Ceci est le 20^e livre édité par Récréomath.

700 trucs mathématiques

Par Charles-É. Jean

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Chapitre 1. Addition et soustraction de nombres

Chapitre 2. Multiplication de nombres

Chapitre 3. Division de nombres

Chapitre 4. Carrés de nombres

Chapitre 5. Cubes et autres puissances

Chapitre 6. Suites de nombres

Chapitre 7. Nombres figurés                                

Chapitre 8. Figures géométriques

Chapitre 9. Situations récréatives

Chapitre 8. Figures géométriques

580. Nombre de droites

Dans un polygone dont on connaît le nombre de côtés, comment trouver le nombre de droites qui partent du milieu d’un côté et joignent le milieu de tout côté ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre de côtés.

• On multiplie par le nombre de côtés.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de droites qui partent du milieu d’un côté et joignent le milieu de tout côté dans un hexagone. On fait : 6 – 1 = 5, 5 × 6 = 30 et 30 ÷ 2 = 15. Dans un hexagone, on compte 15 droites.

581. Nombre de droites

Dans un polygone dont on connaît le nombre de côtés, comment trouver le nombre de droites qui partent d’un sommet et qui joignent le milieu de tout côté ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par le nombre de côtés.

Soit à trouver le nombre de droites qui partent d’un sommet et qui joignent le milieu de tout côté dans un hexagone. On fait : 6 – 2 = 4 et 4 × 6 = 24. Dans un hexagone, on compte 24 droites.

582. Milieu d’une droite

Comment trouver le point milieu d’une droite donnée avec un compas ?

Étapes

• On place la pointe d’un compas sur une extrémité de la droite. On décrit un cercle assez grand pour qu’à l’œil le point milieu de la droite soit à l’intérieur du cercle.

• On place la pointe du compas sur l’autre extrémité de la droite. On décrit un cercle de même grandeur que le premier.

• On trace une droite qui passe par les points d’intersection des deux cercles.

• Le point de rencontre des deux droites est le point milieu de la droite donnée.

583. Tracé d’un angle

Un angle étant tracé, comment obtenir un angle de même mesure ?

Étapes

• On prolonge un côté de l’angle à partir du point d’intersection.

• On prolonge l’autre côté à partir du même point.

• L’angle des deux côtés prolongés a la même mesure que l’angle donné.

584. Somme des angles

Comment vérifier que la somme des angles d’un triangle quelconque est égale à 180 degrés ?

Étapes

• On découpe un triangle dans du papier.

• On marque les angles par un signe choisi.

• On sectionne les angles.

• On réunit les trois angles par leur marque.

La base des angles est en ligne droite : ce qui correspond à 180 degrés.

585. Mesure d’une diagonale

Comment trouvez la mesure d’une diagonale dans un carré quand on connaît la mesure du côté du carré ?

Étape

• On multiplie le côté par √2 ou 1,4142.

Soit à trouver la longueur d’une diagonale dans un carré dont le côté mesure 15 unités. On fait : 15 × √2 = 15√2 = 21,2. La diagonale mesure 21,2 unités.

586. Aire d’un triangle

Comment trouver l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont on connaît la mesure de la diagonale ?

Étapes

• On élève la diagonale au carré.

• On divise par 4.

Soit à trouver l’aire d’un triangle rectangle isocèle dont la diagonale mesure 6 centimètres. On fait : 6² = 36 et 36 ÷ 4 = 9. L’aire du triangle est de 9 centimètres carrés.

587. Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure entière d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On élève au carré la mesure donnée.

• On décompose le résultat en couples de facteurs différents dont la somme est paire.

• On fait la différence des deux facteurs pour chaque couple.

• On divise par 2 : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On additionne les deux facteurs.

• On divise par 2 : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 20 unités. On fait : 20² = 400. Les couples de facteurs sont : (2, 200), (4, 100), (8, 50), (10, 40). On fait : 200 – 2 = 198, 198 ÷ 2 = 99, 200 + 2 = 202 et 202 ÷ 2 = 101. L’autre côté de l’angle droit mesure 99 unités et l’hypoténuse 101 unités. On fait de même avec les trois autres couples. On obtient (20, 48, 52), (20, 21, 29) et (20, 15, 25).

588. Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure impaire d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On décompose la mesure du côté de l’angle droit en deux facteurs.

• On effectue la différence des carrés des deux facteurs

 • On divise par 2 : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On effectue la somme des carrés des deux facteurs.

 • On divise par 2 : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 63 unités. On fait : 63 = 7 × 9, 9² – 7² = 32, 32 ÷ 2 = 16, 7² + 9² = 130 et 130 ÷ 2 = 65. L’autre côté de l’angle droit mesure 16 unités. L’hypoténuse mesure 65 unités.

589. Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure paire d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle, comment trouver les autres mesures entières des côtés ?

Étapes

• On divise par 2 la mesure du côté de l’angle droit.

• On décompose le résultat en deux facteurs.

• On effectue la différence des carrés des deux facteurs : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

• On effectue la somme des carrés des deux facteurs : c’est la mesure de l’hypoténuse.

Soit à trouver les autres mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont la mesure d’un côté de l’angle droit est de 76 unités. On fait : 76 ÷ 2 = 38, 38 = 2 × 19, 19² – 2² = 357 et 2² + 19² = 365. L’autre côté de l’angle droit mesure 357 unités. L’hypoténuse mesure 365 unités.

590. Triangles de Pythagore

Connaissant la mesure entière de l’hypoténuse dans un triangle rectangle, comment trouver les mesures entières des côtés de l’angle droit ?

Étapes

• On décompose la mesure de l’hypoténuse en une somme de deux carrés différents.

• On multiplie l’une par l’autre les deux bases des carrés.

• On multiplie par 2 : c’est la mesure d’un côté de l’angle droit.

• On fait la différence des carrés des deux bases : c’est la mesure de l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont la mesure de l’hypoténuse est de 74 unités. On fait : 5² + 7² = 74, 5 × 7 = 35, 35 × 2 = 70 et 7² – 5² = 24. Les côtés de l’angle droit mesurent 70 et 24 unités.

591. Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle à partir de la suite de Fibonacci ? (1)

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

• On effectue la somme des carrés des deux nombres : c’est l’hypoténuse.

• On multiplie par 2 le produit des deux nombres : c’est un côté de l’angle droit.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés des deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée : c’est l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle. On choisit 8 et 13. On fait : 8² + 13² = 233, 8 × 13 × 2 = 208, 233² – 208² = 11 025 et √11 025 = 105. Les côtés de l’angle droit mesurent 105 et 208 unités. L’hypoténuse mesure 233 unités.

592. Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle à partir de la suite de Fibonacci ? (2)

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

• On effectue la somme des carrés des deux nombres : c’est l’hypoténuse.

• On effectue la différence des carrés des deux nombres : c’est un côté de l’angle droit.

• On soustrait l’un de l’autre les carrés des deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée : c’est l’autre côté de l’angle droit.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle. On choisit 13 et 21. On fait : 13² + 21² = 610, 21² – 13² = 272, 610² – 272² = 298 116 et √298 116 = 546. Les côtés de l’angle droit mesurent 272 et 546 unités. L’hypoténuse mesure 610 unités.

593. Triangles de Pythagore

Comment trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle quand on connaît le périmètre et l’aire ?

Étapes

• On multiplie l’aire par 2.

• On trouve les couples de facteurs dont la somme ne dépasse pas le périmètre.

• On retient le couple de facteurs dont la somme des carrés est un carré.

• Les deux premières bases sont les côtés de l’angle droit. La troisième est l’hypoténuse.

Soit à trouver les mesures entières des côtés d’un triangle rectangle dont le périmètre est de 56 unités et dont l’aire est de 84 unités carrées. On fait : 84 × 2 = 168. Les couples de facteurs sont : (4, 42), (6, 28), (7, 24), (8, 21), (12, 14). On retient le couple (7, 24) car 7² + 24² = 25². Les côtés de l’angle droit mesurent 7 et 24 unités. L’hypoténuse mesure 25 unités.

594. Périmètre d’un carré

Comment trouver le périmètre d’un carré quand on connaît la mesure d’une diagonale ?

Étapes

• On élève au carré la mesure de la diagonale.

• On divise par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On multiplie par 4.

Soit à trouver le périmètre d’un carré dont une diagonale mesure 5 centimètres. On fait : 5² = 25 et 25 ÷ 2 = 12,5. La racine carrée de 12,5 est 3,54. On fait : 3,54 × 4 = 14,16. Le périmètre du carré est de 14,16 centimètres.

