du nombre choisi : c’est l’unité du
second nombre.
• On compose ce nombre.
• On élève au carré chacun des chiffres du nombre
choisi et on fait la somme.
• On accole le même nombre.
Soit
à trouver la somme des carrés de 39 et d’un second nombre. On fait :
9 – 1 = 8 et 10 – 3 = 7. Le second nombre est 87. On fait : 32
+ 92 = 90. La somme est 9090. En effet, 392 + 872
= 9090.
303.
Addition de deux carrés
Comment
trouver la somme de deux carrés consécutifs quand on connaît le plus
petit ?
Étapes
• On choisit un carré.
• On extrait sa racine carrée.
•
On additionne les deux résultats.
•
On multiplie par 2.
•
On additionne 1.
Soit à trouver la somme du carré
49 et de son successeur. On fait : √49 = 7, 49 + 7 = 56, 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. La somme est 113.
304.
Addition de deux carrés
Comment trouver la somme de deux carrés consécutifs quand on
connaît le plus petit carré et sa racine ?
Étapes
• On additionne le plus petit carré et sa racine.
• On multiplie par 2.
• On additionne 1.
Soit à trouver la somme de 121, le carré de 11, et de son
successeur. On fait : 121 + 11 = 132, 132 × 2 = 264 et 264 + 1 = 265. La somme est 265.
305.
Addition de deux carrés
Comment trouver la
somme de deux carrés consécutifs quand on connaît leurs bases ?
Étapes
· On multiplie l’une par l’autre les deux bases.
· On multiplie par 2.
· On additionne 1.
Soit à trouver la somme des carrés de 12
et de 13. On fait : 12 × 13 = 156, 156 × 2 = 312 et 312 + 1 = 313. La
somme est 313.
306.
Addition de deux carrés
Comment trouver
la somme de deux carrés dont
la différence des bases est 2 ?
Étapes
· On multiplie l’une par l’autre les deux bases.
· On multiplie par 2.
· On additionne 4.
Soit à trouver la somme des carrés de 11 et
de 13. On fait : 11 × 13 = 143, 143 × 2 = 286 et 286 + 4 = 290. La
somme est 290.
307.
Addition de deux carrés
Comment trouver
la somme de deux carrés dont
la différence des bases est 3 ?
Étapes
· On multiplie l’une par l’autre les deux bases.
· On multiplie par 2.
· On additionne 9.
Soit à trouver la somme des carrés de 11 et
de 14. On fait : 11 × 14 = 154, 154 × 2 = 308 et 308 + 9 = 317. La
somme est 317.
308.
Addition de deux carrés
Comment trouver la somme du carré d’un nombre de deux chiffres
et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ?
Étapes
· On multiplie l’un par l’autre les deux chiffres du nombre choisi.
· On multiplie par 4.
· On ajoute un 0 à la fin. On note le résultat.
· On additionne le carré des chiffres du nombre choisi.
· On ajoute deux 0 à la fin.
· On additionne les deux derniers résultats.
· On additionne le résultat noté.
Soit à trouver la
somme du carré de 58 et de celui de son renversé. On fait : 5 × 8 =
40 et 40 × 4 = 160. On note 1600. On fait : 25 + 64 = 89. On écrit
8900. On fait : 89 + 8900 = 8989 et 8989 + 1600 = 10 589. La somme
est 10 589.
309.
Addition de trois carrés
Comment trouver la
somme de trois carrés consécutifs quand on connaît seulement les bases
des carrés ?
Étapes
· On multiplie la première base par la dernière.
· On additionne 1.
· On multiplie par 3.
· On additionne 2.
Soit à
trouver la somme des carrés de 12, 13 et 14. On fait : 12 × 14 = 168,
168 + 1 = 169, 169 × 3 = 507 et 507 + 2 = 509. La somme est 509.
310.
Addition de carrés
Comment trouver la
somme de carrés consécutifs à partir de 1 jusqu'à la base du
dernier carré ?
Étapes
• On multiplie
la base du dernier carré par 2.
• On additionne
1.
• On multiplie
par la base du dernier carré.
• On multiplie
par la base qui suit celui du dernier carré.
• On divise par
6.
Soit à trouver la
somme des carrés de 1 à 9. On fait : 9 × 2 = 18, 18 + 1 = 19, 19 ×
9 = 171, 171 × 10 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. La somme est 285.
311.
Addition de carrés
Comment trouver
deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ? (1)
Étapes
• On soustrait 1
à la somme.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine carrée : la partie entière est un premier nombre.
• On additionne
1 à la partie entière : c’est un second nombre.
Soit à trouver
deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 421. On fait :
421 – 1 = 420, 420 ÷ 2 = 210, √210 = 14,49 et 14 + 1 = 15. Les deux
nombres sont 14 et 15.
312.
Addition de carrés
Comment trouver
deux nombres consécutifs dont on connaît la somme de leurs carrés ? (2)
Étapes
• On soustrait 1
à la somme.
• On multiplie
par 2.
• On additionne
1.
• On extrait la
racine carrée.
• On soustrait 1
et on divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On additionne
1 : c’est un second nombre.
Soit à trouver
deux nombres consécutifs dont la somme des carrés est 265. On fait :
265 – 1 = 264, 264 × 2 = 528, 528 + 1 = 529, √529 = 23, 23 – 1 =
22, 22 ÷ 2 = 11 et 11 + 1 = 12. Les deux nombres sont 11 et 12.
313.
Double addition
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs carrés ? (1)
Étapes
• On multiplie
la somme des deux nombres par elle-même.
• On soustrait
la somme de leurs carrés.
• On multiplie
par 2.
• Du résultat
de la première ligne, on soustrait le précédent.
• On extrait la
racine carrée.
• On additionne
la somme donnée des deux nombres.
• On divise par
2 : c’est un premier nombre.
• De la somme
donnée des deux nombres, on soustrait le quotient précédent :
c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme est 22 et dont la somme des carrés est 274. On
fait : 22 × 22 = 484, 484 – 274 = 210, 210 × 2 = 420, 484 – 420 =
64 et √64 = 8. On fait : 8 + 22 = 30, 30 ÷ 2 = 15 et 22 – 15 =
7. Les deux nombres sont 7 et 15.
314.
Double addition
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs carrés ? (2)
Étapes
• On multiplie
la somme des deux nombres par elle-même.
• On multiplie
par 4. On note le résultat.
• Du résultat
de la première ligne, on soustrait la somme donnée des carrés.
• On multiplie
par 8. On note le résultat.
• On soustrait
l’un de l’autre les deux résultats notés.
• On extrait la
racine carrée.
• On additionne
le double de la somme donnée des deux nombres.
• On divise par
4 : c’est un premier nombre.
• De la somme
donnée des deux nombres, on soustrait le quotient précédent :
c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme est 16 et dont la somme de leurs carrés est 146.
On fait : 16 × 16 = 256 et 256 × 4 = 1024. On fait : 256 – 146
= 110 et 110 × 8 = 880. On fait : 1024 – 880 = 144, √144 = 12,
12 + 32 = 44, 44 ÷ 4 = 11 et 16 – 11 = 5. Les deux nombres sont 5 et 11.
315.
Somme de deux carrés
Comment trouver un nombre qui peut être la somme de deux carrés
d’au moins deux façons ?
Étapes
•
On choisit deux carrés.
•
On les additionne.
•
On choisit deux autres carrés.
•
On les additionne.
•
On fait le produit des deux sommes précédentes.
•
Si le produit est un carré, on accepte 02 comme un des carrés.
Soit 1 et 4 les carrés choisis. La somme est 5. On choisit 9 et
16. La somme est 25. On fait : 5 × 25 = 125. Le nombre 125 peut être
la somme de deux carrés d’au moins deux façons. On peut avoir : 22
+ 112 = 125 et 52 + 102 = 125.
316.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (1)
Étapes
• On choisit deux nombres.
• On trouve la différence de leurs carrés : c’est la base du
premier carré.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux nombres choisis.
• On multiplie par 2 : c’est la base du deuxième carré.
• On fait la somme des carrés des deux nombres choisis : c’est
la base du troisième carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 et 7 les nombres choisis. On fait : 72 – 32
= 40, 3 × 7 = 21, 21 × 2 = 42 et 72 + 32 = 58. L’égalité
est : 402 + 422 = 582.
317.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (2)
Étapes
•
On choisit deux nombres consécutifs de même parité.
•
On additionne les deux nombres : c’est la base du premier carré.
•
On multiplie les deux nombres l’un par l’autre : c’est la base du
deuxième carré.
•
On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la
somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
9 et 11 les nombres choisis. On fait : 9 + 11 = 20, 9 × 11 = 99 et 99
+ 2 = 101. L’égalité est : 202 + 992 = 1012.
318.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (3)
Étapes
• On choisit deux nombres consécutifs.
• On additionne les deux nombres : c’est la base du
premier carré.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux nombres choisis.
• On multiplie par 2 : c’est la base du deuxième carré.
• On additionne 1 : c’est la base du troisième carré
qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 7 et 8 les nombres choisis. On fait : 7 + 8 = 15, 7 × 8
= 56, 56 × 2 = 112 et 112 + 1 = 113. L’égalité est : 152
+ 1122 = 1132.
319.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (4)
Étapes
•
On choisit deux carrés impairs.
•
On les soustrait l’un de l’autre.
•
On divise par 2 : c’est la base du premier carré.
•
On multiplie l’une par l’autre les bases des deux carrés choisis :
c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne les deux carrés choisis.
•
On divise par 2 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 9 et 49 les nombres choisis.
On fait : 49 – 9 = 40 et 40 ÷ 2 = 20. On fait : √9 ×
√49 = 3 × 7 = 21, 9 + 49 = 58 et 58 ÷ 2 = 29. L’égalité est :
202
+ 212 = 292.
