700 trucs mathématiques

Soit à trouver le terme général de la suite dont les deux premiers termes sont 1 et 4. La différence est 3. On écrit 3n. On fait : 1 – 3 = -2. Le terme général de la suite est 3n – 2.

460. Terme d’une suite

Comment trouver le terme général d’une suite dont on connaît les deux premiers termes de rangs impairs ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux premiers termes.

• On divise par 2.

• On multiplie ce résultat par n où n est le rang d’un terme.

• Du plus petit nombre, on soustrait la demie de la différence.

• On écrit à la suite les deux résultats précédents.

Soit à trouver le terme général de la suite dont le premier terme est 2 et dont le troisième est 8. La différence entre les deux premiers termes est 6. On fait : 6 ÷ 2 = 3. On écrit 3n. On fait : 2 – 3 = –1. Le terme général de la suite est 3n – 1.

461. Terme d’une suite
Comment trouver le terme d’un rang donné dans une suite dont on connaît les deux premiers termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux termes.

• On multiplie par le rang qui précède celui du terme cherché.

• On additionne le premier terme.

Soit à trouver le 30^e terme de la suite dont les deux premiers termes sont 4 et 7. La différence est 3. On fait : 3 × 29 = 87 et 87 + 4 = 91. Le 30^e terme est 91.

462. Terme d’une suite
Comment trouver le terme d’un rang donné dans une suite dont on connaît le premier, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

• On multiplie par le rang qui précède celui du terme cherché.

• On additionne le premier terme.

Soit à trouver le 10^e terme de la suite de 14 termes dont le premier terme est 2 et dont le dernier est 67. On fait : 67 – 2 = 65, 65 ÷ 13 = 5, 5 × 9 = 45 et 45 + 2 = 47. Le 10^e terme est 47.

463. Terme d’une suite

Comment trouver le terme du milieu d’une suite qui contient un nombre impair de termes quand on connaît le premier et le dernier terme ?

Étapes

• On additionne les deux termes.

• On divise par 2.

Soit à trouver le terme du milieu d’une suite dont le premier terme est 4 et dont le dernier est 28. On fait : 4 + 28 = 32 et 32 ÷ 2 = 16. Le terme du milieu est 16.

464. Terme d’une suite

Comment trouver le dernier terme d’une suite dont on connaît le premier terme, la raison et le nombre de termes ?

Étapes

• Du nombre de termes, on soustrait 1.

• On multiplie par la raison.

• On additionne le premier terme.

Soit à trouver le dernier terme d’une suite de 12 termes dont le premier terme est 8 et la raison 7. On fait : 12 – 1 = 11, 11 × 7 = 77 et 77 + 8 = 85. Le dernier terme est 85.

465. Raison d’une suite
Comment trouver la raison d’une suite dont on connaît le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par le prédécesseur du nombre de termes.

Soit à trouver la raison d’une suite de 15 termes dont le premier terme est 3 et le dernier 59. On fait : 59 – 3 = 56 et 56 ÷ 14 = 4. La raison est 4.

466. Nombre de termes

Comment trouver le nombre de termes d’une suite dont on connaît le premier terme, le dernier terme et la raison ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On divise par la raison.

• On additionne 1.

Soit à trouver le nombre de termes d’une suite dont la raison est 3, le premier terme 11 et le dernier terme 98. On fait : 98 – 11 = 87, 87 ÷ 3 = 29 et 29 + 1 = 30. La suite contient 30 termes.

467. Nombre de termes

Comment trouver le nombre de termes d’une suite de nombres consécutifs dont on connaît le premier et le dernier terme ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On additionne 1.

Soit à trouver le nombre de termes d’une suite dont le premier terme est 21 et dont le dernier est 99. On fait : 99 – 21 = 78 et 78 + 1 = 79. La suite contient 79 termes.

468. Insertion de termes

Comment insérer un certain nombre de termes dans une suite dont on connaît le premier et le dernier terme ?

Étapes

• On trouve la différence entre le premier et le dernier terme.

• On additionne 1 au nombre de termes à insérer.

• On divise le résultat de la première ligne par celui de la deuxième ligne.

• On additionne successivement le résultat à partir du premier terme.

Soit à insérer trois termes entre 2 et 14. On fait : 14 – 2 = 12, 3 + 1 = 4 et 12 ÷ 4 = 3. On fait : 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8 et 8 + 3 = 11. Les trois termes à insérer sont 5, 8 et 11.

469. Addition d’une suite

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont on connaît les deux premiers termes et le nombre de termes ?

Étapes

• On trouve la différence entre les deux premiers termes.

• On multiplie par le nombre de termes.

• Du premier terme, on soustrait le résultat de la première ligne.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On additionne le premier terme.

• On multiplie par le nombre de termes.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des 10 termes d’une suite dont les deux premiers termes sont 5 et 8. On fait : 8 – 5 = 3, 3 × 10 = 30, 5 – 3 = 2 et 30 + 2 = 32. On fait : 32 + 5 = 37, 37 × 10 = 370 et 370 ÷ 2 = 185. La somme est 185.

470. Addition d’une suite

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont on connaît le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier terme.

• On multiplie par le nombre de termes.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des 7 termes d’une suite dont le premier terme est 3 et le dernier 33. On fait : 3 + 33 = 36, 36 × 7 = 252 et 252 ÷ 2 = 126. La somme est 126.

471. Suite de raison 1

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont on connaît le premier et le dernier terme et dont la raison est 1 ?

Étapes

• On additionne le premier et le dernier terme.

• On divise par 2.

• Du dernier terme, on soustrait le premier.