595. Aire d’un carré

Comment trouver l’aire d’un carré quand on connaît la mesure d’une diagonale ?

Étapes

• On élève au carré la mesure de la diagonale.

• On divise par 2.

Soit à trouver l’aire d’un carré dont une diagonale mesure 5 centimètres. On fait : 5² = 25 et 25 ÷ 2 = 12,5. L’aire du carré est de 12,5 centimètres carrés.

596. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 2 × 2 dans une grille carrée m × m ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre de cases horizontalement (ou verticalement) de la grille carrée.

• On élève au carré.

Soit à trouver le nombre de carrés 2 × 2 dans une grille 10 × 10. On fait : 10 – 1 = 9 et 9² = 81. On compte 81 carrés 2 × 2 dans une grille 10 × 10.

597. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 3 × 3 dans une grille carrée m × m ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de cases horizontalement (ou verticalement) de la grille carrée.

• On élève au carré.

Soit à trouver le nombre de carrés 3 × 3 dans une grille 10 × 10. On fait : 10 – 2 = 8 et 8² = 64. On compte 64 carrés 3 × 3 dans une grille 10 × 10.

598. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille carrée m × m de la grille carrée ?

Étapes

• On soustrait 3 au nombre de cases horizontalement (ou verticalement) de la grille carrée.

• On élève au carré.

Soit à trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille 12 × 12. On fait : 12 – 3 = 9 et 9² = 81. On compte 81 carrés 4 × 4 dans une grille 12 × 12.

599. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille carrée m × m ?

Étapes

• On soustrait 4 au nombre de cases horizontalement (ou verticalement) de la grille carrée.

• On élève au carré.

Soit à trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille 16 × 16. On fait : 16 – 4 = 12 et 12² = 144. On compte 144 carrés 5 × 5 dans une grille 16 × 16.

600. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille carrée m × m ?

Étapes

• On multiplie m par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie le résultat par m et (m + 1).

• On divise par 6.

Soit à trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille 9 × 9. On fait : 9 × 2 = 18, 18 + 1 = 19, 19 × 9 × 10 = 1710 et 1710 ÷ 6 = 285. On compte 285 carrés de toute grandeur dans une grille 9 × 9.

601. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 2 × 2 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 1 à m.

• On soustrait 1 à n.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 2 × 2 dans une grille rectangulaire 7 × 10. On fait : 7 – 1 = 6, 10 – 1 = 9 et 6 × 9 = 54. On compte 54 carrés 2 × 2 dans une grille rectangulaire 7 × 10.

602. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 3 × 3 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 2 à m.

• On soustrait 2 à n.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 3 × 3 dans une grille rectangulaire 8 × 12. On fait : 8 – 2 = 6, 12 – 2 = 10 et 6 × 10 = 60. On compte 60 carrés 3 × 3 dans une grille rectangulaire 8 × 12.

603. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 3 à m.

• On soustrait 3 à n.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 10 × 12. On fait : 10 – 3 = 7, 12 – 3 = 9 et 7 × 9 = 63. On compte 63 carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 10 × 12.

604. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait 4 à m.

• On soustrait 4 à n.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire 12 × 15. On fait : 12 – 4 = 8, 15 – 4 = 11 et 8 × 11 = 88. On compte 88 carrés 5 × 5 dans une grille rectangulaire 12 × 15.

605. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés c × c dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On soustrait (c – 1) à m.

• On soustrait (c – 1) à n.

• On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le nombre de carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 9 × 10. On fait : 9 – 3 = 6, 10 – 3 = 7 et 6 × 7 = 42. On compte 42 carrés 4 × 4 dans une grille rectangulaire 9 × 10.

606. Dénombrement de carrés

Comment trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire m × n ?

Étapes

• On multiplie n par 3.

• On soustrait m.

• On additionne 1.

• On multiplie par m.

• On multiplie par (m + 1).

• On divise par 6.

Soit à trouver le nombre de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire 8 × 10. On fait : 10 × 3 = 30, 30 – 8 = 22, 22 + 1 = 23, 23 × 8 = 184, 184 × 9 = 1656 et 1656 ÷ 6 = 276. On compte 276 carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire 8 × 10.

607. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît le périmètre et dont la longueur a un nombre donné d’unités de plus que la largeur ? (1)

Étapes

• On divise le périmètre par 2.

• On additionne le nombre donné d’unités de plus.

• On divise par 2 : c’est la longueur.

• On soustrait le nombre donné d’unités de plus : c’est la largeur.

Soit à trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont le périmètre est de 26 unités quand la longueur mesure 3 unités de plus que la largeur. On fait : 26 ÷ 2 = 13, 13 + 3 = 16, 16 ÷ 2 = 8 et 8 – 3 = 5. La longueur mesure 8 unités et la largeur 5 unités.

608. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît le périmètre et dont la longueur a un nombre donné d’unités de plus que la largeur ? (2)

Étapes

• On multiplie par 2 le nombre d’unités de plus.

• Du périmètre, on soustrait le résultat.

• On divise par 4 : c’est la largeur.

• On additionne le nombre d’unités de plus : c’est la longueur.

Soit à trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont le périmètre est de 26 unités quand la longueur mesure 7 unités de plus que la largeur. On fait : 7 × 2 = 14, 26 – 14 = 12, 12 ÷ 4 = 3 et 3 + 7 = 10. La longueur mesure 10 unités et la largeur 3 unités.

609. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît le périmètre et dont la longueur est un multiple n de la largeur ?

Étapes

• On divise le périmètre par 2.

• On additionne 1 à n.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est la largeur.

• On multiplie par n : c’est la longueur.

Soit à trouver la longueur et la largeur d’un rectangle ayant 56 unités de périmètre lorsque n = 3. On fait : 56 ÷ 2 = 28, 3 + 1 = 4, 28 ÷ 4 = 7 et 7 × 3 = 21. La longueur mesure 21 unités et la largeur 7 unités.

610. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît l’aire et dont la longueur a un nombre n d’unités de plus que la largeur ?

Étapes

• On multiplie l’aire par 4.

• On élève au carré le nombre n.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée. On note le résultat.

• On additionne n.

• On divise par 2 : c’est la longueur.

• Du résultat noté, on soustrait n.

• On divise par 2 : c’est la largeur.

Soit à trouver la longueur et la largeur d’un rectangle ayant une aire de 264 unités carrées lorsque la longueur mesure 13 unités de plus que largeur. On fait : 264 × 4 = 1056, 13² = 169, 1056 + 169 = 1225 et √1225 = 35. On fait : 35 + 13 = 48, 48 ÷ 2 = 24, 35 – 13 = 22 et 22 ÷ 2 = 11. La longueur mesure 24 unités et la largeur 11 unités.

611. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés d’un rectangle dont on connaît l’aire et dont la longueur est un multiple n de la largeur ?

Étapes

• On divise l’aire par n.

• On extrait la racine carrée : c’est la largeur.

• On multiplie par n : c’est la longueur.

Soit à trouver la longueur et la largeur d’un rectangle ayant une aire de 405 unités carrées lorsque n = 5. On fait : 405 ÷ 5 = 81, √81 = 9 et 9 × 5 = 45. La longueur mesure 45 unités et la largeur 9 unités.

612. Mesures dans un rectangle

Comment trouver les mesures des côtés de deux rectangles dont les périmètres sont égaux et dont l’aire de l’un est un multiple n de l’aire de l’autre ?

Étapes

• De n, on soustrait 1 : c’est un côté d’un premier rectangle.

• Du cube de n, on soustrait n : c’est l’autre côté du premier rectangle.

• Du carré de n, on soustrait 1 : c’est un côté du deuxième rectangle.

• Du cube de n, on soustrait le carré de n : c’est l’autre côté du deuxième rectangle.

Soit à trouver les mesures des côtés de deux rectangles lorsque n = 3. On fait : 3 – 1 = 2, 27 – 3 = 24, 9 – 1 = 8 et 27 – 9 = 18. Les côtés des rectangles sont (2, 24) et (8, 18). Les périmètres des deux rectangles sont 52. L’aire du premier rectangle est 48 et celle du deuxième 144, soit le triple de l’autre.

613. Partage d’un rectangle

Comment, sans mesurer, partager en trois rectangles de même taille un rectangle dont la largeur est les 2/3 de la longueur ?

Étapes

• On fabrique un rectangle en papier respectant les proportions données.

• En tenant un angle, on rabat un côté sur l’autre côté.

• On plie la partie rectangulaire qui reste sur le double triangle.

• On déplie le tout.