320.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre non premier : c’est la base du premier carré.
•
On le multiplie par lui-même.
•
On recherche des couples de facteurs de même parité dont le produit est le
résultat précédent et dont le plus petit facteur est inférieur au nombre
choisi.
•
Pour chaque couple, on soustrait l’un de l’autre les deux facteurs et on
divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne les deux facteurs et on divise par 2 : c’est
la base du troisième carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 12 le nombre choisi.
On fait : 12 × 12 = 144. Les couples de facteurs possibles sont (2,
72), (4, 36), (6, 24), (8, 18). Pour le premier couple, on fait : 72
– 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 72 + 2 = 74 et 74 ÷ 2 = 37. L’égalité est :
122
+ 352 = 372.
On peut faire les mêmes opérations pour les autres couples de facteurs. On
obtient : 122 + 162
= 202, 122
+ 92 = 152
et 122
+ 52 = 132.
Si on ne trouve pas de couples de facteurs
acceptables, on ne peut pas trouver de triplets de Pythagore par ce procédé.
321.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré ? (6)
Étapes
•
On choisit un carré impair : c’est le premier carré.
•
On additionne les nombres impairs consécutifs inférieurs à ce carré :
c’est le deuxième carré.
•
On additionne les deux résultats précédents : c’est le troisième
carré qui est la somme.
Soit 49 le carré choisi.
La somme de 1, 3, 5, 7, …, 45, 47 est 576 qui est le carré de 24. On fait :
49 + 576 = 625 qui est le carré de 25. L’égalité est : 49 + 576 =
625 ou 72
+ 242 = 252.
322.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré à partir d’un triplet de
Pythagore ?
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
On multiplie chacune des bases par un même nombre.
Soit le triplet : 52 + 122 = 132.
Par exemple, on choisit 5 comme multiplicateur. L’égalité est : 252 + 602 = 652.
323. Triplets
de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux carrés est 1 ? (1)
Étapes
• On choisit un nombre impair : c’est la base du premier carré.
• On multiplie ce nombre par lui-même.
• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du
deuxième carré.
• On additionne 1 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
11 le nombre choisi. On fait : 11 × 11 =
121, 121 – 1 = 120, 120 ÷ 2 = 60 et 60 + 1 = 61. L’égalité
est : 112 + 602 = 612.
324.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 1 ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre impair : c’est la base du premier carré.
•
On multiplie le nombre par lui-même.
•
On divise le résultat par 2.
•
On retient la partie entière : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 1 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 ÷ 2 = 24,5. On retient
24. On fait : 24 + 1 = 25. L’égalité est : 72 + 242
= 252.
325.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 2 ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie par 2 : c’est la base du premier carré.
•
On multiplie le nombre choisi par lui-même.
•
On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la
somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
6 le nombre choisi. On fait : 6
× 2 = 12,
6 ×
6 = 36, 36 – 1 = 35 et 35 + 2 = 37. L’égalité est :
122
+ 352 = 372.
326.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 2 ? (2)
Étapes
• On choisit un nombre pair : c’est la base du premier carré.
• On multiplie ce nombre par lui-même.
• On divise par 4.
• On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.
• On additionne 2 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
10 le nombre choisi. On fait : 10 × 10 =
100, 100 ÷ 4 = 25, 25 – 1 = 24 et 24 + 2 = 26. L’égalité est :
102 + 242 = 262.
327.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 2 ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre pair : c’est la base du premier carré.
• On multiplie ce nombre par lui-même.
•
On soustrait 4.
•
On divise par 4 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 2 : c’est la base du troisième carré qui est la
somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
14 le nombre choisi. On fait : 14 × 14 = 196, 196 – 4 = 192, 192 ÷
4 = 48 et 48 + 2 = 50. L’égalité est : 142 + 482
= 502.
328.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 3 ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre impair.
•
On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.
•
On multiplie le nombre choisi par lui-même.
•
On soustrait 1.
•
On multiplie par 3.
•
On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 3 : c’est la base du troisième carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. On fait : 5
× 3 = 15,
5
× 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 × 3 = 72, 72 ÷ 2 = 36 et 36 + 3 = 39. L’égalité
est : 152 + 362
= 392.
329.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 3 ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre impair.
•
On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On divise par 6.
• On soustrait 1,5 : c’est la base du deuxième carré.
• On additionne 3 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 × 3 = 21, 21
× 21 = 441 et 441 ÷ 6 = 73,5. On fait : 73,5 – 1,5 = 72 et 72 + 3 =
75. L’égalité est : 212 + 722 = 752.
330.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 3 ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre impair.
•
On multiplie par 3 : c’est la base du premier carré.
• On multiplie le résultat par lui-même.
•
On soustrait 9.
•
On divise par 6 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 3 : c’est la base du troisième carré qui est la
somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
13 le nombre choisi. On fait : 13 × 3 = 39, 39 × 39 = 1521, 1521 –
9 = 1512, 1512 ÷ 6 = 252 et
252
+ 3 = 255. L’égalité est : 392 + 2522 = 2552.
331.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 4 ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie par 4 : c’est la base du premier carré.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On divise par 8.
• On soustrait 2 : c’est la base du deuxième carré.
• On additionne 4 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. On fait : 5 × 4 = 20, 20
× 20 = 400, 400 ÷ 8 = 50, 50 – 2 = 48 et 48 + 4 = 52. L’égalité est :
202 + 482 = 522.
332.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 4 ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie par 4 : c’est la base du premier carré.
• On multiplie le résultat par lui-même.
•
On soustrait 16.
•
On divise par 8 : c’est la base du deuxième carré.
•
On additionne 4 : c’est la base du troisième carré qui est la
somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 × 4 = 28, 28 × 28 = 784, 784 – 16 =
768, 768 ÷ 8 = 96 et 96 + 4 = 100. L’égalité est : 282
+ 962 = 1002.
333.
Triplets de Pythagore
Comment
trouver deux carrés dont la somme est un carré et dont la différence des
bases de deux des trois carrés est 5 ?
Étapes
•
On choisit un nombre impair.
•
On multiplie par 5 : c’est la base du premier carré.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On divise par 10.
• On soustrait 2,5 : c’est la base du deuxième carré.
• On soustrait 5 : c’est la base du troisième
carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 × 5 = 35, 35
× 35 = 1225, 1225 ÷ 10 = 122,5. On fait : 122,5 – 2,5 = 120 et 120
+ 5 = 125. L’égalité est : 352 + 1202 = 1252.
334.
Quatre carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre : c’est la base d’un premier carré du deuxième
membre de l’égalité.
•
On additionne 1 : c’est la base d’un deuxième carré du même
membre.
•
On multiplie le nombre choisi par son successeur : c’est la base
d’un troisième carré du même membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. On fait : 7 + 1 = 8, 7 × 8 = 56 et 56 + 1 = 57.
L’égalité est 572 = 72 + 82 + 562.
335.
Quatre carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre impair : c’est la base d’un premier carré du deuxième
membre de l’égalité.
•
On multiplie le nombre choisi par lui-même. On note le résultat.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un deuxième carré
du deuxième membre.
•
On multiplie le résultat par lui-même.
•
On additionne le résultat noté.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré
du deuxième membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. On fait : 5 × 5 = 25, 25
– 1 = 24 et 24 ÷ 2 = 12. On fait : 12 × 12 = 144, 144 + 25 = 169,
169 – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et 84 + 1 = 85. L’égalité est : 852
= 52 + 122 + 842.
336.
Quatre carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (3)
Étapes
•
On choisit deux nombres dont l’un est impair et l’autre pair : ce sont
les bases de deux carrés du deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne les carrés des deux nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un troisième carré
du même membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 et 7 les nombres choisis. On fait : 42
+ 72 = 65, 65 – 1 = 64, 64 ÷ 2 = 32 et 32 + 1 = 33. L’égalité
est : 332 = 42 + 72 + 322.
337.
Quatre carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de trois carrés ? (4)
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.
•
Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 : c’est
une troisième base du deuxième membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
52 + 122 = 132 le
triplet choisi. On fait : 132 – 1 = 168, 168 ÷ 2 = 84 et
84 + 1 = 85. L’égalité est : 852 = 52 + 122
+ 842.
338.
Quatre carrés
Comment trouver
deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ? (1)
Étapes
· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente :
ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.
· On effectue la différence
des carrés des deux nombres.
· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même
membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.
· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité
que celle du plus petit nombre choisi.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 et 12 les
nombres choisis. On fait : 122 - 52 = 119, 119
– 1 = 118 et 118 ÷ 2 = 59. On fait : 59 + 1 = 60. L’égalité est :
52 + 602 = 122 + 592 = 3625.
339.
Quatre carrés
Comment trouver
deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés ? (2)
Étapes
· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente :
ce sont les bases de carrés de chacun des membres de l’égalité.
· On additionne les deux nombres.
· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.
· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
· On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base d’un carré du même
membre de l’égalité que celle du plus grand nombre choisi.
· On additionne 1 : c’est la base d’un carré du même membre de l’égalité
que celle du plus petit nombre choisi.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 et 8 les
nombres choisis. On fait : 3 + 8 = 11, 8 – 3 = 5, 11 × 5 = 55, 55 -
1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 32
+ 282 = 82 + 272 = 793.
340.
Quatre carrés
Comment
trouver deux carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés
? (3)
Étapes
•
On choisit deux nombres a et b où a < b.
•
On choisit deux nombres c et d où c < d.
•
On fait (ac + bd) et (bc – ad) : ce sont les bases d’un membre de
l’égalité.
