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Ceci est le 24e article publié par Récréomath.


Carrés magiques d’ordre 5

Par Charles-É. Jean

Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est identique. Cette somme est appelée densité du carré magique. L’ordre du carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 5 contient 12 rangées de cinq éléments : cinq lignes, cinq colonnes et deux diagonales.

Les éléments généralement utilisés pour former un carré magique d’ordre 5 sont les entiers consécutifs de 1 à 25. On parle alors de carré magique normal. Sa densité est 65. En 1973, l’Américain Richard Schroepel a déterminé qu’il existe 275 305 224 carrés magiques de cet ordre. On peut aussi former des carrés magiques en utilisant certains autres ensembles de nombres.

Dans l’article Une nouvelle approche pour la construction de carrés magiques d’ordre 5, nous avons explicité une méthode générale de production de carrés magiques normaux d’ordre 5 à partir de carrés de base. Dans cet article, nous présentons des procédés de formation de différents carrés magiques d’ordre 5.

Sommaire

1. Les combinaisons

2. Le procédé de Bachet

3. Le procédé de La Loubère

4. Le procédé du cavalier

5. Somme de deux carrés latins

6. Un carré original

7. Un carré magique à compartiments

8. À partir d’un carré magique

9. Une table d’addition

10. Des suites arithmétiques

11. Choix des éléments

12. Opérations sur les carrés magiques

13. Un carré magique général

14. Un carré magique général à compartiments

      Problèmes et solutions


1. Les combinaisons
Pour former un carré magique normal d’ordre 4, on peut d’abord rechercher les combinaisons de quatre entiers dont la somme est 34. Il en existe 86. Ce procédé serait trop long pour les carrés d’ordre 5 puisqu’il existe 1394 combinaisons de cinq éléments pris parmi les 25 entiers consécutifs de 1 à 25 et dont la somme est 65. Voici d’ailleurs les 10 combinaisons quand les deux plus grands nombres sont 15 et 19 : (4, 13, 14, 15, 19), (5, 12, 14, 15, 19), (6, 11, 14, 15, 19), (6, 12, 13, 15, 19), (7, 10, 14, 15, 19), (7, 11, 13, 15, 19), (8, 9, 14, 15, 19), (8, 10, 13, 15, 19), (8, 11, 12, 15, 19), (9, 10, 12, 15, 19).

Compte tenu du grand nombre de combinaisons, il vaut mieux adopter d’autres procédés.

 

2. Le procédé de Bachet
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) mit au point un procédé de construction, lequel d’ailleurs s’applique à tous les carrés magiques d’ordre impair. Voici comment on procède :

• On trace une grille 5 ´ 5.

• On ajoute deux rangées de cases parallèles aux quatre côtés du carré.

• On écrit les entiers de 1 à 25 en les disposant successivement en des rangées obliques comme ceci :

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

10

 

 

 

 

 

3

 

9

 

15

 

 

 

2

 

8

 

14

 

20

 

1

 

7

 

13

 

19

 

25

 

6

 

12

 

18

 

24

 

 

 

11

 

17

 

23

 

 

 

 

 

16

 

22

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 


• On ramène à l’intérieur du carré les nombres placés à l’extérieur, selon les deux règles suivantes :

1. Tout nombre extérieur est ramené à l’intérieur dans la même ligne ou dans la même colonne. Par exemple, 1 demeure dans la troisième ligne du carré 5 ´ 5.

2. Le lieu de chaque nombre extérieur est déplacé à l’intérieur du carré ainsi.

Ligne ou colonne extérieure

Ligne ou colonne du carré

1

4

2

5

3

1

4

2

En respectant ces règles, on obtient le carré magique suivant :

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23


3. Le procédé de La Loubère
Simon de La Loubère (1642-1729) a imaginé un procédé pour former un carré magique normal d’ordre 5. Voici comment on procède :

1. Le 1 est placé dans la case centrale de la première ligne.

2. Chaque élément suivant est placé dans la colonne voisine à droite sur la ligne supérieure.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré magique,

· Tout élément supérieur à la première ligne est placé sur la cinquième ligne dans la même colonne.

· Tout élément à droite de la cinquième colonne est placé dans la première colonne sur la même ligne.

4. Lorsque le lieu approprié est déjà occupé, on place l'élément sous le dernier nombre inscrit. Cela s’applique après 5, 10, 15 et 20.