• On rabat la partie rectangulaire à la limite du rectangle formé de deux triangles.

• On déplie le tout. On voit trois rectangles de même taille.

614. Angles d’un polygone

Comment trouver la mesure de tout angle intérieur d’un polygone régulier dont on connaît le nombre de côtés ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par 180.

• On divise par le nombre de côtés.

Soit à trouver la mesure de tout angle intérieur d’un hexagone régulier. On fait : 6 – 2 = 4, 4 × 180 = 720 et 720 ÷ 6 = 120. La mesure de tout angle intérieur d’un hexagone est de 120 degrés.

615. Angles d’un polygone

Comment trouver la somme des angles intérieurs d’un polygone régulier dont on connaît le nombre de côtés ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de côtés.

• On multiplie par 180 : c’est le nombre de degrés.

Soit à trouver la somme des angles intérieurs d’un hexagone régulier. On fait : 6 – 2 = 4 et 4 × 180 = 720. La somme des angles intérieurs d’un hexagone est de 720 degrés.

616. Diagonales d’un polygone

Comment trouver le nombre de diagonales dans un polygone dont on connaît le nombre de côtés ?

Étapes

• On soustrait 3 au nombre de côtés.

• On multiplie par le nombre de côtés.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de diagonales dans un ennéagone, un polygone à 9 côtés. On fait : 9 – 3 = 6, 6 × 9 = 54 et 54 ÷ 2 = 27. Un ennéagone a 27 diagonales.

617. Diagonales d’un polygone

Comment trouver le nombre de diagonales d’un polygone ayant (n + 1) côtés quand on connaît le nombre de diagonales d’un polygone ayant n côtés ?

Étapes

• On additionne le nombre connu de côtés et son nombre de diagonales.

• On soustrait 1.

Soit à trouver le nombre de diagonales d’un décagone, polygone à 10 côtés, quand on sait qu’un ennéagone, polygone à 9 côtés, a 27 diagonales. On fait : 9 + 27 = 36 et 36 – 1 = 35. Un décagone a 35 diagonales.

618. Tracé d’un octogone

Comment tracer un octogone régulier ?

Étapes

• On trace un cercle.

• On trace un carré inscrit dans le cercle.

• On trace deux diamètres perpendiculaires qui coupent les côtés du carré en leur milieu.

• On joint les points d’intersection du contour.

619. Rayon d’un cercle

Comment trouver le rayon d’un cercle quand on connaît le côté d’un carré circonscrit à ce cercle ?

Étape

• On divise le côté par 2.

Soit à trouver le rayon d’un cercle dont un côté d’un carré circonscrit à ce cercle mesure 6 unités. On fait : 6 ÷ 2 = 3. Le rayon du cercle mesure 3 unités.

620. Rayon d’un cercle

Comment trouver le rayon d’un cercle quand on connaît la mesure du côté d’un carré inscrit dans ce cercle ?

Étapes

• On multiplie le côté par √2 ou 1,4142.

• On divise par 2 : c’est la mesure du rayon.

Soit à trouver le rayon d’un cercle dont un côté du carré inscrit dans ce cercle mesure 4 unités. On fait : 4 × √2 = 4√2 et 4√2 ÷ 2 = 2√2. Le rayon du cercle mesure 2√2 ou 2,8284 unités.

621. La valeur de p

Comment calculer approximativement la valeur de p ?

Étapes

• On prend une canne de conserve.

• Avec une règle, on mesure le diamètre sur le dessous ou sur le dessus de la canne. On note le résultat A.

• On entoure la canne avec une corde ou une lanière de papier. On établit ainsi la mesure du contour B.

• On divise B par A. Le quotient est une valeur rapprochée de p.

Plus les mesures sont précises, plus on se rapproche de p.

622. Tracé d’un cercle

Comment tracer un cercle sans l’aide d’instruments ?

Étapes

• On trace une première droite.

• On trace perpendiculairement à la première droite une autre droite de même longueur. Les points centres des deux perpendiculaires doivent coïncider.

• On part d’une extrémité d’une droite et on trace à main levée des arcs continus qui passent par les extrémités des droites.

623. Jonctions de points

Des points étant dessinés de façon circulaire, comment déterminer le nombre de droites qui peuvent être tracées pour joindre les points chacun à chacun ?

Étapes

• On soustrait 1 au nombre de points.

• On multiplie par le nombre de points.

• On divise par 2.

Soit 6 le nombre de points. On fait : 6 – 1 = 5, 5 × 6 = 30 et 30 ÷ 2 = 15. On compte 15 droites.

624. Conversion en centimètres

Comment convertir en centimètres une longueur en pouces ?

Étapes

• On multiplie par 5.

• On divise par 2 : c'est une valeur approximative.

Soit à convertir 12 pouces en centimètres. On fait : 12 × 5 = 60 et 60 ÷ 2 = 30. Le résultat approximatif est de 30 centimètres.

625. Conversion en pouces

Comment convertir en pouces une longueur en centimètres ?

Étapes

• On multiplie par 2.

• On divise par 5 : c'est une valeur approximative.

Soit à convertir 40 centimètres en pouces. On fait : 40 × 2 = 80 et 80 ÷ 5 = 16. Le résultat approximatif est de 16 pouces.

Chapitre 9. Situations récréatives

626. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (1)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• d’additionner 2,

• de multiplier par 3,

• de soustraire 9,

• de vous donner le résultat.

Vous divisez par 3 et additionnez 1. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 17. Elle fait : 17 + 2 = 19, 19 × 3 = 57 et 57 – 9 = 48. Vous faites : 48 ÷ 3 = 16 et 16 + 1 = 17. Le nombre choisi est 17.

627. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (2)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• d’additionner 3,

• de multiplier par 2,

• de soustraire 5,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 1 et divisez par 2. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 21. Elle fait : 21 + 3 = 24, 24 × 2 = 48 et 48 – 5 = 43. Vous faites : 43 – 1 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. Le nombre choisi est 21.

628. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (3)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre impair,

• d’additionner 3,

• de multiplier par 3,

• de soustraire 7,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 2 et vous divisez par 3. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 15. Elle fait : 15 + 3 = 18, 18 × 3 = 54 et 54 – 7 = 47. Vous faites : 47 – 2 = 45 et 45 ÷ 3 = 15. Le nombre choisi est 15.

629. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (4)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• d’additionner 5,

• de multiplier par 3,

• de soustraire 6,

• de diviser par 3,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 3. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 25. Elle fait : 25 + 5 = 30, 30 × 3 = 90, 90 – 6 = 84 et 84 ÷ 3 = 28. Vous faites : 28 – 3 = 25. Le nombre choisi est 25.

630. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (5)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de soustraire 3,

• de multiplier par 5,

• d’additionner 12,

• de vous donner le résultat.

Vous additionnez 3 et divisez par 5. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 13. Elle fait : 13 – 3 = 10, 10 × 5 = 50 et 50 + 12 = 62. Vous faites : 62 + 3 = 65 et 65 ÷ 5 = 13. Le nombre choisi est 13.

631. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (6)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de soustraire 1,

• de multiplier par 2,

• de soustraire 1,

• d’additionner le nombre choisi,

• de vous donner le résultat.

Vous additionnez 3 et divisez par 3. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 13. Elle fait : 13 – 1 = 12, 12 × 2 = 24, 24 – 1 = 23 et 23 + 13 = 36. Le résultat est 36. Vous faites : 36 + 3 = 39 et 39 ÷ 3 = 13. Le nombre choisi est 13.

632. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (7)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de soustraire 3,

• de multiplier par 5,

• d’additionner le nombre choisi,

• de diviser par 3,

• d’additionner 4,

• de vous donner le résultat.

Vous additionnez 1 et divisez par 2. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 19. Elle fait : 19 – 3 = 16, 16 × 5 = 80, 80 + 19 = 99, 99 ÷ 3 = 33, 33 + 4 = 37. Le résultat est 37. Vous faites : 37 + 1 = 38 et 38 ÷ 2 = 19. Le nombre choisi est 19.

633. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (8)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 3,

• de soustraire 4,

• d’additionner le nombre choisi,

• de vous donner le résultat.

Vous divisez par 4 et additionnez 1. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 12. Elle fait : 12 × 3 = 36, 36 – 4 = 32 et 32 + 12 = 44. Le résultat est 44. Vous faites : 44 ÷ 4 = 11 et 11 + 1 = 12. Le nombre choisi est 12.

634. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (9)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 3,

• d’additionner 5,

• de multiplier par 2,

• de soustraire le nombre choisi,

• de diviser par 5,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 2. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 14. Elle fait : 14 × 3 = 42, 42 + 5 = 47, 47 × 2 = 94, 94 – 14 = 80, 80 ÷ 5 = 16. Le résultat est 16. Vous faites : 16 – 2 = 14. Le nombre choisi est 14.

635. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (10)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 3,

• de soustraire 1,

• de multiplier par 3,

• d’additionner le nombre choisi,

Vous biffez l’unité et additionnez 1. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 15. Elle fait : 15 × 3 = 45, 45 – 1 = 44, 44 × 3 = 132 et 132 + 15 = 147. Le résultat est 147. Vous biffez 7 et faites : 14 + 1 = 15. Le nombre choisi est 15.

636. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (11)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 4,

• de soustraire 6,

• de diviser par 2,

• de vous donner le résultat.

Vous additionnez 3 et vous divisez par 2. Le résultat est le nombre choisi.

La personne choisit 15. Elle fait : 15 × 4 = 60, 60 – 6 = 54 et 54 ÷ 2 = 27. Le résultat est 27. Vous faites : 27 + 3 = 30 et 30 ÷ 2 = 15. Le nombre choisi est 15.

637. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (12)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 4,

• de soustraire 6,

• de diviser par 2,

• d’additionner le nombre choisi,

• d’additionner 3,

• de vous donner le résultat.

Vous divisez le résultat par 3. Le quotient est le nombre choisi.

La personne choisit 12. Elle fait : 12 × 4 = 48, 48 – 6 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 + 12 = 33 et 33 + 3 = 36. Le résultat est 36. Vous faites : 36 ÷ 3 = 12. Le nombre choisi est 12.

638. Nombre pensé

Comment deviner un nombre choisi par une personne ? (13)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• de multiplier par 3,

• d’additionner 3,

• de soustraire le nombre choisi,

• de vous donner le résultat.

Vous soustrayez 3 au résultat. Vous divisez par 2. Le quotient est le nombre choisi.

La personne choisit 53. Elle fait : 53 × 3 = 159, 159 + 3 = 162 et 162 – 53 = 109. Le résultat est 109. Vous faites : 109 – 3 = 106 et 106 ÷ 2 = 53. Le nombre choisi est 53.

639. Nombre pensé

Comment deviner un nombre de trois chiffres choisi par une personne ?

Étapes

• Vous choisissez un nombre de trois chiffres.

• De 999, vous soustrayez votre nombre.

• Vous dites le résultat à la personne.

• Vous lui demandez de choisir un nombre de trois chiffres supérieur au résultat donné.

• Vous lui dites d’additionner le résultat donné et le nombre qu’elle a choisi, puis de vous donner le résultat.

Vous enlevez le 1 et vous additionnez 1 au reste de votre nombre choisi. Vous additionnez votre nombre choisi au départ : c’est le nombre choisi par la personne.

Vous choisissez 345. Vous faites : 999 – 345 = 654. Vous dites 654 à la personne. Elle choisit 926. Elle fait : 654 + 926 = 1580. Elle vous donne ce résultat. Vous enlevez le 1 et vous faites : 580 + 1 = 581 et 581 + 345 = 926. La personne a choisi 926

640. Nombre pensé

Comment deviner la différence de deux nombres de trois chiffres dont l’un est le renversé de l’autre ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre,

• d’écrire le renversé de ce nombre,

• de soustraire les deux nombres,

• de vous donner l’unité.

La dizaine est toujours 9. La centaine est la différence de 9 et de l’unité.

La personne choisit 764. Elle écrit 467. Elle fait : 764 – 467 = 297. Elle vous donne 7 comme unité. Vous faites : 9 – 7 = 2. La différence est 297.

641. Nombres pensés

Comment deviner deux nombres choisis par une personne ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir deux nombres,

• de vous donner la somme des deux nombres,

• de vous donner la différence des deux nombres.

Vous additionnez les deux résultats. Vous divisez par 2 : c’est le plus grand nombre. Vous soustrayez la somme donnée et le plus grand nombre : c’est le plus petit nombre.

La personne choisit 12 et 15. Elle vous donne 27 comme somme et 3 comme différence. Vous faites : 27 + 3 = 30 et 30 ÷ 2 = 15 : c’est le plus grand nombre. Vous faites : 27 – 15 = 12 : c’est le plus petit nombre. Les nombres choisis sont 12 et 15.

642. Nombres pensés

Comment deviner trois nombres choisis par une personne ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir trois nombres,

• de vous donner la somme des deux premiers nombres,

• la somme des deux derniers nombres,

• la somme du premier et du troisième nombre.

Vous additionnez la première et la troisième somme donnée. Vous soustrayez la deuxième somme donnée. Vous divisez par 2 : c’est le premier nombre choisi. De la première somme, vous soustrayez le premier nombre choisi : c’est le deuxième nombre choisi. De la troisième somme, vous soustrayez le premier nombre choisi : c’est le troisième nombre choisi.

La personne choisit 13, 22 et 37. Les sommes données sont 35, 59 et 50. Vous faites : 35 + 50 = 85, 85 – 59 = 26 et 26 ÷ 2 = 13. Vous faites : 35 – 13 = 22 et 50 – 13 = 37. Les nombres choisis sont 13, 22 et 37.

643. Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Boucheny) (1)

Étapes

• Vous écrivez cinq ou six nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 9 dans chaque cas.

• Vous demandez à une personne d’y choisir deux nombres,

• d’additionner les deux nombres,

• d’exclure un chiffre sauf 0,

• de vous donner les chiffres qui restent dans le désordre.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres donnés. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

Vous écrivez 198, 468, 531, 927, 2637, 3123. La personne choisit 468 et 3123. Elle fait : 468 + 3123 = 3591. Elle vous donne 1, 5 et 9. La somme est 15. Vous faites : 18 – 15 = 3. C’est le chiffre exclu.

644. Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Boucheny) (2)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre de trois ou de quatre chiffres,

• d’écrire un autre nombre formé des mêmes chiffres dans le désordre,

• de soustraire les deux nombres,

• d’exclure un chiffre sauf 0,

• de vous donner les chiffres qui restent dans le désordre.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres donnés. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

La personne choisit 7853. Elle écrit 5837. Elle fait : 7853 – 5837 = 2016. Elle vous donne 0, 2 et 6. La somme est 8. Le multiple de 9 supérieur à 8 est 9. Vous faites : 9 – 8 = 1. Le chiffre exclu est 1.

645. Chiffre exclu

Comment deviner un chiffre exclu ? (Kordiemsky) (3)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir un nombre de trois ou de quatre chiffres,

• d’additionner les chiffres,

• d’exclure un chiffre sauf 0 dans le nombre choisi,

• Du nombre restant après exclusion d’un chiffre, de soustraire la somme des chiffres.

• de vous donner le résultat.

• Vous lui dites que vous allez deviner le chiffre exclu.

Vous additionnez les chiffres du résultat donné. Du multiple de 9 supérieur au résultat, vous soustrayez la somme. La différence est le chiffre exclu.

La personne choisit 8742. La somme des chiffres est 21. La personne exclut 4. Elle fait 872 – 21 = 851. Elle donne le résultat, soit 851. Vous faites : 8 + 5 + 1 = 14 et 18 – 14 = 4. Le chiffre exclu est 4.

646. Devinette de divisibilité

Comment deviner qu’un produit de trois nombres est divisible par 3 ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir trois nombres inférieurs à 100 et de vous les montrer.

• Vous vérifiez si au moins un de ces nombres est divisible par 3.

• Vous demandez à la personne de multiplier les trois nombres avec une calculatrice, de diviser par 3 et de ne pas vous donner le résultat.

• Vous annoncez que vous allez deviner si le résultat est un entier.

Si au moins un nombre choisi est divisible par 3, vous dites que le produit est divisible par 3. Si aucun nombre choisi n’est divisible par 3, vous dites que le produit n’est pas divisible par 3.

La personne choisit 9, 17 et 24. Les nombres 9 et 24 sont divisibles par 3. Le produit est divisible par 3. Il est un entier.

La personne choisit 7, 11 et 22. Aucun de ces nombres n’est divisible par 3. Le produit n’est pas divisible par 3. Il n’est pas un entier.

647. Devinette de divisibilité

Comment deviner qu’une somme est divisible par 8 ? (1)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir deux nombres impairs,

• d’additionner les carrés de ces nombres,

• de choisir un nombre pair entre 0 et 50 et de vous le donner,

• d’additionner le résultat de la deuxième ligne et le nombre choisi.

• Vous annoncez que vous allez deviner si cette somme est divisible par 8.