•
On fait (ad + bc) et (bd – ac) : ce sont les bases de l’autre
membre de l’égalité.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
a = 2, b = 5, c = 3 et d = 4. On fait : ac + bd = 2 × 3 + 5 × 4 = 26
et bc – ad = 5 × 3 – 2 × 4 = 7. On fait : ad + bc = 2 × 4 + 5 ×
3 = 23 et bd – ac = 5 × 4 – 2 × 3 = 14. L’égalité est : 262
+ 72 = 232 + 142 = 725.
341.
Cinq carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (1)
Étapes
•
On choisit trois nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases
du deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne le carré de ces nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une quatrième base du
deuxième membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
2, 3 et 6 les nombres choisis. On fait : 22 + 32
+ 62 = 49, 49 – 1 = 48, 48 ÷ 2 = 24 et 24 + 1 = 25. L’égalité
est : 252 = 22 + 32 + 62 + 242.
342.
Cinq carrés
Comment
décomposer un carré en la somme de quatre carrés ? (2)
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
Les deux premières bases sont des bases du deuxième membre de l’égalité.
•
Du troisième carré du triplet, on soustrait 1 et on divise par 2 :
c’est une base du deuxième membre.
•
On élève au carré le successeur du dernier résultat.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
72 + 242 = 252 le
triplet choisi. On fait : 252 –
1 = 624, 624 ÷ 2 = 312. Le carré de 313 est 97 969. On fait : 97 969
– 1 = 97 968, 97 968 ÷ 2 = 48 984 et 48 984 + 1 = 48 985.
L’égalité est : 48 9852 = 72 + 242
+ 3122 + 48 9842.
343.
Cinq carrés
Comment
trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de deux autres carrés
?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 4 de façon à trouver trois autres nombres.
•
Le deuxième et le troisième nombre sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
Le premier et le quatrième nombre sont les bases du deuxième membre de
l’égalité.
•
On écrit 8 dans le premier membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
11 le nombre choisi. On fait : 11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19 et 19 + 4 = 23.
On ajoute 8 dans le premier membre. L’égalité est : 82 + 152
+ 192 = 112 + 232 = 650.
344.
Six carrés
Comment
décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (1)
Étapes
•
On choisit trois nombres dont la somme est impaire : c’est la base de
trois carrés du deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne le carré de ces nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du quatrième carré.
•
On élève au carré le nombre qui suit le dernier résultat.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré
du même membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
2, 4 et 5 les nombres choisis. On fait : 22 + 42
+ 52 = 45, 45 – 1 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Le carré de 23 est
529. On fait : 529 – 1 = 528, 528 ÷ 2 = 264 et 264 + 1 = 265. L’égalité
est : 2652 = 22 + 42 + 52 + 222
+ 2642.
345.
Six carrés
Comment
décomposer un carré en une somme de cinq carrés ? (2)
Étapes
•
On choisit quatre nombres dont la somme est impaire : c’est la base
de quatre carrés du deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne le carré de ces nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est la base du cinquième carré
du même membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 2, 3, 6 et 10 les nombres choisis. On fait :
22 + 32 + 62 + 102 = 149, 149
– 1 = 148, 148 ÷ 2 = 74 et 74 + 1 = 75. L’égalité est : 752
= 22 + 32 + 62 + 102 + 742.
346.
Six
carrés
Comment
trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés
? (1)
Étapes
• On choisit deux triplets de Pythagore.
• On forme un premier membre de l’égalité
avec les deux premiers carrés du premier triplet et la somme de l’autre
triplet.
• On forme un deuxième membre avec les carrés
qui restent.
Soit 72 + 242 = 252
et 122
+ 352 = 372
les deux triplets choisis. Pour le premier membre,
on prend 72,
242 et 372. Pour le deuxième
membre, il reste 122,
352 et 252. L’égalité est : 72 +
242 + 372 = 122 + 252 + 352
= 1994.
347.
Six carrés
Comment
trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois autres carrés
? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre pair.
•
On multiplie ce nombre par 1,5.
•
On choisit deux nombres dont l’un est inférieur à la moitié du nombre donné et
l’autre supérieur à la moitié du même nombre
: ce sont deux bases du premier membre de l’égalité.
•
Du nombre choisi au départ, on soustrait chacun des deux derniers nombres
choisis : ce sont deux bases du deuxième membre.
•
Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la somme des deux éléments
connus de chaque membre : c’est la troisième base de chaque membre
dans l’ordre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
16 le nombre choisi. On fait : 16 × 1,5 = 24. On choisit 7 et 11. On
fait : 16 – 7 = 9, 16 – 11 = 5, 24 – (7 + 11) = 6 et 24 – (5 +
9) = 10. L’égalité est : 62 + 72 + 112
= 52 + 92 + 102 = 206.
348. Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale
à celle de trois autres carrés ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 5 et 6 au nombre choisi : ce sont les
bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3 et 7 au nombre choisi : ce sont les
bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
8 le nombre choisi. Les sommes sont 9, 13, 14, puis 10, 11, 15. L’égalité
est : 92 + 132 + 142 = 102
+ 112 + 152 = 446.
349.
Six carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale
à celle de trois autres carrés ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement 1, 5 et 6 par le nombre choisi : ce sont
les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On multiplie successivement 2, 3 et 7 par le nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 35 et 42, puis 14, 21 et 49. L’égalité
est : 72 + 352 + 422 = 142
+ 212 + 492 = 3038.
350.
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale
à celle de trois autres carrés ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On ajoute successivement ce nombre devant 1, 5 et 6 : ce sont les bases
d’un premier membre de l’égalité.
•
On ajoute successivement ce nombre devant 2, 3 et 7 : ce sont les bases du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
13 le nombre choisi. On obtient 131, 135, 136, puis 132, 133 et 137. L’égalité
est : 1312 + 1352 + 1362 = 1322
+ 1332 + 1372 = 53 882.
351.
Six
carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale
à celle de trois autres carrés ? (6)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On ajoute successivement ce nombre après 1, 5 et 6 : ce sont les bases
d’un premier membre de l’égalité.
•
On ajoute successivement ce nombre après 2, 3 et 7 : ce sont les bases du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
14 le nombre choisi. On obtient 114, 514, 614, puis 214, 314 et 714. L’égalité
est : 1142 + 5142 + 6142 = 2142
+ 3142 + 7142 = 654 188.
352.
Six carrés
Comment trouver trois carrés dont la somme est égale
à celle de trois autres carrés ? (7)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
•
On multiplie le nombre choisi par 7.
•
On additionne 2 : c’est une base du premier membre.
•
On additionne 1 : c’est une base du premier membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 3.
•
On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 5.
•
On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.
•
On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième
membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour former une égalité.
Soit
3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et
23 + 1 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16
et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 12 + 232 +
242 = 112 + 162 + 272 = 1106.
353.
Sept carrés
Comment
décomposer un carré en une somme de six carrés ?
Étapes
•
On choisit cinq nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases
base du deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne le carré de ces nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième
membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1, 2, 3, 4, 5 les nombres choisis. On fait :
12 + 22 + 32 + 42 + 52
= 55, 55 – 1 = 54, 54 ÷ 2 = 27 et 27 + 1 = 28. L’égalité est : 282
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52
+ 272.
354.
Sept carrés
Comment
trouver quatre carrés dont la somme est le triple de la somme de trois carrés
?
Étapes
• On
choisit trois nombres : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.
• On
soustrait les nombres deux à deux : ce sont des bases du premier
membre.
• On
additionne les nombres choisis : c’est une base du premier membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5, 7 et 10 les nombres choisis qui forment l’égalité 52 + 72
+ 102 = 174. On fait : 7 – 5 = 2, 10 – 7 = 3, 10 – 5 =
5 et 5 + 7 + 10 = 22. L’égalité est : 22 + 32
+ 52 + 222 = 3(52 + 72 + 102)
= 522.
355.
Huit carrés
Comment
décomposer un carré en une somme de sept carrés ?
Étapes
•
On choisit six nombres dont la somme est impaire : ce sont des bases du
deuxième membre de l’égalité.
•
On additionne le carré de ces nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième
membre.
•
On additionne 1 : c’est la base du carré qui est la somme.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6 les nombres choisis. On fait :
12 + 22 + 32 + 42 + 52
+ 62 = 91, 91 – 1 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 + 1 = 46. L’égalité
est : 462 = 12 + 22 + 32 + 42
+ 52 + 62 + 452.
356.
Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont
les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité
est : 72 + 132 + 142 + 202
= 82 + 102 + 172 + 192 = 814.
357.
Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement 1, 7, 8 et 14 par le nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On multiplie successivement 2, 4, 11 et 13 par le nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
6 le nombre choisi. Les produits sont 6, 42, 48 et 84, puis 12, 24, 66 et
78. L’égalité est : 62 + 422 + 482
+ 842 = 122 + 242 + 662 + 782
= 11 160.
358.
Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (3)
Étapes
•
On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente. Le
premier est une base du premier membre de l’égalité, l’autre une base
du second membre.
•
On fait la différence des carrés de ces deux nombres.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre
de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre.
•
On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des nombres choisis au départ :
le premier résultat est une base du premier membre de l’égalité,
l’autre est une base du second membre.
•
On fait la différence des carrés des deux derniers résultats.
•
On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une base du second membre
de l’égalité tandis que le successeur est une base du premier membre
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
2 et 7 les nombres choisis. On fait : 72 – 22 =
45, 45 – 1 = 44, 44 ÷ 2 = 22. On a 22 et 23. On choisit 3. On fait :
2 + 3 = 5, 7 + 3 = 10, 102 – 52 = 75, 75 – 1 = 74
et 74 ÷ 2 = 37. On a 37 et 38. L’égalité est : 22 + 52
+ 232 + 382 = 72 + 102 + 222
+ 372 = 2002.
359.
Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (4)
Étapes
•
On écrit une suite de trois nombres dont la raison est identique.
•
On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.
•
On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première
suite, le deuxième de la deuxième suite qu’on répète et le troisième
de la première suite.
•
On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent tout en répétant
le nombre du milieu de la première suite.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
12, 15, 18 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont 17,
20, 23. Le premier groupe est formé de 12, 20, 20, 18. Le deuxième groupe
est formé de 17, 15, 15, 23. L’égalité est : 122 + 182
+ 202 + 202 = 152 + 152 + 172
+ 232 = 1268.
360. Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (5)
Étapes
•
On écrit une suite de quatre nombres dont la raison est identique.
•
On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes de la suite.
•
On forme un premier groupe de quatre nombres : le premier de la première
suite, le deuxième et le troisième de la deuxième suite, puis le quatrième
de la première suite.
•
On forme un deuxième groupe avec les nombres qui restent.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
12, 15, 18, 21 une suite dont la raison est 3. On choisit 5. Les sommes sont
17, 20, 23, 26. Le premier groupe est formé de 12, 20, 23, 21. Le deuxième
groupe est formé de 17, 15, 18, 26. L’égalité est : 122
+ 202 + 212 + 232 = 152 + 172
+ 182 + 262 = 1514.
361. Huit carrés
Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (6)
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
On écrit + 02 comme deuxième élément du deuxième membre de
l’égalité.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le second membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
32 + 42 = 52 le triplet choisi. On écrit :
32 + 42 = 52 + 02. On choisit 8
comme opérateur. On fait : 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 4 = 4, 8 + 4
= 12, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13, 8 – 0 = 8 et 8 + 0 = 8. L’égalité est :
42 + 52 + 112 + 122 = 32
+ 82 + 82 + 132 = 306.
362. Huit carrés
Connaissant
deux couples de carrés dont la somme est identique, comment trouver quatre carrés dont la somme est égale
à celle de quatre autres carrés ? (7)
Étapes
•
On choisit une égalité de deux couples de deux carrés dont la somme est
identique.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
42 + 172 = 72 + 162 l’égalité
choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 +
4 = 22, 18 – 17 = 1, 18 + 17 = 35, 18 – 7 = 11, 18 + 7 = 25, 18 – 16 =
2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 12 + 142 +
222 + 352 = 22 + 112 + 252
+ 342 = 1906.
363.
Dix carrés
Comment trouver cinq carrés dont la somme est égale
à celle de cinq autres carrés ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du second membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17 et 24, puis : 6, 7, 14, 20
et 23. L’égalité est : 52 + 82 +
162 + 172 + 242 = 62 + 72
+ 142 + 202 + 232 = 1210.
364.
Douze carrés
Comment trouver six carrés dont la somme est égale
à celle de six autres carrés ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 :
ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
•
On choisit un nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent :
ce sont des bases du deuxième membre.
•
On additionne A à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du deuxième membre.
•
On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du
premier membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les
sommes sont 16, 21, 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10, 15. On
additionne B. Les sommes sont 17, 19, 24. L’égalité est : 72
+ 122 + 142 + 172 + 192 + 242
= 82 + 102 + 152 + 162 + 212
+ 232 = 1615.
365. Douze carrés
Connaissant
deux couples de trois carrés chacun dont la somme est identique, comment
trouver six carrés dont la somme est égale à celle de six autres carrés
? (2)
Étapes
•
On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale
à la somme de trois autres carrés.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le second membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
22 + 32 + 72 = 12 + 52
+ 62 l’égalité choisie. On choisit 8 comme opérateur. On
fait : 8 – 2 = 6, 8 + 2 = 10, 8 – 3 = 5, 8 + 3 = 11, 8 – 7 = 1 et
8 + 7 = 15. On fait : 8 – 1 = 7, 8 + 1 = 9, 8 – 5 = 3, 8 + 5 = 13,
8 – 6 = 2 et 8 + 6 = 14. L’égalité est : 12 + 52
+ 62 + 102 + 112 + 152 = 22
+ 32 + 72 + 92 + 132 + 142
= 508.
366. Différence de carrés
Comment trouver
deux nombres dont on connaît la différence de leurs carrés ?
Étapes
• On décompose
la différence en deux facteurs.
• On additionne
les deux facteurs.
• On divise par
2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait
les deux facteurs l’un
de l’autre.
• On divise par
2 : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la différence des carrés est 245. On choisit un couple
de facteurs : 5 et 49. On fait : 5 + 49 = 54, 54 ÷ 2 = 27, 49 –
5 = 44 et 44 ÷ 2 = 22. Les deux nombres sont 27 et 22. On pourrait choisir
d’autres facteurs comme 7 et 35. Les deux nombres seraient 21 et 14.
367.
Différence de carrés
Comment trouver le
nombre de couples de carrés dont la différence est identique ?
Étapes
• On décompose la différence en ses facteurs premiers.
• On additionne 1 à chacun des exposants, considérant que
l’absence d’exposant correspond à l’exposant 1.
• On multiplie les résultats précédents.
• On divise par
2.
Soit à trouver le
nombre de couples de carrés dont la différence des carrés est 315. On écrit : 315 = 32 × 5 × 7. On fait : 2 +
1 = 3, 1 + 1 = 2, 1 + 1 = 2, 3 × 2 × 2 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. On compte six
couples de nombres dont la différence des carrés est 315 : (158,
157), (54, 51), (34, 29), (26, 19), (22, 13), (18, 3).
368.
Différence d’un carré et de sa racine
Comment
trouver la différence d’un nombre élevé au carré et du nombre lui-même
sans élever au carré ?
Étapes
• On soustrait 1 au nombre.
• On multiplie par le nombre.
Soit à trouver la différence du carré de 13 et de 13. On fait :
13 – 1 = 12 et 12 × 13 = 156. La différence est 156.
369.
Différence de carrés
Comment
trouver la différence de deux nombres élevés au carré sans calculer le
carré de ces nombres ?
Étapes
• On
additionne les deux nombres.
• On
soustrait les deux nombres l’un de l’autre.
• On
multiplie l’un par l’autre les deux résultats.
Soit
à trouver la différence des carrés de 25 et de 18. On fait : 25 + 18
= 43, 25 – 18 = 7 et 43 × 7 = 301. La différence
est 301.
370.
Différence de carrés
Comment trouver la
différence de deux nombres consécutifs élevés au carré quand on connaît
le plus grand nombre ? (1)
Étapes
· Du plus grand nombre, on soustrait 1.
· On additionne le plus grand nombre.
Soit à trouver la
différence de 252 et de 242. On fait : 25
– 1 = 24 et 24 + 25 = 49. La différence est 49.
371.
Différence de carrés
Comment trouver la
différence de deux nombres consécutifs élevés au carré quand on connaît
le plus grand nombre ? (2)
Étapes
· On multiplie le plus grand nombre par 2.
· On soustrait 1.
Soit à trouver la
différence de 202 et de 192. On fait : 20 × 2 =
40 et 40 – 1 = 39. La différence est 39.
372.
Différence de carrés
Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré,
dont la différence est 2, sans effectuer le carré de ces nombres ?
Étapes
• On additionne 1 au plus petit nombre.
• On multiplie par 4.
Soit
à trouver la différence de 102
et de 82. On fait : 8 + 1 = 9 et 9
× 4 = 36. La différence est 36.
373.
Différence de carrés
Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré,
dont la différence est 3, sans effectuer le carré de ces nombres ?
Étapes
• On multiplie le plus petit nombre par 2.
• On additionne 3.
• On multiplie par 3.
Soit
à trouver la différence de 102
et de 72. On fait : 7 × 2 = 14,
14 + 3 = 17 et 17 × 3 = 51. La différence est 51.
374.
Différence de carrés
Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré,
dont la différence est 4, sans effectuer le carré de ces nombres ?
Étapes
• On additionne 2 au plus petit nombre.
• On multiplie par 8.
Soit
à trouver la différence de 112
et de 72. On fait : 7 + 2 = 9 et 9
× 8 = 72. La différence est 72.
375.
Différence de carrés
Comment trouver la différence de deux nombres élevés au carré,
dont la différence est n, sans effectuer le carré de ces nombres ?
Étapes
• On additionne les deux nombres.
• On multiplie par n.
Soit
à trouver la différence de 152
et de 72 dont la différence des bases est 8. On fait : 15 + 7 = 22 et 22 × 8 = 176. La différence est 176,
376.
Différence de carrés
Comment trouver
deux carrés dont la différence est un carré ? (1)
Étapes
• On choisit un carré impair.
• On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
• On soustrait 1 :
c’est la base du carré qui est soustrait.
• On extrait la
racine du carré choisi : c’est la base du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 121 le carré
choisi. On fait : 121 + 1 = 122, 122 ÷ 2 = 61 et 61 – 1 = 60. L’égalité
est : 612
– 602 = 112.
377.
Différence de carrés
Comment trouver
deux carrés dont la différence est un carré ? (2)
Étapes
· On choisit un carré.
· On additionne 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
· On soustrait 2 : c’est la base du carré qui est soustrait.
· On multiplie la racine du carré choisi par 2 : c’est la base du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 25 le carré
choisi dont la racine est 5. On fait : 25 + 1 = 26, 26 – 2 = 24 et 5
× 2 = 10. L’égalité est : 262 – 242 = 102.
378.
Différence de carrés
Comment trouver
deux carrés consécutifs dont la différence est un carré ? (1)
Étapes
· On choisit un carré impair.
· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est la base du premier carré.
· On soustrait 1 : c’est la base du deuxième carré.
· On extrait la racine carrée du nombre choisi : c’est la base du troisième
carré.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 81 le carré
choisi. On fait : 81 + 1 = 8
: c’est la base du troisième carré.
