Solution 1. Soit m la quantité de dominos et n le nombre de garçons présents. Le nombre de filles est (n + 2). Comme chaque garçon reçoit trois pièces, cela donne 3n. Comme chaque fille reçoit cinq pièces, cela donne 5(n + 2). On additionne les deux expressions.

On obtient la formule : m = 8n + 10. Par exemple, s’il y a 12 garçons, 106 dominos seront distribués.

Solution 3. Soit m le nombre d’abeilles par rangée et n le rang d’une rangée. Le nombre d’abeilles par rangée est successivement 2, 7, 12, 17, 22, etc. Comme le nombre d’abeilles augmente de 5 d’une rangée à l’autre, on multiplie n par 5. Cela donnerait des rangées successives de 5, 10, 15, 20, 25, ... abeilles. Pour retrouver la suite initiale, on soustrait 3.

La formule est : m = 5n - 3. Par exemple, la 10^e rangée contiendra 47 abeilles.

Solution 5. Soit m le nombre de rangées de trois bicyclettes voisines et n le nombre de bicyclettes d’une ligne. Si n = 3, m = 8 ; si n = 4, m = 14 ; si n = 5, m = 20. La suite est 8, 14, 20, etc. Or, 8 = 6 × 3 - 10, 14 = 6 × 4 - 10, 20 = 6 × 5 - 10.

La formule est : m = 6n - 10. Par exemple, s’il y a 10 bicyclettes par ligne dans une figure, on pourra compter 50 rangées de trois bicyclettes voisines.

Solution 7. Soit m le nombre de coquillages et n le quantième du mois de juillet. Le nombre de coquillages par jour est successivement 2, 5, 8, 11, 14, etc. Comme le nombre de coquillages augmente de 3 d’un jour à l’autre, on multiplie n par 3. Cela donnerait une récolte de 3, 6, 9, 12, 15, ... coquillages. Pour retrouver la première suite, on soustrait 1.

La formule est : m = 3n - 1. Par exemple, le 10 juillet, Nicolas récoltera 29 coquillages.

Solution 9. Soit m la somme des nombres de la colonne et n le rang d’une colonne. La somme est successivement 24, 33, 42, 51, 60, etc. La différence entre les termes est 9. On pourrait avoir la suite 9, 18, 27, 36, 45, etc. Pour retrouver la première suite, on additionne 15 à chacun des termes de la dernière.

La formule est : m = 9n + 15. Par exemple, dans la colonne 10, la somme sera 105.

Solution 11. Soit m la distance totale parcourue en mètres et n le nombre de chats par rangée. Le nombre de chats par rangée est successivement 3, 4, 5, 6, etc. Le nombre de mètres parcourus est 35, 55, 75, 95, etc. Si le nombre de chats par rangée était 1, 2, 3, 4, ..., le terme général serait 20n + 15. On remplace n par (n - 2).

La formule est : 20n - 25. S’il y a 10 chats par rangée, la distance parcourue sera de 175 mètres.

Solution 13. On pose m le nombre de navets en stock à la fin d’une semaine et n le rang de la semaine. À la fin de chaque semaine, Alyssa a successivement 12, 14, 16, 18, 20, ... navets en stock. En soustrayant 10 à la suite, on a 2, 4, 6, 8, 10, 12, etc. Le terme général de cette suite est 2n.

La formule est : m = 2n + 10. Par exemple, à la fin de la 12^e semaine, le stock sera de 34 navets.

Solution 15. Soit m le nombre de noisettes recueillies pendant deux jours consécutifs et n le rang du premier des deux jours. Les deux premiers jours, 11 noisettes sont recueillies ; le deuxième et le troisième jour, 17 noisettes ; le troisième et le quatrième jour, 23 noisettes ; le quatrième et le cinquième jour, 29 noisettes. La suite est 11, 17, 23, 29, 35, ... Comme la différence est 6 entre deux termes consécutifs, on fait 6n. La suite serait alors 6, 12, 18, 24, 30, ... Pour retrouver la première suite, on additionne 5 à cette dernière.

La formule est : m = 6n + 5. Par exemple, le 10^e et le 11^e jour, 65 noisettes seront recueillies.

Solution 17. Soit m le nombre de cure-dents requis et n le rang impair de la colonne. Le rang des colonnes est successivement 1, 3, 5, 7, etc. Le nombre de cure-dents est 11, 24, 37, 50, etc. Or, 11 = (13 × 1 + 9)/2, 24 = (13 × 3 + 9)/2, 37 = (13 × 5 + 9)/2, 50 = (13 × 7 + 9)/2, etc.