Vous divisez le dernier nombre choisi par 8. Si le reste est 6, vous dites : « Je suis certain que la somme est divisible par 8. » Si le reste n’est pas 6, vous dites : « Je suis certain que ta somme n’est pas divisible par 8. »

La personne choisit 3 et 7. Elle fait : 9 + 49 = 58. Elle choisit 22. Elle fait : 58 + 22 = 80. Vous faites : 22 ÷ 8 = 2 reste 6. La somme 80 est divisible par 8.

La personne choisit 5 et 11. Elle fait : 25 + 121 = 146. Elle choisit 32. Elle fait : 32 + 146 = 178. Vous faites : 32 ÷ 8 = 4 reste 0. La somme 178 n’est pas divisible par 8.

648. Devinette de divisibilité

Comment deviner qu’une somme est divisible par 8 ? (2)

Étapes

• Vous demandez à une personne de choisir deux nombres impairs,

• de soustraire les carrés de ces nombres,

• de choisir un nombre pair entre 0 et 50, puis de vous le donner,

• d’additionner le résultat de la deuxième ligne et le nombre choisi.

• Vous annoncez que vous allez deviner si cette somme est divisible par 8.

Vous divisez le dernier nombre choisi par 8. Si le reste est 0, vous dites : « Je suis certain que la somme est divisible par 8. » Si le reste n’est pas 0, vous dites : « Je suis certain que la somme n’est pas divisible par 8. »

La personne choisit 15 et 13. Elle fait : 225 – 169 = 56. Elle choisit 16. Elle fait : 56 + 16 = 72. Vous faites : 16 ÷ 8 = 2 reste 0. La somme 72 est divisible par 8.

La personne choisit 11 et 7. Elle fait : 121 – 49 = 72. Elle choisit 12. Elle fait : 72 + 12 = 84. Vous faites : 12 ÷ 8 = 1 reste 4. La somme 84 n’est pas divisible par 8.

649. Deviner un nombre

Comment deviner un nombre dans un intervalle donné ?

Étapes

• On calcule le médian (nombre du milieu) de l’intervalle.

• On pose la question : « Ce nombre est-il plus grand (ou plus petit) que le médian en le nommant ? »

• On continue ainsi en calculant le médian du nouvel intervalle et en posant la même question.

Soit à deviner un nombre dans l’intervalle de 0 à 100. On demande si le nombre est plus grand (ou plus petit) que 50. Si le nombre est plus grand que 50, on choisit 75 comme médian. Si le nombre est plus petit que 50, on choisit 25 comme médian. On continue ainsi.

650. Quatre opérations

Comment s’assurer que les élèves maîtrisent les quatre opérations avec les nombres de 1 à 9 ?

Étapes

• On donne des bandes de papier aux élèves qui écrivent des égalités vraies ou fausses comme 3 + 7 = 10 ou 2 × 7 = 18.

• Tout groupe de deux élèves prend au hasard un certain nombre de bandes et les place dans une boîte.

• À tour de rôle, chacun pige une bande et indique si l’égalité est vraie.

• L’élève qui a la bonne réponse gagne un point. Si la réponse est mauvaise, il perd un point.

• En cas de conflit, on peut se servir de la calculatrice ou de tout autre outil pour vérifier les réponses.

• Le premier qui atteint un maximum de points déterminé d’avance est le gagnant.

651. D’impairs à pair

Comment représenter un nombre pair en utilisant trois nombres impairs identiques ?

Étapes

• On choisit un nombre pair quelconque.

• On soustrait 1.

• On écrit le résultat.

• On écrit une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont le résultat.

Soit 18 le nombre choisi. On fait : 18 – 1 = 17. Le nombre 17 17/17 est égal à 18.

652. Nombre de chiffres

Comment trouver le nombre nécessaire de chiffres pour écrire les nombres à partir de 1 jusqu'à un nombre d’au plus quatre chiffres ?

Étapes

• Si le nombre donné a un chiffre, le nombre de chiffres lui est égal.

• Si le nombre donné a deux chiffres, on multiplie le nombre par 2 et on soustrait 9.

• Si le nombre donné a trois chiffres, on multiplie le nombre par 3 et on soustrait 108.

• Si le nombre donné a quatre chiffres, on multiplie le nombre par 4 et on soustrait 1107.

Soit 94 le dernier nombre. On fait : 94 × 2 = 188 et 188 – 9 = 179. On a besoin de 179 chiffres pour écrire les nombres de 1 à 94.

Soit 261 le dernier nombre. On fait : 261 × 3 = 783 et 783 – 108 = 675. On a besoin de 675 chiffres pour écrire les nombres de 1 à 261.

Soit 1010 le dernier nombre. On fait : 1010 × 4 = 4040 et 4040 – 1107 = 2933. On a besoin de 2933 chiffres pour écrire les nombres de 1 à 1010.

653. Mains de jetons

Une personne a un nombre impair de jetons dans une main et un nombre pair de jetons dans l’autre main. Comment deviner quelle main contient un nombre impair ou pair de jetons ?

Étapes

• La personne multiplie par 3 le nombre de jetons de la main gauche.

• Elle multiplie par 2 le nombre de jetons de la main droite.

• Elle additionne les deux résultats et énonce la somme.

Si le résultat est pair, la main gauche contient le nombre pair de jetons et l’autre main, le nombre impair de jetons. Si le résultat est impair, la main gauche contient le nombre impair de jetons et l’autre main, le nombre pair de jetons.

654. Âge d’une personne

Comment deviner l’âge d’une personne et son mois de naissance ?

Étapes

• Vous demandez à une personne de prendre le rang du mois de sa naissance,

• d’ajouter 80 à la fin,

• d’additionner son âge,

• de soustraire 200,

• de vous donner le résultat.

Au résultat, vous additionnez 120. Si le nombre a trois chiffres, le premier indique le mois et les deux derniers, l’âge. Si le nombre a quatre chiffres, les deux premiers indiquent le mois et les deux derniers, l’âge.

On suppose qu’une personne a 55 ans et qu’elle est née en mai. La personne ajoute 80 à 5 : cela donne 580. Elle fait : 580 + 55 = 635, 635 – 200 = 435. Vous faites : 435 + 120 = 555.

655. Âge d’une personne

Comment trouver l’âge d’une personne dont la vie s’étend partiellement sur deux siècles ?

Étapes

• De 100, on soustrait les deux derniers chiffres de l’année de naissance.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année en cours.

• Si la date de naissance, sauf l’année, est postérieure à la date en cours, on soustrait 1.

Marie-Anne est née le 15 novembre 1971. Nous sommes le 11 juillet 2014. On fait : 100 – 71 = 29, 29 + 14 = 43 et 43 – 1 = 42. Marie-Anne a 42 ans.

656. Âges de deux personnes

Connaissant l’âge de deux personnes, comment savoir quel âge a eu ou aura l’une d’elles quand l’âge de l’une aura été ou sera le double de l’âge de l’autre ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les âges des deux personnes.

• La différence est l’âge de la plus jeune.

Marie a 15 ans et Narcisse a 22 ans. On fait : 22 – 15 = 7. La plus jeune avait 7 ans et la plus âgée avait 14 ans.

Paul a 14 ans et Renée a 35 ans. On fait : 35 – 14 = 21. La plus jeune aura 21 ans et la plus âgée aura 42 ans.

657. Âges de deux personnes

Comment trouver l’âge de de deux personnes quand, à tour de rôle, on double l’âge de l’une et qu’on additionne à l’âge de l’autre, ces sommes étant connues ?

Étapes

• On additionne les sommes connues.

• On divise par 4. On note le résultat.

• On effectue la différence des sommes connues.

• On divise par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On divise par 2 : c’est l’âge de l’aîné.

• On soustrait l’un de l’autre les résultats de la deuxième et de la quatrième ligne.

• On divise par 2 : c’est l’âge du cadet.

Quand Luc aura doublé son âge, la somme des âges de Luc et de Luce sera de 43 ans. Quand Luce aura doublé son âge, la somme des âges de Luc et de Luce sera de 33 ans. Trouvez l’âge de Luc et de Luce.

On fait : 43 + 33 = 76, 76 ÷ 4 = 19, 43 – 33 = 10, 10 ÷ 2 = 5, 5 + 19 = 24 et 24 ÷ 2 = 12. On fait : 19 – 5 = 14 et 14 ÷ 2 = 7. Luc a 12 ans et Luce a 7 ans.

658. Âges de deux personnes

Sachant qu’une personne a actuellement le triple de l’âge d’une autre, comment trouver l’âge de cette personne quand elle aura le double de l’âge de l’autre ?

Étapes

• On additionne les deux âges.