• On additionne 1.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le premier terme est 12, le dernier terme 39 et la raison 1. On fait : 12 + 39 = 51 et 51 ÷ 2 = 25,5. On fait : 39 – 12 = 27, 27 + 1 = 28 et 28 × 25,5 = 714. La somme est 714.

472. Suite de raison 1

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 1 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 1 au dernier terme.

• On multiplie par le dernier terme.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le premier terme est 1 et dont le dernier terme est 21. On fait : 21 + 1 = 22, 22 × 21 = 462 et 462 ÷ 2 = 231. La somme est 231.

473. Suite de raison 2

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 2 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 1 au dernier terme.

• On divise par 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le premier terme est 1 et dont le dernier terme est 23. On fait : 23 + 1 = 24, 24 ÷ 2 = 12 et 12 × 12 = 144. La somme est 144.

474. Suite de raison 2

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 2, dont la raison est 2 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On divise le dernier terme par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 22. On fait : 22 ÷ 2 = 11, 11 + 1 = 12 et 11 × 12 = 132. La somme est 132.

475. Suite de raison 3

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 3 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 2 au dernier terme.

• On divise par 3.

• On additionne 1 au dernier terme.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 25. On fait : 25 + 2 = 27, 27 ÷ 3 = 9, 25 + 1 = 26, 26 × 9 = 234 et 234 ÷ 2 = 117. La somme est 117.

476. Suite de raison 3

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 3, dont la raison est 3 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On divise le dernier terme par 3.

• On multiplie par le successeur.

• On divise par 2.

• On multiplie par 3.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 45. On fait : 45 ÷ 3 = 15, 15 × 16 = 240, 240 ÷ 2 = 120 et 120 × 3 = 360. La somme est 360.

477. Suite de raison 4

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 1, dont la raison est 4 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On additionne 3 au dernier terme.

• On divise par 4.

• On additionne 1 au dernier terme.

• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 53. On fait : 53 + 3 = 56, 56 ÷ 4 = 14, 53 + 1 = 54, 54 × 14 = 756 et 756 ÷ 2 = 378. La somme est 378.

478. Suite de raison 4

Comment trouver la somme des termes d’une suite dont le premier terme est 4, dont la raison est 4 et dont on connaît le dernier terme ?

Étapes

• On divise par 4 le dernier terme.

• On additionne 1.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme des termes de la suite dont le dernier terme est 40. On fait : 40 ÷ 4 = 10, 10 + 1 = 11, 10 × 11 = 110 et 110 × 2 = 220. La somme est 220.

479. Suite de carrés consécutifs

Comment trouver la somme de carrés consécutifs dans une suite dont le premier terme est 1 et dont on connaît le rang du dernier terme ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang du dernier terme, le rang suivant et la somme des deux rangs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des neuf plus petits carrés. On fait : 9 × 10 × 19 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. La somme est 285.

480. Suite de carrés consécutifs

Comment trouver la somme de carrés consécutifs dans une suite dont le premier terme est 1 et dont on connaît le rang du dernier terme ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang du dernier carré par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie le résultat, le rang du dernier carré et le rang suivant.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 10 plus petits carrés. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 1 = 21, 21 × 10 × 11 = 2310 et 2310 ÷ 6 = 385. La somme est 385.

481. Suite de carrés consécutifs

Comment trouver la somme de carrés consécutifs dans une suite dont le premier terme est 1 et dont on connaît le nombre de termes ?

Étapes

• On multiplie le nombre de termes par son successeur.

• On additionne le nombre de termes et son successeur.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des 12 plus petits carrés. On fait : 12 × 13 = 156, 12 + 13 = 25, 156 × 25 = 3900 et 3900 ÷ 6 = 650. La somme est 650.

482. Suite de carrés consécutifs

Comment trouver la somme de carrés consécutifs dans une suite dont on connaît la base du plus petit carré et le nombre de termes ?

Étapes

• On additionne la base du plus petit carré et le nombre de termes.

• On soustrait 1.

• On multiplie le résultat, son successeur et la somme des deux nombres.

• Du rang du premier terme, on soustrait 1.

• On multiplie le résultat, son successeur et la somme des deux nombres.

• De la troisième ligne, on soustrait le résultat précédent.

• On divise par 6.

Soit à trouver, à partir du septième carré, la somme de cinq carrés consécutifs. On fait : 7 + 5 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 × 12 × 23 = 3036. On fait : 7 – 1 = 6, 6 × 7 × 13 = 546, 3036 – 546 = 2490 et 2490 ÷ 6 = 415. La somme est 415.

483. Carré précédent

Comment trouver le carré qui précède un autre carré sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 2.

• On soustrait 1.

• Du carré donné, on soustrait le résultat précédent.

Soit à trouver le carré qui précède 144. La racine carrée de 144 est 12. On fait : 12 × 2 = 24, 24 – 1 = 23 et 144 – 23 = 121. Le carré cherché est 121.

484. Carré précédent

Comment trouver le carré qui précède un autre carré de deux rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 4.

• On soustrait 4.

• Du carré donné, on soustrait le résultat précédent.

Soit à trouver le carré qui précède 400 de deux rangs. La racine carrée de 400 est 20. On fait : 20 × 4 = 80, 80 – 4 = 76 et 400 – 76 = 324. Le carré cherché est 324.

485. Carré précédent

Comment trouver le carré qui précède un autre carré de trois rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 6.

• On soustrait 9.

• Du carré donné, on soustrait le résultat précédent.

Soit à trouver le carré qui précède 100 de trois rangs. La racine carrée de 100 est 10. On fait : 10 × 6 = 60, 60 – 9 = 51 et 100 – 51 = 49. Le carré cherché est 49.

486. Carré précédent

Comment trouver le carré qui précède un autre carré de quatre rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 8.

