Solution 61. Soit m le nombre de croix et n le nombre de lignes de la grille. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = (n - 1)(n - 2). Par exemple, dans une grille 10 × 11, on pourra colorier 72 croix.

Solution 63. Soit m le nombre de pommes cueillies par un groupe de trois personnes voisines et n le rang de la personne centrale du groupe. On peut établir le tableau suivant dans lequel la deuxième ligne est le rang de la personne centrale.

La formule est : m = 9n + 3. Par exemple, dans le groupe de IJK où J est au 10^e rang en ordre alphabétique, 93 pommes seront cueillies.

Solution 65. Soit m le nombre de triangles et n le nombre de parallèles à la base. Dans la première figure, on compte 8 triangles, ce qui correspond à 2 × 4. Dans la deuxième, on compte 15 triangles, ce qui correspond à 3 × 5. Dans la troisième, on compte 24 triangles, ce qui correspond à 4 × 6. La formule est : m = (n + 1)(n + 3). 

Par exemple, dans une figure qui a 10 parallèles à la base, on pourra compter 143 triangles de toute grandeur.

Solution 67. Soit m le résultat final et n un entier. Si n = 1, m = 3 ; si n = 2, m = 7 ; si n = 3, m = 13 ; si n = 4, m = 21. La suite est 3, 7, 13, 21, etc. Or, 3 = 1 × 2 + 1, 7 = 2 × 3 + 1, 13 = 3 × 4 + 1, 21 = 4 × 5 + 1, etc. 

La formule est m = n(n + 1) + 1 ou n² + n + 1. Par exemple, si on choisit 10, le résultat sera 111.

Solution 69. Soit m le nombre d’allumettes et n le nombre de cases par ligne ou par colonne. Pour une grille 1 × 1, on a besoin de 4 allumettes. Or, 4 = 2 × 2. Pour une grille 2 × 2, on a besoin de 12 allumettes. Or, 12 = 2 × 2 × 3. Pour une grille 3 × 3, on a besoin de 24 allumettes. Or, 24 = 2 × 3 × 4. 

La formule est : m = 2n(n + 1). Par exemple, on aura besoin de 220 allumettes pour former une grille 10 × 10.

Solution 71. Soit m la somme des deux nombres du milieu et n le rang d’une ligne de rang pair. La somme des deux nombres du milieu est successivement 13, 25, 45, 73, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n² + 9 où n est pair. Par exemple, sur la 10^e ligne, la somme des deux nombres du milieu sera 109.

Solution 73. Soit m le nombre d’autobus et n le rang de la figure. La première figure contient 5 autobus (1 × 5), la deuxième 12 (2 × 6) et la troisième 21 (3 × 7). 

La formule est : m = n(n + 4). Par exemple, la 10^e figure contiendra 140 autobus.

Solution 75. Soit m le nombre de chemins parcourus et n le nombre de colonnes du tableau. Le nombre de colonnes est successivement 3, 4, 5, 6, etc. Le nombre de chemins est 6, 10, 15, 21, etc. Or, 6 = 3(3 + 1)/2, 10 = 4(4 + 1)/2, 15 = 5(5 + 1)/2, 21 = 6(6 + 1)/2, etc. 

La formule est : m = n(n + 1)/2. Par exemple, dans une grille 3 × 10, l’araignée pourra parcourir 55 chemins.

Solution 77. Soit m la somme de tous les restes à partir du début, n le nombre donné, q la partie entière du quotient et r le reste de la division. Pour les nombres de 1 à 7, la somme est successivement 1, 3, 6, 10, 15, 21, 21. Pour les nombres de 7 à 14, les sommes sont 22, 24, 27, 31, 36, 42, 42. Si on additionne 21 aux termes de la première suite, on obtient la seconde. Par ailleurs, le terme général de la suite 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... est n(n + 1)/2. Avant d’appliquer la formule, on divise le nombre donné par 7. On retient le quotient q et le reste r. 

La formule est : m = 21q + r(r + 1)/2. Par exemple, si le nombre donné est 45, la somme des restes sera 132.

