Est-ce qu’il y a d’autres cas ?

Est-ce que c’est toujours vrai ?

Est-ce un hasard si cela se produit ?

Pourquoi cela est-il vrai pour ces cas ?

Une généralisation peut se faire par induction ou par déduction. Par l’induction, on passe de cas particuliers plus ou moins nombreux à un cas général. Cette approche qui est plutôt intuitive risque parfois d’être fausse mais elle a l’avantage d’être à la portée de l’élève. Par la déduction, on démontre que la proposition générale qu’on a énoncée s’applique à tous les cas particuliers.

Exemple 1. On enseigne que le périmètre d’un rectangle est égal à la somme du double de la base et du double de la hauteur. Si l’élève ne connaît pas la formule, il peut la trouver en calculant le périmètre de quelques rectangles. Par exemple, dans un rectangle de quatre centimètres par cinq centimètres, on peut faire : 4 + 4 + 5 + 5 = 18. Après quelques essais, l’élève réalise que ces opérations sont constantes. Cela lui permet d’énoncer une règle générale : c’est une induction. Un autre élève décide que B est la mesure de la base et que H est celle de la hauteur. Il fait : A + A + B + B = 2A + 2B : c’est une déduction.

Exemple 2. Un élève observe les deux égalités suivantes : 3² + 4² = 5² et 6² + 8² = 10². Il constate que les termes de la seconde égalité sont les doubles de la première et que cette égalité est aussi vraie. Il vérifie plusieurs autres cas comme 12² + 16² = 20², 24² + 32² = 40², etc. Cela est toujours vrai. Il conclut que, connaissant une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à un troisième carré, on peut multiplier chacun des termes par 2 et que la nouvelle égalité est toujours vraie : c’est une induction. Un autre élève qui maîtrise l’algèbre fait le raisonnement suivant. Soit a² + b² = c², si on multiplie chacun des termes par 2, on obtient (2a)² + (2b)² = (2c)². Cela donne 4a² + 4b² = 4c². En simplifiant l’égalité par 4, on a² + b² = c². Cela montre que l’égalité est toujours vraie : c’est une déduction.

La généralisation est un prémisse à la découverte et à l’invention.