• On soustrait 16.

• Du carré donné, on soustrait le résultat précédent.

Soit à trouver le carré qui précède 100 de quatre rangs. La racine carrée de 100 est 10. On fait : 10 × 8 = 80, 80 – 16 = 64 et 100 – 64 = 36. Le carré cherché est 36.

487. Carré précédent

Comment trouver le carré qui précède un autre carré de cinq rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On soustrait 25.

• Du carré donné, on soustrait le résultat précédent.

Soit à trouver le carré qui précède 225 de cinq rangs. La racine carrée de 225 est 15. On écrit 150. On fait : 150 – 25 = 125 et 225 – 125 = 100. Le carré cherché est 100.

488. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 2.

• On additionne 1.

• On additionne le carré donné.

Soit à trouver le carré qui suit 144. La racine carrée de 144 est 12. On fait : 12 × 2 = 24, 24 + 1 = 25 et 25 + 144 = 169. Le carré cherché est 169.

489. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré dont on connaît le rang ? (1)

Étapes

• On multiplie par le rang suivant.

• On additionne le dernier rang.

Soit à trouver le carré qui suit celui de rang 7. On fait : 7 × 8 = 56 et 56 + 8 = 64. Le carré cherché est 64.

490. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré dont on connaît le rang ? (2)

Étapes

• On additionne 2 au rang du carré.

• On multiplie par le rang du carré.

• On additionne 1.

Soit à trouver le carré qui suit celui de rang 11. On fait : 11 + 2 = 13, 13 × 11 = 143 et 143 + 1 = 144. Le carré cherché est 144.

491. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré de deux rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 4.

• On additionne 4.

• On additionne le carré donné.

Soit à trouver le carré qui suit 400 de deux rangs. La racine carrée de 400 est 20. On fait : 20 × 4 = 80, 80 + 4 = 84 et 84 + 400 = 484. Le carré cherché est 484.

492. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré de trois rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 6.

• On additionne 9.

• On additionne le carré donné.

Soit à trouver le carré qui suit 324 de trois rangs. La racine carrée de 324 est 18. On fait : 18 × 6 = 108, 108 + 9 = 117 et 117 + 324 = 441. Le carré cherché est 441.

493. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré de quatre rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On multiplie par 8.

• On additionne 16.

• On additionne le carré donné.

Soit à trouver le carré qui suit 121 de quatre rangs. La racine carrée de 121 est 11. On fait : 11 × 8 = 88, 88 + 16 = 104 et 104 + 121 = 225. Le carré cherché est 225.

494. Carré suivant

Comment trouver le carré qui suit un autre carré de cinq rangs sans élever au carré ?

Étapes

• On extrait la racine du carré donné.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne 25.

• On additionne le carré donné.

Soit à trouver le carré qui suit 81 de cinq rangs. La racine carrée de 81 est 9. On écrit 90. On fait : 90 + 25 = 115 et 115 + 81 = 196. Le carré cherché est 196.

495. Suite de carrés

Comment trouver trois carrés qui forment une suite dont la différence entre les termes est identique ?

Étapes

• On choisit deux nombres.

• On multiplie les deux nombres l’un par l’autre.

• On multiplie par 2 : c’est la valeur de A.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés des deux nombres choisis : c’est la valeur de B.

• On fait A – B : c’est la base du premier carré.

• On additionne les carrés des deux nombres choisis : c’est la base du deuxième carré.

• On fait A + B : c’est la base du troisième carré.

Soit 3 et 5 les nombres choisis. On fait : 3 × 5 = 15 et 15 × 2 = 30. On fait : 25 – 9 = 16, 30 – 16 = 14, 9 + 25 = 34 et 30 + 16 = 46. Les carrés de 14, 34 et 46 sont respectivement 196, 1156 et 2116. La différence entre chaque nombre voisin est 960.

496. Double suite

Comment trouver le terme de rang donné d’une suite dont le premier terme est 1 et dont la raison est la suite des nombres consécutifs à partir de 1 ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par son prédécesseur.

• On divise par 2.

• On additionne 1.

Soit à trouver le terme de rang 12 de la suite : 1, 2, 4, 7, 11, 16, … On fait : 12 × 11 = 132, 132 ÷ 2 = 66 et 66 + 1 = 67. Le terme cherché est 67.

497. Terme d’un rang

Comment trouver le terme d’un rang donné de la suite 1, 3, 7, 14, 25, 41, 63 … ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne 5.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 6.

Soit à trouver le terme de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 5 = 126, 126 × 11 = 1386 et 1386 ÷ 6 = 231. Le terme cherché est 231.

Chapitre 7. Nombres figurés

498. Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre est triangulaire ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 40 est triangulaire. On fait : 40 × 8 = 320, 320 + 1 = 321 et √321 = 17,9. Le nombre 40 n’est pas triangulaire.

Soit à savoir si 91 est triangulaire. On fait : 91 × 8 = 728, 728 + 1 = 729 et √729 = 27. Le nombre 91 est triangulaire.

499. Nombres triangulaires

Comment savoir si un nombre est triangulaire ? (2)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double plus 1 ou moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est triangulaire. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 105 est triangulaire. Le couple de facteurs possible est (7, 15). Le nombre 105 est triangulaire puisque 7 × 2 +1 = 15.

Soit à savoir si 176 est triangulaire. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 176 n’est pas triangulaire.

500. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1 et on divise par 2.

Soit à trouver le rang du triangulaire 105. On fait : 105 × 8 = 840, 840 + 1 = 841 et √841 = 29. On fait : 29 – 1 = 28 et 28 ÷ 2 = 14. Le triangulaire 105 est de rang 14.

501. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (2)

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On additionne 0,25.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240 et 240 + 0,25 = 240,25. On fait : √240,25 = 15,5 et 15,5 – 0,5 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

502. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (3)

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On extrait la racine carrée.

• La partie entière est le rang du triangulaire.

Soit à trouver le rang du triangulaire 105. On fait : 105 × 2 = 210. La racine carrée de 210 est 14,49. Le triangulaire 105 est de rang 14.

503. Nombres triangulaires

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne le rang

• On divise par 2.

Soit à trouver le triangulaire de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 11 = 132 et 132 ÷ 2 = 66. Le triangulaire cherché est 66.

504. Triangulaires voisins

Comment trouver le triangulaire qui suit un autre triangulaire de rang donné ?

Étapes

• On additionne le rang et le triangulaire.

• On additionne 1.

Soit à trouver le triangulaire qui suit 55, un triangulaire de rang 10. On fait : 55 + 10 = 65 et 65 + 1 = 66. Le triangulaire 66 suit le triangulaire 55.

505. Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ? (1)

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• On additionne le carré.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 81. On fait : √81 = 9, 9 + 81 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est triangulaire. Il est de rang 9.

506. Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ? (2)

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• Du carré, on soustrait sa racine.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 64. On fait : √64 = 8, 64 – 8 = 56 et 56 ÷ 2 = 28. Le nombre 28 est triangulaire. Il est de rang 7.

507. Triangulaires voisins

Comment trouver deux triangulaires voisins ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On soustrait sa racine.

• On divise par 2 : c’est un premier triangulaire.

• On additionne au carré choisi sa racine.

• On divise par 2 : c’est un second triangulaire.

Soit à trouver deux triangulaires voisins à partir du carré 81. La racine carrée de 81 est 9. On fait : 81 – 9 = 72, 72 ÷ 2 = 36, 81 + 9 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Les nombres 36 et 45 sont des triangulaires voisins.

508. Triangulaires et carrés

Comment trouver un carré à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la partie entière.

Soit à trouver un carré à partir du triangulaire 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48 et 56 – 7 = 49. Le nombre 49 est un carré.

509. Triangulaires et carrés

Comment trouver le carré d’un triangulaire dont on connaît le rang sans élever au carré ?

Étapes

• On multiplie le rang par son successeur.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On divise par 4.

Soit à trouver le carré du triangulaire de rang 4. On fait : 4 × 5 = 20, 20 × 20 = 400 et 400 ÷ 4 = 100. Le carré est 100.

510. Double opération

Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un triangulaire ?

Étapes

• On choisit deux triangulaires de même parité.

• On les additionne.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait le plus petit nombre choisi : c’est un deuxième nombre.

Soit 66 et 120 les triangulaires choisis. On fait : 66 + 120 = 186, 186 ÷ 2 = 93 et 93 – 66 = 27. Les deux nombres sont 27 et 93.

511. Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On élève au carré la somme donnée des deux nombres.

• On soustrait le double de la somme des triangulaires.

• On additionne la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 2.

• On cherche un couple de facteurs dont la somme est celle des deux nombres.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 14 et dont la somme des triangulaires est 60. On fait : 14² = 196, 196 – 120 = 76, 76 + 14 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Les deux nombres sont 5 et 9.

512. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la somme par son successeur.

• On soustrait le double de la différence des triangulaires. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le successeur de la somme donnée des deux nombres.

• On divise le résultat noté par le résultat précédent : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée, on soustrait le résultat précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 11 et dont la différence des triangulaires est 42. On fait : 11 × 12 = 132, 132 – 84 = 48, 12 × 2 = 24, 48 ÷ 24 = 2 et 11 – 2 = 9. Les deux nombres sont 2 et 9.

513. Double addition

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait la somme des carrés. On note le résultat.

• On élève au carré. On note le résultat.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du second résultat noté, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne le premier résultat noté.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• Du premier résultat noté, on soustrait le précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 51 et dont la somme des carrés est 89. On fait : 51 × 2 = 102, 102 – 89 = 13, 13² = 169, 169 – 89 = 80 et 80 × 2 = 160. On fait : 169 – 160 = 9, √9 = 3, 3 + 13 = 16, 16 ÷ 2 = 8 et 13 – 8 = 5. Les deux nombres sont 5 et 8.

514. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ? (1)

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un premier nombre.

• On soustrait la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 93 et dont la différence est 63. On fait : 93 + 63 = 156 et √156 = 12,49. La partie entière est 12. On fait : 93 – 63 = 30 et √30 = 5,48. La partie entière est 5. Les deux nombres sont 5 et 12.

515. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ? (2)

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On multiplie par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On divise par 2 le résultat de la première ligne.

• On soustrait la différence donnée.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 76 et dont la différence des triangulaires est 56. On fait : 76 + 56 = 132, 132 × 4 = 528, 528 + 1 = 529 et √529 = 23. On fait : 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11, 132 ÷ 2 = 66, 66 – 56 = 10, 10 × 2 = 20 et √20 = 4,47. La partie entière est 4. Les deux nombres sont 4 et 11.

516. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la différence par son successeur.

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie par 2.

• On élève au carré le successeur de la différence donnée.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait le successeur de la différence donnée.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et dont la somme des triangulaires est 42. On fait : 5 × 6 = 30, 42 × 2 = 84, 84 – 30 = 54, 54 × 2 = 108 et 6² = 36. On fait : 108 + 36 = 144, √144 = 12, 12 – 6 = 6, 6 ÷ 2 = 3 et 3 + 5 = 8. Les deux nombres sont 3 et 8.

517. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par son successeur.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 7 et dont la différence des triangulaires est 49. On fait : 49 × 2 = 98, 7 × 8 = 56, 98 – 56 = 42, 7 × 2 = 14, 42 ÷ 14 = 3 et 3 + 7 = 10. Les deux nombres sont 3 et 10.

518. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ? (1)

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On divise la différence des carrés par A.

• On additionne A.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 30 et dont la différence des carrés est 56. On fait : 30 × 2 = 60, 60 – 56 = 4, A = 4, 56 ÷ 4 = 14, 14 + 4 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 9 – 4 = 5. Les deux nombres sont 5 et 9.

519. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ? (2)

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On multiplie A par son successeur.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le résultat précédent.

• On multiplie A par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 21 et dont la différence des carrés est 39. On fait : 21 × 2 = 42, 42 – 39 = 3, A = 3 et 3 × 4 = 12. On fait : 42 – 12 = 30, 3 × 2 = 6, 30 ÷ 6 = 5 et 5 + 3 = 8. Les deux nombres sont 5 et 8.

520. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ? (1)

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par son successeur.

• On multiplie le plus grand rang par son successeur.

• On additionne les résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 5 = 20, 10 × 11 = 110, 20 + 110 = 130 et 130 ÷ 2 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55.

521. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ? (2)

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par lui-même. On note le résultat.

• On soustrait les rangs l’un de l’autre.

• On additionne 1.

• On multiplie par le plus petit rang. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les résultats de la deuxième et de la troisième ligne.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats notés et le dernier résultat.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 4 = 16, 10 – 4 = 6, 6 + 1 = 7 et 7 × 4 = 28. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 16 + 28 + 21 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55.

522. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ? (1)

Étapes

• On additionne 1 au rang du plus petit triangulaire.

• On multiplie le résultat par lui-même.

Soit à trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont le rang du plus petit est 5. On fait : 5 + 1 = 6 et 6× 6 = 36. Leur somme est 36. Les triangulaires sont 15 et 21.

523. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 2.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 8 × 2 = 16, 8 × 8 = 64, 16 + 64 = 80 et 80 + 1 = 81. La somme est 81. Les triangulaires sont 36 et 45.

524. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 3.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 3.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 10. On fait : 8 × 3 = 24, 8 × 8 = 64, 24 + 64 = 88 et 88 + 3 = 91. La somme est 91. Les triangulaires sont 36 et 55.

525. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 4.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 6.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 11. On fait : 8 × 4 = 32, 8 × 8 = 64, 32 + 64 = 96 et 96 + 6 = 102. La somme est 102. Les triangulaires sont 36 et 66.

526. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de quatre rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 5.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 10.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 7 et 11. On fait : 7 × 5 = 35, 7 × 7 = 49, 35 + 49 = 84 et 84 + 10 = 94. La somme est 94. Les triangulaires sont 28 et 66.

527. Addition de triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui commence par 1 quand on connaît le rang du dernier terme ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par ses deux successeurs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des triangulaires des six premiers rangs. On fait : 6 × 7 × 8 = 336 et 336 ÷ 6 = 56. La somme est 56. Les triangulaires sont 1, 3, 6, 10, 15, 21.

528. Addition de triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui commencent par 1 et qui diffèrent de deux rangs quand on connaît le rang du dernier terme ?

Étapes

• On additionne 1 au rang donné.

• On additionne 3 au rang donné.

• On multiplie par 2 le rang donné et on additionne 1.

• On multiplie les trois résultats précédents.

• On divise par 24.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 1, 3, 5 et 7. On fait : 7 + 1 = 8, 7 + 3 = 10, 7 × 2 = 14 et 14 + 1 = 15. On fait : 8 × 10 × 15 = 1200 et 1200 ÷ 24 = 50. La somme est 50. Les triangulaires sont de 1, 6, 15, 28.

529. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et du carré de même rang sans connaître le triangulaire et le carré ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On divise par 2.

• On multiplie par le rang donné.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 8 et du carré de même rang. On fait : 8 × 3 = 24, 24 + 1 = 25, 25 ÷ 2 = 12,5 et 12,5 × 8 = 100. La somme est 100. Les triangulaires sont 36 et 64.

530. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On multiplie par 2.

• On additionne le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 6 et du cube de même rang. On fait : 6 × 6 = 36, 36 × 2 = 72, 72 + 6 = 78. On fait : 78 + 1 = 79, 79 × 6 = 474 et 474 ÷ 2 = 237. La somme est 237. Le triangulaire est 21 et le cube est 216.

531. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 7 et du cube de même rang. On fait : 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15, 15 × 7 = 105 et 105 + 1 = 106. On fait : 106 × 7 = 742 et 742 ÷ 2 = 371. La somme est 371. Le triangulaire est 28 et le cube est 343.

532. Quatre triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de trois triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le nombre choisi.

• On additionne 1.

• On divise par 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On soustrait 2 : c’est la troisième base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 – 1 = 6 et 7 × 7 = 49. On fait : 49 + 1 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et 25 – 2 = 23. L’égalité est : 25^D = 6^D + 7^D + 23^D= 325.

Note. 25^D se lit triangulaire de rang 25.

533. Six triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de cinq triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le successeur du nombre choisi.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2: c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On fait : 4 + 1 = 5, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 ÷ 2 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 + 2 = 13. On fait : 13 × 13 = 169, 169 – 3 = 166, 166 ÷ 2 = 83 et 83 + 2 = 85. L’égalité est : 85^D = 4^D + 5^D + 11^D + 12^D+ 83^D= 3655.

534. Six triangulaires

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit une suite de neuf nombres de même raison.

• On prend le premier, le sixième et le huitième nombre : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend le deuxième, le quatrième et le neuvième nombre : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 la suite choisie. On prend 1, 11, 15, puis 3, 7, 17. L’égalité est : 1^D + 11^D + 15^D = 3^D + 7^D + 17^D = 187.