• La somme est l’âge de l’aînée.

Marie a 15 ans et Sébastien 5 ans. Quel âge aura-t-elle quand elle aura le double de l’âge de Sébastien ?

On fait : 15 + 5 = 20. Marie aura 20 ans et Sébastien 10 ans.

659. Âges de deux personnes

Connaissant l’âge de deux personnes, comment savoir quel âge a eu ou aura l’une d’elles quand l’âge de l’une aura été ou sera le triple de l’âge de l’autre ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les âges des deux personnes.

• On divise par 2.

• Si le quotient n’est pas un entier, la situation ne s’est pas produite ou ne se produira pas.

• Le quotient, lorsqu’il est entier, est l’âge de la plus jeune.

Paule a 18 ans et Renée a 49 ans. On fait : 49 – 18 = 31 et 31 ÷ 2 = 15,5. Le problème n’a pas de solution.

Marie a 10 ans et Noémie a 34 ans. On fait : 34 – 10 = 24 et 24 ÷ 2 = 12. La plus jeune aura 12 ans et la plus âgée aura 36 ans.

660. Âges de deux personnes

Connaissant l’âge de deux personnes, comment savoir quel âge a eu ou aura l’une d’elles quand l’âge de l’une aura été ou sera le quadruple de l’âge de l’autre ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les âges des deux personnes.

• On divise par 3.

• Si le quotient n’est pas un entier, la situation ne s’est pas produite ou ne se produira pas.

• Le quotient, lorsqu’il est entier, est l’âge de la plus jeune.

Marie a 10 ans et Noémie a 34 ans. On fait : 34 – 10 = 24 et 24 ÷ 3 = 8. La plus jeune avait 8 ans et la plus âgée avait 32 ans.

Paule a 15 ans et Renée a 32 ans. On fait : 32 – 15 = 17 et 17 ÷ 3 = 5,7. Le problème n’a pas de solution.

661. Fête des Mères

Connaissant le quantième de mai qui est la fête des Mères d’une année, comment trouver le quantième de celle de l’année suivante ?

Étapes

• Si l’année suivante est ordinaire, on soustrait 1 au quantième donné.

• Si l’année suivante est bissextile, on soustrait 2 au quantième donné.

• Si le résultat est plus petit que 8, on additionne 7 : c’est le quantième cherché.

• Si le résultat est plus grand ou égal à 8, c’est le quantième cherché.

En 1999, la fête de Mères a lieu le 9 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2000. On fait : 9 – 2 = 7 et 7 + 7 = 14. En 2000, cette fête a lieu le 14 mai.

En 2017, la fête de Mères a lieu le 14 mai. Soit à trouver le quantième de la fête en 2018. On fait : 14 – 1 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai.

662. Fête des Mères

Connaissant le jour de la semaine du 1^er janvier d’une année, comment trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en cette même année ?

Étapes

• Si l’année est ordinaire, le 1^er mai est le jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• Si l’année est bissextile, le 1^er mai est le deuxième jour de la semaine suivant celui du 1^er janvier.

• On établit le quantième du premier dimanche de mai.

• On additionne 7.

Le 1^er janvier 2018 est un lundi. Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2018. Le 1^er mai est un mardi. Le premier dimanche de mai est le 6. On fait : 6 + 7 = 13. En 2018, la fête a lieu le 13 mai.

Le 1^er janvier 2020 est un mercredi. Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2020. Le 1^er mai est un vendredi. Le premier dimanche de mai est le 3. On fait : 3 + 7 = 10. En 2020, la fête a lieu le 10 mai.

663. Fête des Mères

Pour une année donnée du 21^e siècle, comment trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise par 4. On retient le quotient en ignorant le reste.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année et le quotient.

• On divise la somme par 7. On retient le reste.

• De 14, on soustrait le reste.

Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2025. On fait : 25 ÷ 4 = 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31, 31 ÷ 7 = 4 reste 3 et 14 – 3 = 11. En 2025, la fête a lieu le 11 mai.

Soit à trouver le quantième de mai qui est la fête des Mères en 2040. On fait : 40 ÷ 4 = 10 reste 0. On retient 10. On fait : 40 + 10 = 50, 50 ÷ 7 = 7 reste 1 et 14 – 1 = 13. En 2040, la fête a lieu le 13 mai.

664. Fête des Pères

Connaissant le quantième de juin qui est la fête des Pères d’une année, comment trouver le quantième de celle de l’année suivante ?

Étapes

• Si l’année suivante est bissextile, on soustrait 2 au quantième connu.

• Si l’année suivante n’est pas bissextile, on soustrait 1 au quantième connu.

• Dans les deux cas, si le résultat est inférieur à 15, on additionne 7.

En 2015, la fête des Pères est le 21 juin. Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2016. On fait : 21 – 2 = 19. En 2016, la fête a lieu le 19 juin.

En 2025, la fête des Pères est le 15 juin. Soit à trouver le quantième de la fête des Pères en 2026. On fait : 15 – 1 = 14 et 14 + 7 = 21. En 2026, la fête a lieu le 21 juin.

665. Fête des Pères

Connaissant le jour de la semaine du 1^er janvier d’une année, comment trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en cette même année ?

Étapes

• Si l’année est ordinaire, le 1^er juin est le jour de la semaine suivant de quatre rangs celui du 1^er janvier.

• Si l’année est bissextile, le 1^er juin est le jour de la semaine précédant de deux rangs celui du 1^er janvier.

• On établit le quantième du premier dimanche de juin.

• On additionne 14.

Le 1^er janvier 2018 est un lundi. Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2018. Le 1^er juin est un vendredi. Le premier dimanche de juin est le 3. On fait : 3 + 14 = 17. En 2018, la fête a lieu le 17 juin.

Le 1^er janvier 2020 est un mercredi. Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2020. Le 1^er juin est un lundi. Le premier dimanche de juin est le 7. On fait : 7 + 14 = 21. En 2020, la fête a lieu le 21 juin.

666. Fête des Pères

Pour une année donnée du 21^e siècle, comment trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères ?

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise ce nombre par 4. On retient le quotient en ignorant le reste.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année et le quotient.

• On divise la somme par 7. On retient le reste.

• De 18, on soustrait le reste.

Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2025. On fait : 25 ÷ 4 = 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31, 31 ÷ 7 = 4 reste 3 et 18 – 3 = 15. En 2025, la fête a lieu le 15 juin.

Soit à trouver le quantième de juin qui est la fête des Pères en 2040. On fait : 40 ÷ 4 = 10 reste 0. On retient 10. On fait : 40 + 10 = 50, 50 ÷ 7 = 7 reste 1 et 18 – 1 = 17. En 2040, la fête a lieu le 17 juin.

667. Jour de la semaine

Comment trouver le jour de la semaine d’un quantième de janvier d’une année non bissextile du 21^e siècle ?

Étapes

• On prend le quantième du mois.

• On additionne les deux derniers chiffres de l’année.

• On divise les deux derniers chiffres de l’année par 4 en ignorant le reste.

• On additionne le quotient entier au résultat de la deuxième ligne.

• On divise par 7. Le reste correspond au rang du jour de la semaine où le 1 est dimanche, le 2 est lundi, le 3 est mardi … et le 0 est samedi.

Soit à trouver le jour de la semaine du 24 janvier 2025. On fait : 24 + 25 = 49, 25 ÷ 4 = 6 reste 1, 6 + 49 = 55 et 55 ÷ 7 = 7 reste 6. Le 24 janvier 2025 est un vendredi.

668. Jour de la semaine

Comment trouver le jour de la semaine d’une date postérieure dans une même année ?

Étapes

• On additionne successivement 7 au quantième donné.

• Quand on dépasse le dernier jour du mois, du résultat, on soustrait le nombre de jours de ce mois : c’est le début du mois qui suit.

• On revient au point de départ jusqu’à l’atteinte du jour de la semaine cherché.

Soit à trouver le jour de la semaine du 16 juillet 2027 sachant que le 22 avril de la même année est un jeudi. On fait : 22 + 7 = 29, 29 + 7 = 36, 36 – 30 = 6 mai, (6, 13, 20, 27, 34), 34 – 31 = 3 juin, (3, 10, 17, 24, 31), 31 – 30 = 1 juillet, (1, 8, 15). Comme le 15 juillet est un jeudi, le 16 juillet est un vendredi.

669. Des allumettes

Comment trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille n × n ?

Étapes

• On multiplie n par son successeur.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille 6 × 6. On fait : 6 × 7 = 42 et 42 × 2 = 84. On a besoin de 84 allumettes.