Voici le carré magique obtenu selon ce procédé :

 

18

25

2

9

 

17

24

1

8

15

17

23

5

7

14

16

23

4

6

13

20

22

 

10

12

19

21

3

10

11

18

25

2

9

 


4. Le procédé du cavalier
Le cavalier aux échecs se déplace en L. Ce mouvement sert à construire certains carrés magiques normaux. Ce procédé est similaire à celui de La Loubère. Voici comment on peut procéder :

1. Le 1 est placé dans la case centrale du carré.

2. Chaque élément suivant est placé selon le saut du cavalier dans la colonne voisine de droite vers le haut.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré magique, soit 

• sur la première ligne extérieure. On déplace l’élément dans la même colonne sur la quatrième ligne.

• sur la deuxième ligne extérieure. On déplace l’élément dans la même colonne sur la cinquième ligne.

• sur la colonne extérieure. On déplace l’élément sur la même ligne dans la première colonne.

4. Lorsque le lieu approprié est déjà occupé, on place l'élément sous le dernier nombre inscrit.

Voici le carré magique obtenu selon ce procédé :

 

24

7

20

3

 

 

5

13

 

9

17

23

6

19

2

15

23

4

12

25

8

16

4

10

18

1

14

22

10

11

24

7

20

3

 

17

5

13

21

9

17


5. Somme de deux carrés latins
On peut former un carré magique normal d’ordre 5 en faisant la somme de deux carrés latins. Dans le premier, on place les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et dans le second les nombres 0, 5, 10, 15, 20.

Pour le premier carré, on écrit la suite 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. Sur chaque autre ligne, on écrit 1 en respectant le saut horizontal du cavalier. On complète chaque ligne en écrivant la suite de façon circulaire.

Pour le second carré, on écrit la suite 0, 20, 15, 10, 5 sur la première ligne. Sur chaque autre ligne, on écrit 0 en respectant un saut horizontal faisant une case de plus que celui du cavalier. On complète chaque ligne en écrivant la suite de façon circulaire.

On fait la somme des éléments correspondants. On obtient ainsi un carré magique normal.

1

2

3

4

5

 

+

 

0

20

15

10

5

 

=

 

1

22

18

14

10

4

5

1

2

3

15

10

5

0

20

19

15

6

2

23

2

3

4

5

1

5

0

20

15

10

7

3

24

20

11

5

1

2

3

4

20

15

10

5

0

25

16

12

8

4

3

4

5

1

2

10

5

0

20

15

13

9

5

21

17

On peut former d’autres carrés magiques en utilisant les mêmes éléments répartis autrement.


6. Un carré original
Un carré est dit original si l’élément central est 0 et si la somme des éléments de chacune des rangées est 0. Voici comment on peut procéder pour former un carré original d’ordre 5 :

• On écrit 0 au centre du carré.

• On complète la diagonale de gauche avec 5, 10 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la diagonale de droite avec 1, 2 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la ligne centrale avec 6, 12 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la colonne centrale avec 7, 11 et l’inverse additif de chaque élément.

• Les éléments manquants sur la périphérie sont 3, 4, 8, 9 et leur inverse additif.

On peut former ainsi le carré original de gauche. On additionne 13 à chacun des éléments. On obtient le carré magique normal de droite.

-10

3

11

-3

-1

 

3

16

24

10

12

4

10

-7

1

-8

 

17

23

6

14

5

12

-6

0

-12

6

 

25

7

13

1

19

-4

2

-11

5

8

 

9

15

2

18

21

-2

-9

7

9

-5

 

11

4

20

22

8

On peut modifier le signe de chacun des éléments du carré de gauche ci-dessus. On obtient un autre carré magique normal.

10

-3

-11

3

1

 

23

10

2

16

14

-4

-10

7

-1

8

 

9

3

20

12

21

-12

6

0

12

-6

 

1

19

13

25

7

4

-2

11

-5

-8

 

17

11

24

8

5

2

9

-7

-9

5

 

15

22

6

4

18

La somme des éléments case par case des deux carrés de droite ci-dessus est 26.

 

7. Un carré magique à compartiments
Pour former un carré magique à compartiments, on délimite un carré magique 3 ´ 3 au centre. Dans ce carré, on place les entiers consécutifs de 9 à 17. La densité de ce carré est 39. Comme la densité d’un carré magique 5 ´ 5 est 65, on soustrait 39 de 65. Le résultat est 26. On fait les combinaisons des entiers qui restent dont la somme est 26. On place ces combinaisons dans les rangées périphériques. Voici un exemple de carré magique :

6

23

24

4

8

21

16

9

14

5

19

11

13

15

7

1

12

17

10

25

18

3

2

22

20


À partir de ce carré, on peut construire d’autres carrés magiques

· en déplaçant seulement les éléments dans le petit carré ;

· en déplaçant seulement les éléments dans la bordure périphérique ;

· en déplaçant les éléments des deux régions en même temps.