· On additionne 1 au nombre choisi.
· Du nombre choisi, on soustrait 1.
· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
· On divise par 2 : c’est la base du deuxième carré.
· On additionne 1 : c’est la base du premier carré.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre
choisi. On fait : 5 + 1 = 6, 5 – 1 = 4, 6 × 4 = 24, 24 ÷ 2 = 12 et
12 + 1 = 13. L’égalité est : 132 – 122 = 52.
380.
Différence
de carrés
Comment trouver
deux carrés dont la différence est égale à la différence de deux autres
carrés ?
Étapes
· On choisit deux nombres non consécutifs et de parité différente :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
· On additionne les deux nombres.
· On soustrait l’un par l’autre les deux nombres.
· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats précédents.
· On additionne 1 et on divise par 2 : c’est une base du deuxième
membre de l’égalité.
· On soustrait 1 : c’est une base du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 et 7 les
nombres choisis. On fait : 4 + 7 = 11, 7 – 4 = 3, 11 × 3 = 33, 33 +
1 = 34, 34 ÷ 2 = 17 et 17 – 1 = 16. L’égalité est : 72
– 42 = 172 – 162 = 33.
381.
Différence de carrés
Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux
chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ? (1)
Étapes
· On additionne les chiffres du nombre choisi.
· On soustrait les chiffres du nombre choisi.
· On multiplie l’un par l’autre les deux résultats. On note le résultat.
· On ajoute deux 0 à la fin.
· On soustrait le résultat noté.
Soit à trouver la
différence du carré de 72 et de celui de son renversé. On fait : 7 +
2 = 9, 7 – 2 = 5 et 9 × 5 = 45. On écrit 4500. On fait : 4500 –
45 = 4455. La différence est 4455.
382.
Différence de carrés
Comment trouver la différence du carré d’un nombre de deux
chiffres et du carré de son renversé sans avoir besoin du renversé ? (2)
Étapes
· On multiplie par lui-même chacun des chiffres du nombre choisi.
· On soustrait l’un de l’autre les deux résultats. On note le résultat.
· On ajoute deux 0 à la fin.
· On soustrait le résultat noté.
Soit à trouver la
différence du carré de 85 et de celui de son renversé. On fait : 8
× 8 = 64, 5 × 5 = 25 et 64 – 25 = 39. On écrit 3900. On fait :
3900 – 39 = 3861. La différence est 3861.
383.
Double opération
Comment trouver
deux nombres dont on connaît la somme de leurs carrés et la différence de
leurs carrés ?
Étapes
• On additionne
la somme et la différence de leurs carrés.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine carrée : c’est un premier nombre.
• On soustrait
la somme et la différence de leurs carrés.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine carrée : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver deux nombres dont la somme des
carrés est 169 et dont la différence des carrés est 119. On fait :
169 + 119 = 288, 288 ÷ 2 = 144, √144 = 12. On fait : 169 – 119
= 50, 50 ÷ 2 = 25 et √25 = 5. Les nombres sont 12 et 5.
384. Double opération
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs carrés
?
Étapes
• On multiplie
la différence par elle-même.
• De la somme
des carrés, on soustrait le résultat précédent.
• On multiplie
par 2.
• On additionne
le résultat de la première ligne.
• On extrait la
racine carrée.
• On additionne
la différence donnée.
• On divise par
2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait
la différence donnée : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la différence est 9 et dont la somme des carrés est 221.
On fait : 9 × 9 = 81, 221 – 81 = 140, 140 × 2 = 280, 280 + 81 = 361
et √361 = 19. On fait : 19 + 9 = 28, 28 ÷ 2 = 14 et 14 – 9 =
5. Les deux nombres sont 5 et 14.
385.
Double soustraction
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs
carrés ? (1)
Étapes
• On divise la
différence des carrés par la différence des deux nombres.
• On additionne
la différence des deux nombres.
• On divise par
2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait
la différence donnée des deux nombres : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la différence est 4 et dont la différence des carrés
est 88. On fait : 88 ÷ 4 = 22, 22 + 4 = 26, 26 ÷ 2 = 13 et 13 – 4 =
9. Les deux nombres sont 13 et 9.
386. Double soustraction
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs
carrés ? (2)
Étapes
• On multiplie
par elle-même la différence des deux nombres.
• De la différence
de leurs carrés, on soustrait le résultat précédent.
• On divise par
la différence donnée des deux nombres.
• On divise par
2 : c’est un premier nombre.
• On additionne
la différence donnée : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la différence est 5 et dont la différence des carrés
est 95. On fait : 5 × 5 = 25, 95 – 25 = 70, 70 ÷ 5 = 14, 14 ÷ 2 =
7 et 7 + 5 = 12. Les deux nombres sont 7 et 12.
387.
Double opération
Comment
trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré
? (1)
Étapes
• On choisit deux carrés de même parité.
• On additionne les deux carrés.
• On divise par 2 : c’est un premier nombre.
• On soustrait le plus petit carré : c’est un deuxième
nombre.
Soit
81 et 289 les carrés choisis. On fait : 81 +
289 = 370, 370 ÷ 2 = 185 et 185 – 81 = 104. Les deux nombres sont 185 et
104.
388.
Double opération
Comment
trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré
? (2)
Étapes
• On choisit deux nombres.
• On multiplie les deux nombres l’un par
l’autre.
• On multiplie par 2 : c’est un premier nombre.
• On multiplie par lui-même chacun des nombres choisis.
• On additionne les deux résultats précédents : c’est un
deuxième nombre.
Soit
3 et 8 les nombres choisis. On fait : 3 × 8
= 24, 24 × 2 = 48, 3 × 3 = 9, 8 × 8 = 64 et 9 + 64 = 73. Les deux nombres
sont 48 et 73.
389.
Double opération
Comment
trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré
? (3)
Étapes
• On choisit deux nombres.
• On les additionne.
• On multiplie le résultat par lui-même. On note le résultat.
• On soustrait l’un de l’autre les
deux nombres choisis.
• On multiplie le résultat par lui-même. On note le résultat.
• On additionne les deux résultats notés et on divise par 2 :
c’est un premier nombre.
• On soustrait l’un de l’autre les
deux résultats notés et on divise par 2 : c’est un deuxième
nombre.
Soit
8 et 10 les nombres choisis. On fait : 8 + 10
= 18, 18 × 18 = 324, 10 – 8 = 2 et 2 × 2 = 4. On fait : 324 + 4 =
328, 328 ÷ 2 = 164, 324 – 4 = 320 et 320
÷ 2 = 160. Les deux nombres sont 164 et 160.
390.
Double opération
Comment
trouver la différence entre deux sommes dont l’une est celle des carrés
de deux nombres et l’autre celle des nombres eux-mêmes, sans faire de
soustraction ?
Étapes
•
On choisit deux nombres.
•
On multiplie le premier nombre par son prédécesseur.
•
On multiplie le deuxième nombre par son prédécesseur.
•
On additionne les deux résultats.
Soit
à trouver la différence de 72 + 32 et de 7 + 3. On
fait : 7 × 6 = 42, 3 × 2 = 6 et 42 + 6 = 48. La différence est 48.
391.
Multiplication de carrés
Comment trouver le produit de deux nombres consécutifs élevés au
carré sans effectuer
cette multiplication ?
Étapes
• On multiplie le plus petit nombre par lui-même.
• On multiplie par le plus petit nombre.
• On additionne 2 au plus petit nombre.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
• On additionne le résultat de la première ligne.
Soit à trouver le produit des carrés de 8 et de 9. On fait :
8 × 8 = 64, 64 × 8 = 512, 8 + 2 = 10, 512 × 10 = 5120 et 5120 + 64 =
5184. Le produit est 5184.
392.
Multiplication de carrés
Comment trouver le produit de deux carrés dont les bases diffèrent
de 2 sans effectuer
cette multiplication ?
Étapes
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On multiplie par la plus petite base.
• On additionne 4 à la plus petite base.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
• On multiplie le résultat de la première ligne par 4.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver le produit des carrés de 9 et de 11. On fait :
9 × 9 = 81, 81 × 9 = 729, 9 + 4 = 13, 729 × 13 = 9477. On fait : 81
× 4 = 324 et 9477 + 324 = 9801. Le produit est 9801.
393.
Multiplication de carrés
Comment trouver le produit de deux carrés dont les bases diffèrent
de 3 sans effectuer
cette multiplication ?
Étapes
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On multiplie la plus petite base.
• On additionne 6 à la plus petite base.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
• On multiplie le résultat de la première ligne par 9.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver le produit des carrés de 9 et de 12. On fait :
9 × 9 = 81, 81 × 9 = 729 et 9 + 6 = 15. On fait : 729 × 15 = 10 935,
81 × 9 = 729 et 10 935 + 729 = 11 664. Le produit est 11 664.
394.
Division de carrés
Comment trouver le
quotient de deux carrés dont l’un est le multiple de l’autre ?
Étapes
• On divise les deux
bases.
• On multiplie le
quotient par lui-même.
Soit à trouver le
quotient du carré de 35 et de celui de 7. On fait : 35 ÷ 7 = 5
et 5 × 5 = 25. Le quotient est 25.
395.
Division par une racine carrée
Comment trouver le
quotient d’un nombre divisé par la racine carrée d’un second nombre
sans effectuer la division avec le radical ?
Étapes
• On divise le premier nombre par le second.
• On multiplie par la racine carrée du second nombre.
Soit à trouver le
quotient de 45 et de la racine
carrée de 2. On fait : 45 ÷ 2 = 22,5 et 22,5 × √2 = 31,82. Le
quotient est 31,82.
396.
Racine carrée
Comment
trouver d’une façon approximative la racine carrée d’un grand nombre ?