Solution 79. Soit m la mesure du deuxième côté de l’angle droit et n la mesure du premier côté. On peut établir le tableau suivant.

La formule est m = (n² - 1)/2. Par exemple, lorsque le premier côté de l’angle droit mesure 15 centimètres, le deuxième côté mesure 112 centimètres.

Solution 81. Soit m la longueur en centimètres et n le rang de la lettre dans l’alphabet. La suite est 7, 13, 21, 31, 43, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n² + 3n + 3. Par exemple, pour la lettre J, qui est au 10^e rang dans l’alphabet, la longueur de la piste sera de 133 centimètres.

Solution 83. Soit m le nombre de cure-dents requis et n le nombre d’hexagones à la base. Le nombre de cure-dents est successivement 6, 15, 27, 42, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = 3n(n + 3)/2. Par exemple, Étienne aura besoin de 195 cure-dents pour reproduire la figure dont la base contient 10 hexagones.

Solution 85. Soit m le nombre de losanges et n le nombre de lignes ou de colonnes de la grille. Le nombre de lignes ou de colonnes est successivement 3, 4, 5, 6, etc. Le nombre de losanges est 1, 4, 9, 16, 25, etc. Or, 1 = (3 - 2)², 4 = (4 - 2)², 9 = (5 - 2)², 16 = (6 - 2)², etc. 

La formule est : m = (n - 2)². Par exemple, dans une grille 10 × 10, on pourra compter 64 losanges.

Solution 87. Soit m le nombre de boules d’une figure et n le nombre de boules à la base. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = (n - 1)(n + 2)/2. Par exemple, lorsque la base contient 10 boules à la base, la figure sera formée de 54 boules.

Solution 89. Soit m le nombre au début de la ligne donnée et n le rang de la ligne. La suite des nombres au début de chaque ligne est 1, 3, 7, 13, 21, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n² - n + 1 où n désigne aussi le nombre d’étoiles par ligne. Par exemple, sur la ligne 7, il y aura sept nombres : 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55.

Solution 91. Soit m le nombre de citrons nécessaires et n le rang de la figure. Le nombre de citrons est successivement 3, 7, 13, 21, 31, etc. Or, 3 = 1 + 2, 7 = 4 + 3, 13 = 9 + 4, 21 = 16 + 5, 31 = 25 + 6, etc. On a le carré du rang, soit n², plus la suite 2, 3, 4, 5, 6, ... qui est (n + 1). 

La formule est : m = n² + n + 1. Par exemple, dans la 10^e figure, on pourra compter 111 citrons.

Solution 93. Soit m la somme et n le plus grand entier. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(n + 2)/4. Par exemple, si le plus grand entier de la suite est 20, la somme sera 110.

Solution 95. Soit m le nombre de bâtonnets bleus et n le nombre de bâtonnets rouges par côté de la grille. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = 2n(n - 1). Par exemple, dans une grille qui contient 10 bâtonnets rouges par côté, on pourra compter 180 bâtonnets bleus.

Solution 97. Soit m le rang en ordre alphabétique de la dernière lettre de la ligne et n le rang d’une ligne. La dernière lettre des lignes est successivement de rangs 2, 5, 9, 14, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(n + 3)/2. On divise le résultat par 26 et on retient le reste qui correspond au rang de la lettre. Par exemple, pour la dernière lettre de la 10^e ligne, on obtient 65. Le résultat de la division de 65 par 26 est 2 reste 13. Or, la 13^e lettre de l’alphabet est M. La dernière lettre de la 10^e ligne est M.

Solution 99. Soit m le nombre d’oies et n le rang d’un groupe donné. Le nombre d’oies est successivement 3, 9, 22, 45, 81, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = (n + 1)(n² + 2)/2. Par exemple, le groupe de rang 10 contiendra 561 oies.

Solution 101. Soit m le produit des deux nombres et n le rang de la colonne. Le terme général de la suite de la première ligne est (4n + 1). Celui de la deuxième ligne est (n + 5). 