670. Des allumettes

Comment trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille m × n ?

Étapes

• On multiplie m par (n + 1).

• On multiplie n par (m + 1).

• On additionne les deux résultats.

Soit à trouver le nombre d’allumettes nécessaires pour construire une grille 4 × 6. On fait : 4 × 7 = 28, 6 × 5 = 30 et 28 + 30 = 58. On a besoin de 58 allumettes.

671. Partage d’objets

Comment trouver le nombre d’objets à partager entre deux personnes ?

Problème. Si un père donne M objets à chacun de ses enfants, il lui en reste S. S’il donne N objets à chacun de ses enfants, il lui en manque T. Combien le père a-t-il d’objets ?

Étapes

• On effectue (N – M).

• On effectue (M × T).

• On effectue (N × S).

• On additionne les deux résultats précédents.

• On divise le résultat par celui de la première ligne : c’est le nombre d’objets.

Si un père donne 2 objets à chacun de ses enfants, il lui en reste 8. S’il donne 5 objets à chacun de ses enfants, il lui en manque 10. Combien le père a-t-il d’objets ?

On fait : 5 – 2 = 3, 2 × 10 = 20, 5 × 8 = 40, 20 + 40 = 60 et 60 ÷ 3 = 20. Le père a 20 objets à partager. Il a six enfants.

672. Partage d’objets

Comment trouver le nombre d’enfants dans une situation de partage d’objets ?

Problème. Si un père donne M objets à chacun de ses enfants, il lui reste S objets. S’il donne N objets à chacun, il lui manque T objets. Combien le père a-t-il d’enfants ?

Étapes

• On effectue (N – M).

• On effectue (T + S).

• On divise le résultat précédent par le premier : c’est le nombre d’enfants.

Si un père donne 2 objets à chacun de ses enfants, il lui en reste 9. S’il donne 6 objets à chacun de ses enfants, il lui en manque 7. Combien le père a-t-il d’enfants ?

On fait : 6 – 2 = 4, 7 + 9 = 16 et 16 ÷ 4 = 4. Le père a 4 enfants. Il a 17 objets à partager.

673. Partage d’objets

Comment partager un nombre d’objets entre un nombre impair de personnes de telle sorte que les nombres d’objets soient consécutifs ?

Étapes

• On divise le nombre d’objets par le nombre de personnes.

• Si le résultat n’est pas un entier, le partage est impossible.

• Si le résultat est un entier, on divise le nombre de personnes par 2 sans retenir le reste.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le quotient entier.

• On additionne 1 jusqu’à atteindre le nombre de personnes.

Soit à partager 70 pommes entre 5 personnes. On fait : 70 ÷ 5 = 14, 5 ÷ 2 = 2 reste 1 et 14 – 2 = 12. Les personnes ont 12, 13, 14, 15 et 16 pommes.

674. Partage d’objets

Comment partager un nombre d’objets entre un nombre pair de personnes de telle sorte que les nombres d’objets soient consécutifs ?

Étapes

• On divise le nombre d’objets par le nombre de personnes.

• Si le résultat n’est pas un entier augmenté de 0,5, le partage est impossible.

• Si le résultat convient, on soustrait 0,5.

• On divise le nombre de personnes par 2.

• On soustrait 1.

• Du résultat de la troisième ligne, on soustrait le précédent.

• On additionne 1 jusqu’à atteindre le nombre de personnes.

Soit à partager 75 pommes entre 6 personnes. On fait : 75 ÷ 6 = 12,5. On fait : 12,5 – 0,5 = 12, 6 ÷ 2 = 3, 3 – 1 = 2 et 12 – 2 = 10. Le partage est 10, 11, 12, 13, 14, 15 pommes.

675. Partage d’objets

Comment partager des objets en rapport inverse de l’âge de deux personnes ?

Étapes

• On additionne les âges.

• On multiplie le nombre d’objets par une fraction dont le numérateur est l’âge du second et dont le dénominateur est la somme des âges : c’est la part du premier.

• On soustrait la part du premier du nombre total d’objets : c’est la part du deuxième.

Soit à partager 100 objets entre deux enfants de 9 et 11 ans en raison inverse de leur âge. On fait : 9 + 11 = 20 et 100 × 11/20 = 55. Le premier reçoit 55 objets. On fait : 100 – 55 = 45. Le deuxième reçoit 45 objets.

676. Billes sur un rectangle

Comment trouver le nombre total de billes disposées sur les côtés d’un rectangle en plaçant un nombre égal de billes par côté parallèle, dont une bille sur chaque point d’intersection ?

Étapes

• On soustrait 2 au nombre de billes du côté le moins occupé.

• On additionne le nombre de billes du côté le plus occupé.

• On multiplie par 2.

Soit 15 billes sur chacun de deux côtés parallèles et 13 billes sur chacun des deux autres côtés. On fait : 13 – 2 = 11, 11 + 15 = 26 et 26 × 2 = 52. On compte 52 billes.

677. Billes sur un polygone

Comment trouver le nombre total de billes disposées sur les côtés d’un polygone régulier en plaçant un nombre égal de billes par côté dont une bille sur chaque point d’intersection ?

Étapes

• On soustrait de 2 le nombre de billes par côté.

• On multiplie par le nombre de côtés.

• On additionne le nombre de côtés.

Soit à placer 6 billes sur les côtés d’un pentagone. On fait : 6 – 2 = 4, 4 × 5 = 20 et 20 + 5 = 25. On compte 25 billes.

678. Des montants d’argent

Connaissant le montant d’argent que deux personnes possèdent ensemble et le montant que l’un a plus que l’autre, comment trouver le montant de la personne qui en a le moins ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les deux montants donnés.

• On divise par 2.

Ben et Carl ont 78 $ ensemble. Ben a 6 $ de plus que Carl. On fait : 78 – 6 = 72 et 72 ÷ 2 = 36. Carl qui en a le moins possède 36 $.

679. Poignées de mains

Comment trouver le nombre de poignées de mains dans un groupe quand on connaît le nombre de personnes ?

Étapes

• On multiplie le nombre de personnes par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de poignées de mains dans un groupe de 10 personnes. On fait : 10 × 9 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. On compte 45 poignées de mains.

680. Aiguilles superposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont superposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11 : la partie entière correspond aux minutes.

• On multiplie par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11 et 4/11 × 60 = 21,81. Ayant arrondi, on obtient 22. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 16 minutes et 22 secondes.

681. Aiguilles opposées

Comment trouver l’heure exacte quand les aiguilles des heures et des minutes sont opposées ?

Étapes

• On multiplie l’heure par 5 5/11.

• On additionne 32 8/11 : la partie entière correspond aux minutes.

• On multiplie par 60.

• S’il y a lieu, on arrondit : ce sont les secondes.

Soit à trouver l’heure exacte quand il est entre 3 et 4 heures. On fait : 3 × 5 5/11 = 16 4/11, 16 4/11 + 32 8/11 = 49 1/11 et 1/11 × 60 = 5,45. On arrondit à 5. Quand l’aiguille des heures est sur le 3, il est 3 heures 49 minutes et 5 secondes.

682. Négoce d’œufs

Connaissant le nombre de personnes qui achètent des œufs d’une fermière, comment trouver le nombre d’œufs qui appartiennent à la fermière ?

Problème : Une fermière vend à une première personne la moitié de ses œufs et ½ œuf. À une deuxième personne, elle vend la moitié de ce qui reste et ½ œuf et ainsi de suite jusqu’à ce que tous les œufs soient distribués. Combien la fermière avait-elle d’œufs ?

Étapes

• On élève 2 à la puissance qui correspond au nombre de personnes.

• On soustrait 1.

Par exemple, s’il y a quatre personnes, on fait : 2⁴ = 16 et 16 – 1 = 15. La fermière avait 15 œufs. En effet, 15 ÷ 2 = 7 ½ et 7 ½ + ½ = 8 (première personne), puis 7 ÷ 2 = 3 ½ et 3 ½ + ½ = 4 (deuxième personne), puis 3 ÷ 2 = 1 ½ et 1 ½ + ½ = 2 (troisième personne), puis 1 ÷ 2 = ½ et ½ + ½ = 1 (quatrième personne).

683. Huit combinaisons

Comment trouver les huit combinaisons de trois nombres ayant la même somme parmi neuf nombres consécutifs sans faire de calculs ?

Étapes

• On trace une grille 3 × 3.

• On remplit la grille ci-après en plaçant le plus petit nombre à la place du 1 et en suivant l’ordre jusqu’à 9.

• On écrit les triplets de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale.