Étapes
• On
partage le nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite.
• On
recherche la racine carrée entière du nombre de la première ou des deux
premières tranches.
• On
ajoute autant de 0 qu’il reste de tranches.
Soit
à extraire la racine carrée de 298 561. On écrit 29 85 61. La racine
entière de 29 est 5. On ajoute deux 0. La racine carrée est supérieure à
500 sans dépasser 600.
Soit
à extraire la racine carrée de 1 298 561. On écrit 1 29 85 61. La
racine entière de 129 est 11. On ajoute deux 0. La racine carrée est supérieure
à 1100 sans dépasser 1200.
Chapitre
5. Cubes
et autres puissances
397.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On choisit trois nombres consécutifs.
• On multiplie les trois nombres.
• On additionne le nombre du milieu.
Soit 7, 8 et 9 les nombres choisis. On fait : 7 × 8 × 9 =
504 et 504 + 8 = 512. Le nombre 512 est un cube, celui de 8.
398.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (2)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 3.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 3.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 1.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 + 3 = 10, 10 ×
7 = 70, 70 + 3 = 73, 73 × 7 = 511 et 511 +
1 = 512. Le nombre 512 est un cube, celui de 8.
399.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (3)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On le multiplie par lui-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On divise par 2. On note le résultat.
• On soustrait les deux premiers résultats l’un
de l’autre.
• On divise par 2. On note le résultat.
• On élève au carré chacun des deux résultats notés.
• On soustrait les deux carrés l’un de
l’autre.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 ×
7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait :
282 = 784, 212 = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre
343 est un cube, celui de 7.
400.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (4)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par son successeur.
• On divise par 2.
• On soustrait le nombre choisi.
• On élève au carré chacun des deux résultats précédents.
• On soustrait les deux carrés l’un de
l’autre.
Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 ×
10 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 452 =
2025, 362 = 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube,
celui de 9.
401.
Cube d’un nombre
Comment
trouver le cube d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, qu’il y a de 9 dans le nombre à élever
au cube.
•
On écrit un 7.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, qu’il y a de 9 dans le nombre à élever
au cube.
•
On écrit un 2.
•
On écrit 9 autant de fois qu’il y a de 9 dans le nombre à élever au
cube.
Soit
à élever 9999 au cube. On écrit trois 9, un 7, trois 0, un 2 et quatre 9.
Le résultat est 999 700 029 999.
402.
Nombre et puissances
Comment
trouver la somme d’un nombre, de son carré et de son cube sans élever à
une puissance ?
Étapes
•
On multiplie le nombre par son successeur.
•
On additionne 1.
•
On multiplie le nombre choisi.
Soit
à trouver la somme de
6, de son carré et de son cube. On fait : 6 × 7 = 42, 42 + 1 = 43 et
43 × 6 = 258. La somme est 258.
403.
Nombre et
cube
Comment
trouver la somme d’un nombre et de son cube sans élever au cube ?
Étapes
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On additionne 1.
• On multiplie par le nombre donné.
Soit à trouver la somme
de 12 et du cube de 12. On fait : 12 × 12 = 144, 144 + 1 = 145
et 145 × 12 = 1740. La somme est 1740.
404. Carré et cube
Comment trouver la somme du carré d’un nombre et de son cube sans
élever à une puissance ?
Étapes
• On multiplie le nombre par 2.
• On multiplie par le nombre donné.
• On multiplie par la moitié du successeur du nombre donné.
Soit à trouver la somme
du carré de 14 et du cube de 14. On fait : 14 × 2 = 28, 28 ×
14 = 392 et 392 × 7,5 = 2940. La somme est 2940.
405.
Nombres et
cubes
Comment
trouver la somme de deux nombres et de leurs cubes sans élever au cube ?
Étapes
•
On multiplie le premier nombre par lui-même.
•
On additionne 1.
•
On multiplie par le premier nombre choisi. On note le résultat.
•
On multiplie le deuxième nombre par lui-même.
•
On additionne 1.
•
On multiplie par le deuxième nombre choisi.
•
On additionne le résultat noté.
Soit
à trouver la somme de
5, de 8, du cube de 5 et du cube de 8. On fait : 5 × 5 = 25, 25 + 1 =
26 et 26 × 5 = 130. On fait : 8 × 8 = 64, 64 + 1 = 65, 65 × 8 = 520
et 520 + 130 = 650. La somme est 650.
406.
Carrés et cubes
Comment
trouver la somme de deux nombres élevés au carré et au cube sans élever
à une puissance ?
Étapes
•
On multiplie le premier nombre par lui-même.
•
On multiplie par le successeur du premier nombre choisi. On note le résultat.
•
On multiplie le deuxième nombre par lui-même.
•
On multiplie par le successeur du deuxième nombre choisi.
•
On additionne le résultat noté.
Soit
à trouver la somme du carré
de 5, du carré de 8, du cube de 5 et du cube de 8. On fait : 5 × 5 =
25, 25 × 6 = 150, 8 × 8 = 64, 64 × 9 = 576 et 576 + 150 = 726. La somme
est 726.
407. Double addition
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs cubes ? (1)
Étapes
• On divise la
somme des cubes par la somme des deux nombres.
• Du carré de
la somme des nombres, on soustrait le résultat précédent.
• On divise par
3 : c’est le produit des deux nombres cherchés.
• On cherche deux diviseurs du produit dont la somme est celle
donnée.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme est 8 et dont la somme des cubes est 152. On fait :
152 ÷ 8 = 19, 64 – 19 = 45 et 45 ÷ 3 = 15. Les diviseurs possibles sont
3 et 5. Les nombres sont 3 et 5.
408.
Addition de deux cubes
Comment
trouver la somme de deux nombres élevés au cube sans connaître les cubes
?
Étapes
• On
additionne les deux nombres.
• On
additionne les carrés des deux nombres donnés.
• On
multiplie l’un par l’autre les deux nombres donnés.
• On
soustrait les deux résultats précédents.
• On
multiplie par le résultat de la première ligne.
Soit
à trouver la somme des cubes de 12 et de 7. On fait : 12 + 7 = 19, 122
+ 72 = 193, 12 × 7 = 84, 193
– 84 = 109 et 109 × 19 = 2071. La somme
est 2071.
409.
Addition de deux cubes
Comment trouver
la somme de deux nombres consécutifs
élevés au cube sans connaître les cubes ?
(1)
Étapes
· On additionne les deux nombres consécutifs.
· On multiplie l’un par l’autre les deux nombres donnés.
· On additionne 1.
· On multiplie par le résultat de la première ligne.
Soit à trouver la
somme des cubes de 12 et de 13. On fait : 12 + 13 = 25, 12 × 13 = 156,
156 + 1 = 157 et 157 × 25 = 3925. La somme est 3925.
410.
Addition de
deux cubes
Comment
trouver la somme de deux nombres consécutifs élevés au cube sans connaître les cubes ?
(2)
Étapes
• On
multiplie le plus petit nombre par 2.
• On
additionne 3.
• On
multiplie par le plus petit nombre.
• On
additionne 3.
• On
multiplie par le plus petit nombre.
• On
additionne 1.
Soit
à trouver la somme des cubes de 10 et de 11. On fait : 10 × 2 = 20,
20 + 3 = 23 et 23 × 10 = 230. On fait : 230 + 3 = 233, 233 × 10 =
2330 et 2330 + 1 = 2331. La somme est 2331.
411.
Addition de deux cubes
Comment
trouver la somme de deux nombres consécutifs élevés au cube sans connaître les cubes ? (3)
Étapes
• On multiplie le
plus grand nombre par 3.
• On multiplie le
plus petit nombre par lui-même.
• On multiplie par
2.
• On additionne le résultat
de la première ligne.
• On multiplie par
le plus petit nombre.
• On additionne 1.
Soit à trouver la
somme des cubes de 5 et de 6. On fait : 6 × 3 = 18, 5 × 5 = 25 et 25
× 2 = 50. On fait : 50 + 18 = 68, 68 × 5 = 340 et 340 + 1 = 341. La
somme est 341.
412.
Addition de
deux cubes
Comment
trouver la somme de deux cubes dont la différence des bases est 2 sans élever
au cube ?
Étapes
• On
multiplie la petite base par 2.
• On
additionne 6.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 12.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 8.
Soit
à trouver la somme des cubes de
10 et de 12. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 6 = 26 et 26 × 10 = 260. On
fait : 260 + 12 = 272, 272 × 10 = 2720 et 2720 + 8 = 2728. La somme
est 2728.
413.
Addition de
deux cubes
Comment
trouver la somme de deux cubes dont la différence des bases est 3 sans élever
au cube ?
Étapes
• On
multiplie la petite base par 2.
• On
additionne 9.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 27.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 27.
Soit
à trouver la somme des cubes de 10
et de 13. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 9 = 29 et 29 × 10 = 290. On
fait : 290 + 27 = 317, 317 × 10 = 3170 et 3170 + 27 = 3197. La somme
est 3197.
414.
Quatre cubes
Comment
décomposer un cube en une somme de trois cubes ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement le nombre choisi par 1, 6, 8 et 9 : ce sont
les bases. La plus grande base est placée dans le premier membre de l’égalité,
les autres dans le deuxième.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les produits sont 4, 24, 32 et 36. L’égalité est
: 363 = 43 + 243 + 323 = 46 656.
415.
Cinq cubes
Comment
trouver une égalité de sommes de cubes ? (1)
Étapes
•
On décompose 576 en trois facteurs a, b et c.
•
On remplace chaque variable par le facteur choisi : (a + b + c), (a –
b – c), (b – a – c), (c – a – b).
•
On place les résultats positifs dans un membre de l’égalité, les négatifs
sans signe dans l’autre membre.