La formule est : m = (n + 5)(4n + 1). Par exemple, le produit des deux nombres de la 10^e colonne sera 615.

Solution 103. Soit m le nombre de points requis et n le nombre de points par côté du dernier carré. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = (3n² - 3n - 2)/2. Par exemple, lorsque le carré a 10 points par côté, on aura besoin de 134 points.

Solution 105. Soit m le nombre de pamplemousses possédés par Octavie à la fin d’un jour et n le rang du jour. Lorsque n est égal à 1, 3, 5, 7, 9, ..., Octavie a successivement 4, 5, 6, 7, 8, ... pamplemousses. Le terme général de cette suite est (n + 3)/2. Lorsque n est égal à 2, 4, 6, 8, 10, ..., Octavie a successivement 5, 6, 7, 8, 9, ... pamplemousses. Le terme général de cette suite est (n + 8)/2. 

La formule : m = (n + 3)/2 lorsque le rang du jour est impair et m = (n + 8)/2 lorsque le rang du jour est pair. Par exemple, au jour 15, Octavie aura 9 pamplemousses. Au jour 16, elle en aura 12.

Solution 107. Soit m le nombre de pièces de monnaie requises et n le nombre de pièces par côté des triangles ou du carré. Le nombre de pièces par côté est successivement 2, 3, 4, 5, etc. Le nombre total de pièces est 8, 20, 36, 56, 80, etc. Or, 8 = 2 × 4 × 1, 20 = 2 × 5 × 2, 36 = 2 × 6 × 3, etc. 

La formule est : m = 2(n + 2)(n - 1). Par exemple, dans une figure où il y a 10 pièces de monnaie par côté, on pourra compter 216 pièces.

Solution 109. Soit m le nombre total d’œufs reçus, n l’année donnée et a l’âge de Maxime. Le nombre total d’œufs est successivement 3, 8, 15, 24, etc. On peut établir ce tableau en fonction de l’âge de Maxime.

Le terme général de cette suite est (a - 3)(a - 1). Pour obtenir l’âge, on fait a = n - 2000. La formule est : m = (n - 2001)(n - 2003). Par exemple, en 2010, Maxime aura reçu 63 œufs.

Solution 111. Soit m le nombre de triangles de toute grandeur et n le rang de la figure. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(n + 1)(n + 2)/6. Par exemple, dans la 10^e figure, Victor pourra compter 220 triangles de toute grandeur.

Solution 113. Soit m le nombre de fois et n le nombre de lettres de la dernière ligne. On peut lire 2 fois AB, 4 fois ABC, 8 fois ABCD, 16 fois ABCDE, etc. On peut établir le tableau suivant.

La formule est m = 2^n-1. Par exemple, lorsque le triangle contient 10 lettres à la base, on pourra lire 512 fois ABCDEFGHIJ.

Solution 115. Soit m le nombre de rectangles 2 × 3 et n nombre de lignes ou de colonnes de la grille. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = 2(n - 2)(n - 1). Par exemple, dans une grille 10 × 10, on pourra compter 144 rectangles 2 × 3.

Solution 117. Soit m le nombre de rondelles d’une figure et n le nombre de rondelles à la base. On peut établir le tableau suivant.

La formule est : m = n(3n - 1)/2. Par exemple, lorsque la figure contient 10 rondelles à la base, on pourra y compter 145 rondelles.

Solution 119. Soit m le nombre de X dans le triangle et n le nombre de téléphones à la base. Le nombre de téléphones à la base est successivement 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc. Le nombre de X est 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, etc. Dans les triangles ayant un nombre pair de téléphones à la base, le nombre de X est 1, 4, 9, 16, etc. La formule est : m = n²/4. Dans les triangles ayant un nombre impair de téléphones à la base, le nombre de X est 2, 6, 12, 20, etc. 

La formule est m = (n² - 1)/4. Par exemple, dans la figure ayant 11 téléphones à la base, on pourra compter 30 X ; dans celle ayant 12 téléphones à la base, on pourra compter 36 X.