535. Huit triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de sept triangulaires ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire et dont la différence entre les nombres est au moins 2 : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 à chacune des bases : ce sont d’autres bases du deuxième membre.

• On additionne le carré des nombres choisis.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est la septième base du deuxième membre.

• On additionne 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 7 les nombres choisis. La différence est 1, 3, 6. On fait : 2² + 4² + 7² = 69, 69 – 3 = 66, 66 ÷ 2 = 33 et 33 + 2 = 35. L’égalité est : 35^D = 1^D + 2^D + 3^D + 4^D + 6^D + 7^D + 33^D = 630.

536. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ? (1)

Étapes

• On choisit une suite de quatre nombres de même raison.

• On choisit un nombre qu’on additionne à chaque terme de la suite.

• On prend le premier et le quatrième élément de la première suite, ainsi que le deuxième et le troisième élément de la deuxième suite : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres éléments des deux suites : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 5, 8, 11 la suite choisie. On choisit 36. La deuxième suite est : 38, 41, 44, 47. On prend 2, 11, 41, 44. Il reste 5, 8, 38, 47. L’égalité est : 2^D + 11^D + 41^D + 44^D = 5^D + 8^D + 38^D + 47^D = 1920.

537. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 6, 7 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 5, 8 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 9, 11, 12, puis 7, 8, 10, 13. L’égalité est : 6^D + 9^D + 11^D + 12^D = 7^D + 8^D + 10^D + 13^D= 210.

538. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ? (3)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 8, 9, 10 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 4, 5, 6, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les produits sont 3, 24, 27, 30, puis 12, 15, 18 et 39. L’égalité est : 3^D + 24^D + 27^D + 30^D = 12^D + 15^D + 18^D + 39^D = 1149.

539. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre autres triangulaires ? (4)

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à celle de deux autres carrés. Il ne doit pas avoir de nombres consécutifs dans cette égalité.

• On remplace chaque nombre élevé au carré par son prédécesseur et lui-même tout en conservant le signe d’égalité en bonne position.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2² + 42² = 18² + 38² l’égalité choisie. On écrit successivement 1 et 2, 41 et 42, 17 et 18, 37 et 38. L’égalité est : 1^D + 2^D + 41^D + 42^D = 17^D + 18^D + 37^D + 38^D = 1768.

540. Dix triangulaires

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq autres triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 4, 8, 16, 17 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 14, 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 11, 15, 23, 24, puis 8, 9, 17, 21, 25. L’égalité est : 7^D + 11^D + 15^D + 23^D + 24^D = 8^D + 9^D + 17^D + 21^D + 25^D= 790.

541. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang quand on connaît le rang du plus petit ?

Étape

• On additionne 1 au rang donné.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 + 1 = 10. La différence est 10. Le triangulaire de rang 10 est 55 et celui de rang 9 est 45.

542. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 2 le rang donné.

• On additionne 3.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 × 2 = 18 et 18 + 3 = 21. La différence est 21. Le triangulaire de rang 11 est 66 et celui de rang 9 est 45.

543. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 3 le rang donné.

• On additionne 6.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 12. On fait : 12 × 3 = 36 et 36 + 6 = 42. La différence est 42. Le triangulaire de rang 12 est 78 et celui de rang 15 est 120.

544. Soustraction mixte

Comment trouver la différence entre un carré et un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à trouver la différence du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7 × 6 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. La différence est 21. Le carré est 49 et le triangulaire est 28.

545. Soustraction de carrés de triangulaires

Comment trouver la différence des carrés de deux triangulaires consécutifs quand on connaît leurs rangs ?

Étape

• On élève au cube le rang du plus grand triangulaire.

Soit à trouver la différence du carré du triangulaire de rang 5 et du carré du triangulaire de rang 4. On fait : 5³ = 125. La différence est 125. Le triangulaire de rang 5 est 15 et 15² = 225. Le triangulaire de rang 4 est 10 et 10² = 100.

546. Multiplication de deux triangulaires

Comment trouver le produit de deux triangulaires consécutifs dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On additionne 2 au rang du plus petit.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On multiplie par le successeur du résultat.

• On divise par 4.

Soit à trouver le produit des triangulaires de rangs 6 et 7. On fait : 6 + 2 = 8, 8 × 6 = 48, 48 × 49 = 2352 et 2352 ÷ 4 = 588. Le produit est 588. Le triangulaire de rang 6 est 21, celui de rang 7 est 28 et 21 × 28 = 588.

547. Multiplication mixte

Comment trouver le produit d’un carré et d’un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On élève le rang à la quatrième puissance.

• On élève le rang au cube.

• On additionne les deux résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver le produit du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7⁴ = 2401, 7³ = 343, 2401 + 343 = 2744 et 2744 ÷ 2 = 1372. Le produit est 1372. Le carré est 49, le triangulaire est 28 et 49 × 28 = 1372.

548. Double d’un triangulaire

Comment décomposer le double d’un triangulaire en deux facteurs qui sont des nombres consécutifs ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à décomposer 342 qui est le double du triangulaire 171. On fait : √342 = 18,49. La partie entière est 18. On fait : 18 + 1 = 19. Les deux facteurs sont 18 et 19.

549. Division mixte

Comment trouver le quotient d’un triangulaire quand on le divise par un carré de même rang sans connaître le triangulaire et le carré ?

Étapes

• On additionne 1 au rang : c’est le numérateur de la fraction.

• On multiplie le rang par 2 : c’est le dénominateur de la fraction.

• On simplifie la fraction au besoin.