•
On écrit 24 dans le membre des négatifs sans signe.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
a = 4, b = 9 et c = 16. On obtient successivement 29, -21, -11 et 3. L’égalité est
: 293 + 33 = 113 + 213 + 243
= 24 416.
416.
Cinq cubes
Comment
trouver une égalité de sommes de cubes ? (2)
Étapes
•
On donne des valeurs à a, b et c telles que 3abc est un cube.
•
On remplace chaque variable par le facteur choisi : (a + b + c), (a + b
– c), (a – b + c), (b + c – a).
•
On place le plus grand résultat dans
le premier membre de l’égalité, les autres dans l’autre membre. Si un
résultat est négatif, on le place dans le premier membre.
•
On extrait la racine cubique de 24abc. On place le résultat dans le second
membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
a = 3, b = 4 et c = 6. On obtient successivement 13, 1, 5 et 7. La racine
cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 133 = 13
+ 53 + 73 + 123 = 2197.
Soit
a = 2, b = 3 et c = 12. On obtient successivement 17, -7, 11 et 13. La
racine cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 173 + 73
= 113 + 123 + 133 = 5256.
417.
Cinq cubes
Comment
trouver une égalité de sommes de cubes ? (3)
Étapes
•
On trouve une valeur de m telle que 6m est un cube.
•
On extrait la racine cubique de 6m. On note le résultat.
•
On remplace la variable m par la valeur choisie : (m – 1), -m, -m et
(m + 1).
•
On place les résultats positifs dans le premier membre de l’égalité,
les négatifs sans signe et le résultat noté dans l’autre membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
m = 36. La racine cubique de 6m est 6. On obtient successivement 35, -36,
-36 et 37. L’égalité est : 353 + 373 = 63
+ 363 + 363 = 93 528.
418.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres
cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont
les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 11, 12, 18, puis 6, 8, 15, 17. L’égalité
est : 53 + 113 + 123 + 183
= 63 + 83 + 153 + 173 = 9016.
419.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres
cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 7, 8, 14 au nombre choisi : ce sont les
bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 4, 11, 13 au nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
6 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité
est : 73 + 133 + 143 + 203
= 83 + 103 + 173 + 193 = 13 284.
420.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres
cubes ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement 1, 7, 8, 14 par le nombre choisi : ce sont
les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On multiplie successivement 2, 4, 11, 13 par le nombre choisi : ce sont
les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 49, 56, 98, puis 14, 28, 77, 91.
L’égalité est : 73 + 493 + 563 +
983 = 143 + 283 + 773 + 913
= 1 234 800.
421. Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres
cubes ? (4)
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
On ajoute + 02 comme deuxième élément du deuxième membre de
l’égalité.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
32 + 42 = 52 le triplet choisi. On écrit :
32 + 42 = 52 + 02. On choisit 9
comme opérateur. On fait : 9 – 3 = 6, 9 + 3 = 12, 9 – 4 = 5 et 9 +
4 = 13. On fait : 9 – 5 = 4, 9 + 5 = 14, 9 – 0 = 9 et 9 + 0 = 9.
L’égalité est : 53 + 63 + 123 + 133
= 43 + 93 + 93 + 143 = 4266.
422.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre autres
cubes ? (5)
Étapes
On
choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à
la somme de deux autres carrés.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
42 + 172 = 72 + 162 l’égalité
choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 +
4 = 22, 18 – 17 = 1 et 18 + 17 = 35. On fait : 18 – 7 = 11, 18 + 7
= 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 13
+ 143 + 223 + 353 = 23 + 113
+ 253 + 343 = 56 268.
423.
Dix cubes
Comment
trouver cinq cubes dont la somme est égale à celle de cinq autres cubes ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17, 24, puis 6, 7, 14, 20, 23.
On écrit : 53 + 83 + 163 + 173
+ 243 = 63 + 73 + 143 + 203
+ 233 = 23 470.
424.
Douze cubes
Comment
trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?
(1)
Étapes
•
On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 :
ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
•
On choisit un autre nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent :
ce sont des bases du deuxième membre.
•
On additionne A successivement à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du
deuxième membre.
•
On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du
premier membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les
sommes sont 16, 21 et 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10 et 15. On
additionne B. Les sommes sont 17, 19 et 24. L’égalité est : 73
+ 123 + 143 + 173 + 193 + 243
= 83 + 103 + 153 + 163 + 213
+ 233 = 30 411.
425. Douze cubes
Comment
trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six autres cubes ?
(2)
Étapes
•
On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale
à la somme de trois autres carrés.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chacune des bases de l’égalité, on soustrait et on additionne
l’opérateur.
•
On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
62 + 72 + 112 = 52 + 92
+ 102 l’égalité choisie. On choisit 12 comme opérateur. On
fait : 12 – 6 = 6, 12 + 6 = 18, 12 – 7 = 5, 12 + 7 = 19, 12 – 11
= 1 et 12 + 11 = 23. On fait de même pour le deuxième membre. On
obtient 7, 17, 3, 21, 2 et 22. L’égalité est : 13 + 53
+ 63 + 183 + 193 + 233 = 23
+ 33 + 73 + 174 + 213 + 223
= 25 200.
426.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On
soustrait l’une de l’autre les deux bases.
• On
multiplie chaque base par elle-même.
• On
additionne les deux derniers résultats.
• On
multiplie les deux bases l’une par l’autre.
• On
additionne les deux résultats précédents.
• On
multiplie par le résultat de la première ligne.
Soit
à trouver la différence du cube de 12 et du cube de 7. On fait : 12
– 7 = 5, 12 × 12 = 144, 7 × 7 = 49, 144 + 49 = 193 et 12 ×
7 = 84. On fait : 193 + 84 = 277 et 277 ×
5 = 1385. La différence est 1385.
427.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes sans élever au cube ? (2)
Étapes
• On soustrait l’une
de l’autre les deux bases.
• On additionne les
deux bases.
• On multiplie la
somme par elle-même.
• On multiplie
l’une par l’autre les deux bases.
• On soustrait
l’un de l’autre les deux résultats précédents.
• On multiplie par le résultat de la première ligne.
Soit à trouver la
différence du
cube de 13 et du cube de 7. On fait :
13 – 7 = 6, 13 + 7 = 20 et 20 × 20 = 400. On fait : 13 × 7 = 91,
400 – 91 = 309 et 309 × 6 = 1854. La différence est 1854.
428.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 3.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 1.
Soit à trouver la
différence du
cube de 11 et du cube de 10. On fait : 3
× 11 = 33, 33 × 10 = 330 et 330 + 1 = 331. La différence est 331.
429.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (2)
Étapes
• On additionne les deux bases.
• On multiplie par la plus grande.
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence du
cube de 6 et du cube de 5. On fait : 6 + 5 =
11, 11 × 6 = 66, 5 × 5 = 25 et 66 + 25 = 91. La différence est 91.
430.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (3)
Étapes
• On additionne les
deux bases.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On multiplie l’une
par l’autre les deux bases.
• On soustrait l’un de
l’autre les deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence du
cube de 12 et du cube de 11. On fait :
12 + 11 = 23, 23 × 23 = 529, 12 × 11 = 132 et 529 – 132 = 397. La différence
est 397.
431.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (4)
Étapes
• On additionne les deux bases.
• On soustrait 1.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne le résultat de la deuxième ligne.
• On divise par 2.
• On multiplie la plus grande base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence du
cube de 8 et du cube de 7. On fait : 8 + 7 =
15, 15 – 1 = 14 et 14 × 14 = 196. On fait : 196 + 14 = 210, 210 ÷ 2
= 105, 8 × 8 = 64 et 105 + 64 = 169. La différence est 169.
432.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (5)
Étapes
• On additionne les deux bases.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On divise par 2.
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence du
cube de 7 et du cube de 6. On fait : 7 + 6 =
13, 13 × 13 = 169, 169 + 13 = 182, 182 ÷ 2 = 91, 6 × 6 = 36 et 91 + 36 =
127. La différence est 127.
433.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (6)
Étapes
·
On multiplie la plus grande base par elle-même.
·
On multiplie par 3.
·
On multiplie la plus grande base par 3.
·
On soustrait l’un de l’autre les deux résultats
précédents.
·
On additionne 1.
Soit à trouver la
différence du
cube de 14 et du cube de 13. On fait :
14 × 14 = 196, 196 × 3 = 588, 14 × 3 = 42, 588 – 42 = 546 et 546 + 1 =
547. La différence est 547.
434.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 2
sans élever au cube ?
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 6.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 8.
Soit à trouver la
différence du
cube de 11 et du cube de 9. On fait :
11 × 6 = 66, 66 × 9 = 594 et 594 + 8 = 602. La différence est 602.
435.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 3
sans élever au cube ?
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 9.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 27.
Soit à trouver la
différence du
cube de 11 et du cube de 8. On fait :
11 × 9 = 99, 99 × 8 = 792 et 792 + 27 = 819. La différence est 819.
436.
Soustraction de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes dont la différence des bases est 4 sans élever
au cube ?
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 12.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 64.
Soit à trouver la
différence du
cube de 9 et du cube de 5. On fait : 9
× 12 = 108, 108 × 5 = 540 et 540 + 64 = 604. La différence est 604.
437.
Double opération
Comment trouver
deux nombres dont on connaît la somme de leurs cubes et la différence de
leurs cubes ?
Étapes
• On additionne
la somme et la différence de leurs cubes.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine cubique : c’est un premier nombre.
• On soustrait
la somme et la différence de leurs cubes.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine cubique
: c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme des cubes est 468 et dont la différence des
cubes est 218. On fait : 468 + 218 = 686 et 686 ÷ 2 = 343. La racine
cubique de 343 est 7. On fait : 468 – 218 = 250 et 250 ÷ 2 = 125. La
racine cubique de 125 est 5. Les nombres sont 5 et 7.