La formule est : m = (13n + 9)/2. Par exemple, pour compléter la 11^e colonne de la figure, Flavie aura besoin de 76 cure-dents.

Solution 19. Soit m le nombre supérieur et n le premier nombre de la ligne inférieure. Les quatre nombres de la ligne inférieure sont : n, n - 1, n - 2, n - 3. Les trois nombres de la ligne supérieure à cette dernière sont : 2n - 1, 2n - 3, 2n - 5. Les deux nombres de la ligne supérieure à cette dernière sont : 4n - 4, 4n - 8. Le nombre supérieur est 8n - 12.

La formule est : m = 8n - 12. Par exemple, si le premier nombre de la ligne inférieure est 10, le nombre supérieur sera 68.

Solution 21. Soit m le résultat de l’égalité et n le nombre impair d’entiers. On peut établir le tableau suivant.

Si n = 3, m = -3 + 2 ; si n = 5, m = -5 + 2 ; si n = 7, m = -7 + 2, etc.

La formule est : m = -n + 2. Par exemple, parvenu à une égalité de 15 entiers, le résultat sera -13.

Solution 23. Soit m le nombre de carrés 2 × 2 et n le nombre de lignes. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n² - 1. Par exemple, lorsqu’il y a 10 lignes, on pourra compter 99 carrés 2 × 2.

Solution 25. Soit m la quantité de noisettes et n le nombre d’étoiles. À la suite d’un dépôt, le sac contiendra successivement 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, ... noisettes. Dans l’intervalle donné, trois étoiles auront été dessinées, soit pour 8, 36 et 64. La différence entre chaque nombre est 28. La suite 28, 36, 64, ... correspond à 28n. Pour revenir à la suite commençant par 8, on soustrait 20.

La formule est : 28n - 20. Par exemple, quand 10 étoiles auront été dessinées, il y aura 260 noisettes dans le sac.

Solution 27. Soit m le nombre de groupes et n le dernier entier de la suite. On peut établir le tableau suivant.

Lorsque n est pair, on trouve le nombre de groupes en divisant par 2. Lorsque n est impair, on trouve le nombre de groupes en divisant par 2 et en retenant la partie entière.

La formule est : m = [n/2] où [ ] est mis pour la partie entière. Par exemple, si le dernier nombre de la suite est 20 ou 21, on pourra former 10 groupes de deux entiers différents.

Solution 29. Soit m le nombre de perles du sac et n le rang du cas possible. Le nombre de perles où il est possible de faire les dons est successivement 15, 27, 39, 51, 63, etc. La différence est 12.

La formule est m = 12n + 3. Par exemple, au 10^e cas, le sac devra contenir 123 perles.

Solution 31. Soit m le nombre de carrés 3 × 3 et n le nombre de lignes d’une grille carrée. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = (n - 2)². Par exemple, dans une grille 10 × 10, on pourra compter 64 carrés 3 × 3.

Solution 33. Soit m le nombre de graines et n le rang d’une rangée. On peut établir le tableau suivant.

Pour les rangées 1, 4, 7, 10, la suite est 5, 14, 23, 32. Le terme général de cette suite est (3n + 2). Pour les rangées 2, 5, 8, 11, la suite est 7, 16, 25, 34. Le terme général de cette suite est (3n + 1). Pour les rangées 3, 6, 9, 12, la suite est 10, 19, 28, 37. Le terme général de cette suite est aussi (3n + 1). On divise le rang donné de la rangée par 3.

Si le reste est 0 ou 2, la formule est : m = 3n + 1. Si le reste est 1, la formule est : m = 3n + 2. Par exemple, dans la 19^e rangée, on aura 59 graines et dans la 20^e rangée 61 graines.

Solution 35. Soit m l’entier, L le rang d’une ligne et C le rang d’une colonne. Le terme général de la suite de la dernière ligne est 4C. Pour tenir compte du rang de la ligne, on additionne (L - 3).

La formule est : m = 4C + L - 3. Par exemple, à l’intersection de la 10^e colonne et de la 2^e ligne, on pourra lire 39.

Solution 37. Soit m l’aire du carré intérieur en centimètres carrés et n le nombre de tuiles d’une figure. Le nombre de tuiles est successivement 4, 8, 12, 16, etc. L’aire est 1, 9, 25, 49, ... centimètres carrés. Or, 1 = (4/2 - 1)², 9 = (8/2 - 1)², 25 = (12/2 - 1)², 49 = (16/2 - 1)².