Soit à trouver le quotient du triangulaire de rang 9 et du carré de même rang. On fait : 9 + 1 = 10 et 9 × 2 = 18. La fraction est 10/18. En simplifiant, on obtient 5/9. Le triangulaire de rang 9 est 45, le carré de même rang est 81 et 45/81 = 5/9.

550. Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière. On note le résultat.

• On multiplie par 2.

• On multiplie par le triangulaire choisi.

• On multiplie le résultat noté par lui-même.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 28. On fait : 28 × 2 = 56 et √56 = 7,48. On note 7. On fait : 7 × 2 = 14, 14 × 28 = 392 et 7 × 7 = 49. On fait : 392 – 49 = 343. Le nombre 343 est un cube. Il est de rang 7.

551. Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ? (1)

Étapes

• On additionne le triangulaire et son rang.

• On additionne 1.

• On additionne le triangulaire donné.

• On multiplie l’un par l’autre le successeur du rang et le résultat précédent.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 + 8 = 44, 44 + 1 = 45, 45 + 36 = 81 et 9 × 81 = 729. Le nombre 729 est un cube. C’est le cube de 9.

552. Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ? (2)

Étapes

• On soustrait le triangulaire et son rang.

• On élève au carré.

• On élève le triangulaire donné au carré.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 – 8 = 28, 28² = 784, 36² = 1296 et 1296 – 784 = 512. Le nombre 512 est un cube. C’est le cube de 8.

Note. Les carrés sont aussi des nombres figurés. Toutefois, le sujet a été traité au chapitre 4.

553. Nombres pentagonaux

Comment savoir si un nombre est pentagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 51 est pentagonal. On fait : 51 × 24 = 1224 et 1224 + 1 = 1225. Le nombre 1225 est un carré, celui de 35. Donc, 51 est pentagonal.

Soit à savoir si 120 est pentagonal. On fait : 120 × 24 = 2880 et 2880 + 1 = 2881. Le nombre 2881 n’est pas un carré. Donc, 120 n’est pas pentagonal.

554. Nombres pentagonaux

Comment savoir si un nombre est pentagonal ? (2)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le triple moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est pentagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 70 est pentagonal. Le couple de facteurs possible est (5, 14). Le nombre 70 est pentagonal.

Soit à savoir si 135 est pentagonal. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 135 n’est pas pentagonal.

555. Nombres pentagonaux

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

• On divise par 2.

Soit à trouver le pentagonal de rang 6. On fait : 6 × 3 = 18, 18 – 1 = 17, 17 × 6 = 102 et 102 ÷ 2 = 51. Le pentagonal de rang 6 est 51.

556. Rang d’un pentagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le pentagonal par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

Soit à trouver le rang du pentagonal 117. On fait : 117 × 24 = 2808, 2808 + 1 = 2809 et √2809 = 53. On fait : 53 + 1 = 54 et 54 ÷ 6 = 9. Le pentagonal 117 est de rang 9.

557. Successeur d’un pentagonal

Comment trouver le successeur d’un pentagonal dont on connaît le rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On additionne le pentagonal donné.

Soit à trouver le successeur du pentagonal de rang 6 qui est 51. On fait : 6 × 3 = 18, 18 + 1 = 19 et 19 + 51 = 70. Le successeur de 51 est 70.

558. Addition de pentagonaux

Comment trouver la somme de deux pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 3 le rang du plus petit.

• On additionne 2.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme de pentagonaux de rangs 5 et 6. On fait : 5 × 3 = 15, 15 + 2 = 17, 17 × 5 = 85 et 85 + 1 = 86. La somme est 86. Le pentagonal de rang 5 est 35 et celui de rang 6 est 51.

559. Addition de pentagonaux

Comment trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang de celui du centre ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On multiplie par le prédécesseur du résultat.

• On additionne 6.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs dont celui du centre est de rang 5. On fait : 5 × 3 = 15, 15 × 14 = 210, 210 + 6 = 216 et 216 ÷ 2 = 108. La somme est 108. Les pentagonaux de rangs 4, 5 et 6 sont respectivement 22, 35 et 51.

560. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de rang 5. On fait : 5 × 5 = 25 et 25 × 2 = 50. La somme est 50. Le triangulaire est 15 et le pentagonal est 35.

561. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 5.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 5 = 35, 35 – 1 = 34, 34 × 7 = 238 et 238 ÷ 2 = 119. La somme est 119. Le carré est 49 et le pentagonal est 70.

562. Soustraction de pentagonaux

Comment trouver la différence de deux pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 3.

• On additionne 1.

Soit à trouver la différence de pentagonaux de rangs 7 et 8. On fait : 7 × 3 = 21 et 21 + 1 = 22. La différence est 22. Les pentagonaux sont 70 et 92.

563. Décomposition de pentagonaux

Comment décomposer un nombre pentagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

• Si le résultat est pair, on divise par 2 ; si non, on conserve le résultat : c’est le premier facteur.

• On divise le pentagonal par le premier facteur : c’est le second facteur.

Soit à décomposer le pentagonal 176. On fait : 176 × 24 = 4224, 4224 + 1 = 4225 et √4225 = 65. On fait : 65 + 1 = 66, 66 ÷ 6 = 11 et 176 ÷ 11 = 16. Le pentagonal 176 peut être décomposé en deux facteurs, soit 11 et 16.

Soit à décomposer le pentagonal 477. On fait : 477 × 24 = 11 448, 11 448 + 1 = 11 449 et √11 449 = 107. On fait : 107 + 1 = 108, 108 ÷ 6 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 477 ÷ 9 = 53. Le pentagonal 477 peut être décomposé en deux facteurs, soit 9 et 53.

564. Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 32.