Soit à trouver les combinaisons de trois nombres avec les nombres consécutifs de 7 à 15. On remplit la grille ainsi :

Les combinaisons sont : (7, 12, 14), (9, 11, 13), (8, 10, 15), (9, 10, 14), (7, 11, 15), (8, 12, 13), (8, 11, 14), (10, 11, 12). La somme dans chaque combinaison est 33.

684. Carrés magiques d’ordre 3

Comment former un carré magique d’ordre 3 formé de nombres consécutifs ?

Étapes

• On choisit neuf nombres consécutifs.

• On multiplie le nombre du milieu par 3 : c’est la somme dans chaque rangée.

• On écrit le plus petit nombre au centre de la première rangée horizontale.

• On écrit le deuxième nombre dans le coin inférieur droit.

• On écrit le nombre du milieu au centre de la grille.

• On complète pour que la somme soit la même dans chaque rangée.

Soit la suite 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. On fait : 7 × 3 = 21. On place les éléments selon ce qui est indiqué et on complète. Le carré magique est :

Note. Il existe sept autres façons équivalentes de distribuer les nombres.

685. Carrés magiques d’ordre 3

Comment former un carré magique d’ordre 3 quand on connaît trois de ses nombres ?

Étapes

• On place le premier nombre au centre de la première ligne.

• On place le deuxième nombre dans le coin inférieur droit.

• On place le troisième nombre dans le coin inférieur gauche.

• Du troisième nombre, on soustrait le premier.

• On additionne le deuxième nombre donné : c’est le nombre du centre.

• On multiplie le nombre du centre par 3 : c’est la somme des nombres dans chaque rangée.

• On complète avec cette somme.

Soit 5, 8 et 12 les trois éléments connus. On place les trois éléments dans le carré. On fait : 12 – 5 = 7, 7 + 8 = 15 et 15 × 3 = 45. En complétant, on obtient ce carré magique.

686. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des diagonales sans faire d’addition ?

Étape

• On multiplie le nombre du milieu par 3.

Soit le carré suivant :

On fait : 11 × 3 = 33. La somme des nombres de chacune des diagonales est 33.

687. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des huit rangées sans faire d’addition ?

Étape

• On multiplie par 3 le nombre du milieu de chaque rangée.

Soit le carré suivant :

Pour la première ligne, on fait : 4 × 3 = 12. Pour la deuxième ligne, on fait : 11 × 3 = 33. Pour la troisième ligne, on fait : 18 × 3 = 54. Pour la première colonne, on fait : 10 × 3 = 30, etc.

688. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des neuf nombres sans faire d’addition ?

Étape

• On multiplie par 9 le nombre du milieu.

Soit le carré suivant :

On fait : 11 × 9 = 99. La somme des neuf nombres est 99.

689. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment composer un carré magique en déplaçant les éléments ?

Étapes

• On intervertit successivement les deux premiers éléments de la première ligne, les deux premiers éléments de la troisième colonne, les deux derniers éléments de la troisième ligne et les deux derniers éléments de la première colonne.

• On intervertit les deux éléments extrêmes de la première diagonale.

• On intervertit les deux éléments extrêmes de la deuxième ligne.

À partir de l’extrait du calendrier à gauche, voici la façon de procéder :

690. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ? (1)

Étapes

• On choisit successivement le premier élément de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et le dernier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 3, 12 et 18. On écrit : 3² + 12² + 18² = 477. On choisit 4, 10 et 19. On écrit : 4² + 10² + 19² = 477. L’égalité est : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19².

691. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 3 × 3 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de trois carrés de part et d’autre ? (2)

Étapes

• On choisit successivement l’élément du milieu de la première ligne de la grille, le dernier élément de la deuxième ligne et le premier élément de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit successivement le dernier élément de la première ligne, le premier élément de la deuxième ligne et l’élément du milieu de la troisième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 4, 12 et 17. On écrit : 4² + 12² + 17² = 449. On choisit 5, 10 et 18. On écrit : 5² + 10² + 18² = 449. L’égalité est : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18².

692. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des lignes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de chaque ligne de la grille.

• Pour chaque ligne, on soustrait 6.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16 et 16 – 6 = 10 : somme de la première ligne. On fait : 11 × 4 = 44 et 44 – 6 = 38 : somme de la deuxième ligne. On fait : 18 × 4 = 72 et 72 – 6 = 66 : somme de la troisième ligne. On fait : 25 × 4 = 100 et 100 – 6 = 94 : somme de la quatrième ligne. Les sommes sont 10, 38, 66 et 94.

693. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des nombres de chacune des colonnes sans faire d’addition ?

Étapes

• On multiplie par 4 le troisième élément de la quatrième colonne de la grille.

• On soustrait 14 : c’est la somme des nombres de la quatrième colonne.

• On soustrait successivement 4 de droite à gauche : c’est la somme de la 3^e, 2^e et 1^e colonne.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 18 × 4 = 72 et 72 – 14 = 58 : somme de la quatrième colonne. On fait : 58 – 4 = 54 : somme de la troisième colonne. On fait : 54 – 4 = 50 : somme de la deuxième colonne. On fait : 50 – 4 = 46 : somme de la première colonne. Les sommes sont 46, 50, 54 et 58.

694. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver la somme des 16 nombres sans faire l’addition de ces nombres ?

Étapes

• On multiplie par 4 le dernier élément de la première ligne.

• On soustrait 6.

• On multiplie par 4.

• On additionne 168.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On fait : 4 × 4 = 16, 16 – 6 = 10, 10 × 4 = 40 et 40 + 168 = 208. La somme des 16 nombres est 208.

695. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment composer un carré magique en déplaçant les éléments ?

Étapes

• On intervertit les éléments extrêmes d’une diagonale de la grille.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

• On intervertit les éléments extrêmes de l’autre diagonale.

• On intervertit les éléments du milieu de la même diagonale.

À partir de l’extrait du calendrier de gauche, voici la façon de procéder de gauche à droite :

696. Mois d’un calendrier

Après avoir délimité une grille carrée 4 × 4 sur une feuille d’un mois de calendrier, comment trouver une égalité de sommes de quatre carrés de part et d’autre ?

Étapes

• On choisit les deux éléments du milieu de la première ligne et les deux éléments extrêmes de la quatrième ligne.

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est un membre de l’égalité.

• On choisit les deux éléments extrêmes de la première ligne et les deux éléments du milieu de la quatrième ligne

• On élève au carré chacun de ces éléments : c’est l’autre membre de l’égalité.

Soit l’extrait de calendrier suivant :

On choisit 2, 3, 22 et 25. On écrit : 2² + 3² + 22² + 25² = 1122. On choisit 1, 4, 23 et 24. On écrit : 1² + 4² + 23² + 24² = 1122. L’égalité est : 2² + 3² + 22² + 25² = 1² + 4² + 23² + 24².

697. Rang d’une lettre

Comment trouver la lettre d’un rang donné quand un même mot est écrit de façon consécutive ?

Étapes

• On compte le nombre de lettres du mot.

• On divise le rang donné par le nombre de lettres en notant le reste.

• Le reste correspond au rang dans le mot. Si le reste est 0, la lettre cherchée est la dernière du mot.

Soit à trouver la 100^e lettre quand on écrit successivement le mot TRIANGLE. Le mot contient 8 lettres. On fait : 100 ÷ 8 = 12 reste 4. La lettre cherchée est la quatrième lettre de TRIANGLE, soit A.

698. Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 10 sous pour un montant donné en dollars entier, tout en ayant au moins une pièce de chaque valeur ?

Étapes

• On multiplie par 10 le montant donné.

• On soustrait 1.

Soit à former un montant de 2 $. On fait : 2 × 10 = 20 et 20 – 1 = 19. Il y a 19 façons différentes.

699. Assemblage de pièces

Comment trouver le nombre de façons différentes d’assembler des pièces de 5 sous et de 25 sous pour un montant donné en dollars entiers, tout en ayant au moins une pièce de chaque valeur ?

Étapes

• On multiplie par 4 le montant donné.

• On soustrait 1.

Soit un montant de 6 $. On fait : 6 × 4 = 24 et 24 – 1 = 23. Il y a 23 façons différentes.

700. Ensemble de dominos

Comment trouver le nombre de dominos composant un ensemble quand on connaît le domino ayant la plus grande quantité de points ?

Étapes

• On additionne 1 au nombre de points.

• On multiplie par son successeur.

• On divise par 2.

Soit à trouver le nombre de dominos dans un ensemble où le maximum de points pour un domino est 9. On fait : 9 + 1 = 10, 10 × 11 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. L’ensemble contient 55 dominos.

FIN