La formule est : m = (n/2 - 1)². Par exemple, l’aire du carré intérieur de la 5^e figure qui contient 20 tuiles sera de 81 centimètres carrés.

Solution 39. Soit m le nombre de fleurs et n le quantième du mois d’octobre. Le nombre de fleurs dessinées par jour est successivement 5, 7, 9, 11, 13, etc. Le total depuis le début du mois est 5, 12, 21, 32, 45, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(n + 4). Par exemple, du 1^er au 10 octobre, Marcelle aura dessiné 140 fleurs.

Solution 41. Soit m le nombre de pains distribués et n le nombre de fourmis. S’il y avait cinq fourmis à la fête, chacune donnerait quatre pains à chacune des autres. On fait : 5 × 4 = 20. S’il y a n fourmis, chacune devra donner (n - 1) pains.

La formule est : m = n(n - 1). Par exemple, s’il y a 10 participantes, 90 pains seront distribués.

Solution 43. Soit m le rang de la ligne et n un nombre impair. La suite de la première colonne est 1, 15, 29, 43, 57, etc. Si on additionne 13 à chacun de ces nombres et si on divise par 14, on obtient le rang de la ligne. Pour les autres nombres, la partie entière du quotient correspond au rang de la ligne.

La formule est : m = [(n + 13)/14] où [ ] est mis pour la partie entière. Par exemple, 101 sera sur la 8^e ligne.

Solution 45. Soit m le nombre de tiges et n le nombre de colonnes. Pour deux colonnes, on a 2² + 2 = 6 tiges ; pour trois colonnes, on a 3² + 2 = 11 tiges ; pour quatre colonnes, on a 4² + 2 = 18 tiges, etc.

La formule est : m = n² + 2. Par exemple, dans la cinquième figure qui aura six colonnes, on pourra compter 38 tiges.

Solution 47. Soit m le total des cadenas et n le rang d’une rangée horizontale. Le nombre de cadenas par rangée est 3, 4, 5, 6, 7, etc. Le total des cadenas est 3, 7, 12, 18, 25, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est m = n(n + 5)/2. Par exemple, de la 1^ère à la 10^e rangée, on pourra compter 75 cadenas.

Solution 49. Soit m le rang de la première lettre d’un groupe et n le rang de la lettre dans l’alphabet. Le rang de la première lettre de chaque groupe est successivement 1, 2, 5, 10, 17, 26, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n² - 2n + 2. Par exemple, le premier J, qui est 10^e dans l’alphabet, sera de rang 82 dans la séquence.

Solution 51. Soit m le nombre de dominos et n le nombre de rangées horizontales. Le nombre de rangées verticales est (n + 1). Le nombre de cases est n(n + 1). Comme un domino occupe deux cases, le nombre de dominos est la moitié du nombre de cases.

La formule est : m = n(n + 1)/2. Par exemple, dans une grille 10 × 11, on pourra placer 55 dominos.

Solution 53. Soit m le nombre total de médaillons obtenus depuis le début du mois et n le quantième du mois de janvier. Le nombre de médaillons par jour est successivement 2, 5, 8, 11, 14, etc. Le total est 2, 7, 15, 26, 40, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(3n + 1)/2. Par exemple, du 1^er au 10 janvier, Isabelle aura reçu 155 médaillons.

Solution 55. Soit m le nombre de la grille, L le rang de la ligne et C le rang de la colonne. Lorsque C = 1, la suite est 1, 16, 31, 46, etc. Le terme général de cette suite est (15L - 14). Pour tenir compte du rang de la colonne, on additionne 3(C - 1). Cela donne : (15L - 14) + 3(C - 1).

La formule est : m = 15L + 3C - 17. Par exemple, sur la ligne 10 et dans la colonne 4, on pourra lire 145.

Solution 57. Soit m le nombre de droites et n le nombre de côtés du polygone. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(n - 1)/2. Par exemple, dans un décagone, on pourra tracer 45 droites.

Solution 59. Soit m le nombre de marches foulées et n le rang de la dernière marche de l’escalier de rang donné. Le nombre de marches par escalier est successivement 3, 7, 11, 15, 19, etc. La dernière marche est de rangs 3, 10, 21, 36, 55, etc. Or, 3 = 1 × (2 × 1 + 1) ; 10 = 2 × (2 × 2 + 1) ; 21 = 3 × (2 × 3 + 1) ; 36 = 4 × (2 × 4 + 1), etc.

La formule est : m = n(2n + 1). Par exemple, au 10^e escalier, on aura foulé la 210 marches.