• On additionne 4.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre choisi est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 35 est hexagonal. On fait : 35 × 32 = 1120, 1120 + 4 = 1124 et √1124 = 33,5. Le nombre 35 n’est pas hexagonal.

Soit à savoir si 66 est hexagonal. On fait : 66 × 32 = 2112, 2112 + 4 = 2116 et √2116 = 46. Le nombre 66 est hexagonal.

565. Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (2)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat n’est pas un entier, le nombre donné n’est pas hexagonal.

• Si le résultat est un entier, on divise la racine carrée par 4.

• Si le reste est 3, le nombre donné est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 77 est hexagonal. On fait : 77 × 8 = 616, 616 + 1 = 617 et √617 = 24,84. Le nombre 77 n’est pas hexagonal.

Soit à savoir si 120 est hexagonal. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 ÷ 4 = 7 reste 3. Le nombre 120 est hexagonal.

566. Nombres hexagonaux

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (3)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est hexagonal. Si non, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 190 est hexagonal. Le couple de facteurs possible est (10, 19). Le nombre 190 est hexagonal.

Soit à savoir si 240 est hexagonal. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 240 n’est pas hexagonal.

567. Nombres hexagonaux

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ?

Étapes

• On multiplie le rang par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

Soit à trouver l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 2 = 16, 16 – 1 = 15 et 15 × 8 = 120. L’hexagonal de rang 8 est 120.

568. Hexagonaux et carrés

Comment trouver un hexagonal à partir d’un carré ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine du carré donné.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un hexagonal à partir du carré 81. On fait : 81 × 2 = 162, √81 = 9 et 162 – 9 = 153. Le nombre 153 est hexagonal. Il est de rang 9.

569. Rang d’un hexagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 4.

Soit à trouver le rang de l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961, √961 = 31, 31 + 1 = 32 et 32 ÷ 4 = 8. L’hexagonal 120 est de rang 8.

570. Rang d’un hexagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ? (2)

Étapes

• On trouve les couples de facteurs possibles du nombre donné.

• On retient les deux facteurs dont le plus grand est le double moins 1 de l’autre.

• Le plus petit facteur est le rang de l’hexagonal.

Soit à trouver le rang de l’hexagonal 190. Les couples de facteurs possibles sont (1, 190), (2, 95), (5, 38) et (10, 19). Le nombre 19 est le double moins 1 de 10. On retient les facteurs (10, 19). Le nombre 190 est un hexagonal de rang 10.

571. Successeur d’un hexagonal

Comment trouver le successeur d’un hexagonal dont on connaît le rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

• On additionne l’hexagonal donné.

Soit à trouver le successeur de 120 qui est l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 4 = 32, 32 + 1 = 33 et 33 + 120 = 153. Le successeur de 120 est 153.

572. Addition d’hexagonaux

Comment trouver la somme de deux hexagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 4.

• On additionne 2.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme des hexagonaux de rangs 5 et 6. On fait : 5 × 4 = 20, 20 + 2 = 22, 22 × 5 = 110 et 110 + 1 = 111. La somme est 111. L’hexagonal de rang 5 est 45 et celui de rang 6 est 66.

573. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 5.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un triangulaire et d’un hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 5 = 35, 35 – 1 = 34, 34 × 7 = 238 et 238 ÷ 2 = 119. La somme est 119. Le triangulaire est 28 et l’hexagonal est 91.

574. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un carré et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

Soit à trouver la somme du carré et de l’hexagonal de rang 7. On fait : 7 × 3 = 21, 21 – 1 = 20 et 20 × 7 = 140. La somme est 140. Le carré est 49 et l’hexagonal est 91.

575. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un pentagonal et d’un hexagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 7.

• On soustrait 3.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un pentagonal et d’un hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 7 = 56, 56 – 3 = 53, 53 × 8 = 424 et 424 ÷ 2 = 212. La somme est 212. Le pentagonal est 92 et l’hexagonal est 120.

576. Soustraction d’hexagonaux

Comment trouver la différence de deux hexagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

Soit à trouver la différence des hexagonaux de rangs 7 et 8. On fait : 7 × 4 = 28 et 28 + 1 = 29. La différence est 29. L’hexagonal de rang 7 est 91 et celui de rang 8 est 120.

577. Soustraction mixte

Comment trouver la différence d’un hexagonal et d’un triangulaire de même rang ?

Étapes

• On multiplie par 3 le prédécesseur du rang.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la différence de l’hexagonal et du triangulaire de rang 7. On fait : 6 × 3 = 18, 18 × 7 = 126 et 126 ÷ 2 = 63. La différence est 63. L’hexagonal est 91 et le triangulaire est 28.

578. Décomposition d’hexagonaux

Comment décomposer un nombre hexagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 4 : c’est un premier facteur.

• On divise le nombre donné par le premier facteur : c’est un deuxième facteur.

Soit à décomposer l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 + 1 = 32, 32 ÷ 4 = 8 et 120 ÷ 8 = 15. L’hexagonal 120 peut être décomposé en deux facteurs, soit 8 et 15.

579. Nombres polygonaux

Comment trouver un nombre polygonal d’un rang donné ? (Bachet)

Étapes

• On détermine le nombre de côtés du polygone correspondant au nombre.

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par le rang du polygonal.

• On soustrait 4 au nombre de côtés.

• On soustrait l’un de l’autre les deux derniers résultats.

• On multiplie par le rang du polygonal.

• On divise par 2.

Soit à trouver le pentagonal de rang 7. Le pentagonal correspond à un polygone de 5 côtés. On fait : 5 – 2 = 3 et 3 × 7 = 21. On fait : 5 – 4 = 1, 21 – 1 = 20, 20 × 7 = 140 et 140 ÷ 2 = 70. Le pentagonal de rang 7 est 70.