438.
Cube et base
Comment
trouver la différence du cube d’un nombre et de sa base sans élever au
cube ?
Étapes
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On soustrait 1.
• On multiplie par le nombre donné.
Soit à trouver la différence
du
cube de 12 et de 12. On fait : 12 × 12 =
144, 144 – 1 = 143 et 143 × 12 = 1716. La différence est 1716.
439.
Cube et carré
Comment trouver la différence du cube d’un nombre et du carré
de ce nombre sans élever au cube ?
Étapes
• On soustrait 1 au nombre.
• On multiplie le nombre donné par lui-même.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats.
Soit à trouver la différence
du
cube de 15 et du carré de 15. On fait : 15
– 1 = 14, 15 × 15 = 225 et 225 × 14 = 3150. La différence est 3150.
440.
Soustraction de sommes
Comment
trouver la différence de deux sommes dont l’une est celle de deux nombres
élevés au cube et dont l’autre est celle des deux mêmes nombres ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par elle-même.
•
On soustrait 1.
•
On multiplie par la plus petite base. On note le résultat.
•
On multiplie la plus grande base par elle-même.
•
On soustrait 1.
•
On multiplie par la plus grande base.
•
On additionne le résultat noté.
Soit
à soustraire la somme de 33 et de 73 et la somme de 3
et de 7. On fait : 3 × 3 = 9, 9 – 1 = 8 et 8 × 3 = 24. On fait :
7 × 7 = 49, 49 – 1 = 48, 48 × 7 = 336 et 336 + 24 = 360. La différence
est 360.
441.
Cubes et carrés
Comment
trouver la différence de deux sommes dont l’une est celle de deux nombres
élevés au cube et dont l’autre est celle des deux mêmes nombres élevés
au carré ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par elle-même.
•
On multiplie par le prédécesseur de la plus petite base.
•
On multiplie la plus grande base par elle-même.
•
On multiplie par le prédécesseur de la plus grande base.
•
On additionne le résultat de la deuxième ligne.
Soit
à soustraire la somme de 73 et de 33 et la somme de 72
et de 32. On fait : 3 × 3 = 9 et 9 × 2 = 18. On fait :
7 × 7 = 49, 49 × 6 = 294 et 294 + 18 = 312. La différence est 312.
442.
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette
puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On additionne 1.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On soustrait le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 ×
7 = 49, 49 + 1 = 50, 50 × 7 = 350, 350 – 7 = 343 et 343 × 7 = 2401. Le
nombre 2401 est la puissance 4 de 7.
443.
Puissance 4 d’un nombre
Comment
trouver la puissance 4 d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 6.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 5.
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 6.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 1.
Soit
à élever 9999 à la puissance 4. On écrit trois 9, un 6, trois 0, un 5,
trois 9, un 6, trois 0 et un 1. Le résultat est 9 996 000 599 960
001.
444.
Addition de puissances
Comment
trouver la somme d’un nombre et de ses puissances 2, 3 et 4 sans élever
à une puissance ?
Étapes
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On additionne 1 au carré du nombre choisi.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.
•
On multiplie par le nombre choisi.
Soit
à faire la somme de 5, de son carré, de son cube et de sa quatrième
puissance. On fait : 5 + 1 = 6, 1 + 25 = 26, 6 × 26 = 156 et 156 × 5
= 780. La somme est 780.
445.
Six puissances 4
Comment
trouver trois nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de trois autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
•
On multiplie le nombre choisi par 7.
•
On additionne 2 : c’est une base du premier membre.
•
On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du
premier membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 3.
•
On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 5.
•
On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.
•
On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième
membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et
1 + 23 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16
et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 14 + 234 +
244 = 114 + 164 + 274 = 611 618.
446.
Dix puissances 4
Comment
trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 5, 9, 17 et 18 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3, 11, 15 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 10, 14, 22, 23, puis 7, 8, 16, 20,
24. L’égalité est : 64 + 104
+ 144 + 224 + 234 = 74 + 84
+ 164 + 204 + 244 = 563 809.
447.
Dix puissances 4
Comment
trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de cinq autres nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On ajoute successivement ce nombre après 1, 5, 9, 17 et 18 : ce sont les
bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On ajoute successivement ce nombre après 2, 3, 11, 15 et 19 : ce sont les
bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
9 le nombre choisi. On obtient 19, 59, 99, 179 et 189, puis 29, 39, 119, 159
et 199. L’égalité est : 194 + 594
+ 994 + 1794 + 1894 = 294 + 394
+ 1194 + 1594 + 1994 = 2 410 922 805.
448.
Douze puissances 4
Comment
trouver six nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de six autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi :
ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 8, 9, 19, 20, 25, puis 4, 5, 13, 15,
23, 24. On écrit : 34 + 84 + 94
+ 194 + 204 + 254 = 44 + 54
+ 134 + 154 + 234 + 244 = 691
684.
449.
Soustraction de puissances 4
Comment trouver la
différence de deux nombres consécutifs à la puissance à 4 sans élever
à cette puissance ?
Étapes
• On multiplie chacune des bases par elle-même.
• On additionne les deux résultats.
• On additionne les deux bases.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence de 94 et de 84. On fait : 9 × 9 = 81, 8 × 8 = 64, 81 + 64 = 145, 9 + 8 = 17 et 145
× 17 = 2465. La différence est 2465.
450.
Puissance 5 d’un nombre
Comment trouver la puissance 5 d’un nombre sans élever à cette
puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par son successeur.
• On multiplie le nombre choisi par son prédécesseur.
• On additionne 1.
• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.
• On soustrait le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit à élever 4 à la puissance 5. On fait : 4 ×
5 = 20, 4 × 3 = 12, 12 + 1 = 13, 13 × 20
= 260, 260 – 4 = 256 et 256 × 4 = 1024. Le nombre 1024 est la puissance 5
de 4.
451.
Puissance 5 d’un nombre
Comment
trouver la puissance 5 d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 5.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit 9 autant de fois que le nombre contient de 9.
•
On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 4.
•
On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.
Soit
à élever 9999 à la puissance 5. On écrit trois 9, un 5, trois 0, quatre
9, quatre 0, un 4, quatre 9. Le résultat est 99 950 009 999 000 049 999.
452.
Douze puissances 5
Comment
trouver six nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à
celle de six autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 4, 9, 10, 20, 21, 26, puis 5, 6, 14, 16,
24, 25. On écrit : 45 + 95 + 105
+ 205 + 215 + 265 = 55 + 65
+ 145 + 165 + 245 + 255 = 19 325
550.
453.
Puissance 6 d’un nombre
Comment trouver un nombre élevé à la puissance 6 sans élever à
cette puissance ?
Étapes
• On choisit un cube.
• On soustrait 1.
• On additionne 1 au nombre choisi.
• On multiplie les deux derniers résultats.
• On additionne 1.
Soit 27 le nombre choisi. On fait : 27 – 1 = 26, 27 + 1 =
28, 26 ×
28 = 728 et 728 + 1 = 729. Le nombre 729 est une puissance 6, soit 36.
454.
Quatorze puissances 6
Comment
trouver sept nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à
celle de sept autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0, 18, 27, 58, 64, 89, 101
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1, 13, 38, 44, 75, 84, 102 au
nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 4,
22, 31, 62, 68, 93, 105, puis 5,
17, 42, 48, 79, 88, 106. On écrit : 46 + 226
+ 316 + 626 + 686 + 936 + 1056
= 56 + 176 + 426 + 486 + 796
+ 886 + 1066 = 2 143 754 429 963.
455.
Seize puissances 6
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à
celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1,
2, 11, 20, 30, 39, 48, 49 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 7, 12, 26, 30, 44, 49, 53,
puis 4,
5, 14, 23, 33, 42, 51, 52. On écrit : 36 + 76
+ 126 + 266 + 306 + 446 + 496
+ 536 = 46 + 56 + 146 + 236
+ 336 + 426 + 516 + 526 = 44 302 982 324.
456.
Seize puissances 7
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à
celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
5, 10, 24, 28, 42, 47, 51 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 2,
3, 12, 21, 31, 40, 49, 50 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55,
puis 6,
7, 16, 25, 35, 44, 53, 54. On écrit : 57 + 97
+ 147 + 287 + 327 + 467 + 517
+ 557 = 67 + 77 + 167 + 257
+ 357 + 447 + 537 + 547 = 2 903 626 510
920.
457.
Seize puissances 7
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à
celle de huit autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
13, 28, 70, 82, 124, 139, 151 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 4,
7, 34, 61, 91, 118, 145, 148 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 18, 33, 75, 87, 129, 144,
156,
puis 9,
12, 39, 66, 96, 123, 150, 153. On écrit : 67
+ 187 + 337
+ 757 + 877
+ 1297 + 1447
+ 1567 =
97
+ 127 + 397
+ 667 + 967
+ 1237 + 1507
+ 1537
= 4 177 895 679 571 212.
458.
Dix-huit puissances 8
Comment
trouver neuf nombres élevés à la puissance 8 dont la somme est égale à
celle de neuf autres nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 24, 30, 83, 86, 133, 157,
181, 197 au
nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 17, 41, 65, 112, 115, 168,
174, 198 au
nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 8 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 27, 33, 86, 89, 136, 160,
184, 200,
puis 4,
20, 44, 68, 115, 118, 171, 177, 201. On écrit : 38 + 278
+ 338 + 868 + 898 + 1368 + 1608
+ 1848 + 2008 = 48 + 208 + 448
+ 688 + 1158 + 1188 + 1718 + 1778
+ 2018 = 4 427 301 291 098 351 172.
Lire
la suite