 

8. À partir d’un carré magique
Comme dans les carrés magiques d’ordres 3 et 4, à partir d’un carré magique, il est possible de composer de nouveaux carrés magiques. Voici trois façons de le faire :

8.1 Par rotation
En faisant tourner les éléments d’un carré magique de 90, 180 ou 270 degrés autour de la case centrale, on peut obtenir un autre carré magique qui est dit équivalent au premier. Le second carré ci-après provient d’une rotation de 90 degrés dans le sens horaire à partir du premier.

23

10

2

16

14

 

15

17

1

9

23

9

3

20

12

21

 

22

11

19

3

10

1

19

13

25

7

 

6

24

13

20

2

17

11

24

8

5

 

4

8

25

12

16

15

22

6

4

18

 

18

5

7

21

14

Les deux diagonales sont interverties.

8.2 Par symétrie axiale
On conserve les éléments de la troisième rangée verticale du premier carré ci-après dans leur position. Cette rangée joue alors le rôle d’un axe de symétrie. On intervertit les éléments correspondants par ligne : de la première à la cinquième colonne et de la deuxième à la quatrième colonne et réciproquement. On obtient le second carré magique qui est dit équivalent à celui qui l’a engendré.

11

24

7

20

3

 

3

20

7

24

11

4

12

25

8

16

 

16

8

25

12

4

17

5

13

21

9

 

9

21

13

5

17

10

18

1

14

22

 

22

14

1

18

10

23

6

19

2

15

 

15

2

19

6

23

Les deux diagonales sont interverties.

8.3 Pour une somme de 26
Connaissant un carré magique, on soustrait de 26 chacun de ces éléments. Le second carré est obtenu à partir du premier.

23

10

2

16

14

 

3

16

24

10

12

9

3

20

12

21

 

17

23

6

14

5

1

19

13

25

7

 

25

7

13

1

19

17

11

24

8

5

 

9

15

2

18

21

15

22

6

4

18

 

11

4

20

22

8

 

9. Une table d’addition
On peut construire des carrés magiques non normaux en générant les éléments par la table d’addition. Les nombres à additionner sont choisis horizontalement et verticalement de telle manière que chaque suite a une même raison. Voici une telle table dans laquelle la suite horizontale est 1, 3, 5, 7, 9 et la suite verticale est 2, 5, 8, 11, 14 :

 

1

3

5

7

9

2

3

5

7

9

11

5

6

8

10

12

14

8

9

11

13

15

17

11

12

14

16

18

20

14

15

17

19

21

23

On distribue les éléments en ordre en ayant comme modèle un carré magique normal ou en adoptant un procédé illustré précédemment. Dans l’illustration suivante, le carré de gauche sert de modèle. Par exemple, 3 est placé au lieu du 1 du premier carré, 5 au lieu du 2, 7 au lieu du 3, etc.

 

3

16

24

10

12

 

7

12

21

14

11

17

23

6

14

5

 

14

19

6

15

11

25

7

13

1

19

 

23

8

13

3

18

9

15

2

18

21

 

12

17

5

16

15

11

4

20

22

8

 

9

9

20

17

10

La densité du carré de droite est 65 comme dans un carré magique normal.

 

10. Des suites arithmétiques
Un procédé semblable au dernier consiste à composer cinq suites qui forment aussi des suites verticalement. Au départ, on choisit cinq nombres qui forment une suite, comme 1, 2, 3, 4, 5. Pour trouver les quatre autres suites, on additionne les termes de toute suite précédente par un même nombre, par exemple 6. On peut obtenir les 25 termes suivants répartis dans cinq suites.

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

13

14

15

16

17

19

20

21

22

23

25

26

27

28

29

On distribue les éléments en ordre en ayant comme modèle un carré magique normal ou en adoptant un procédé illustré. Le carré magique suivant est formé en appliquant le procédé de La Loubère illustré précédemment.

20

28

1

9

17

27

5

8

16

19

4

7

15

23

26

11

14

22

25

3

13

21

29

2

10

La densité de ce carré magique est 75.

 

11. Choix des éléments
On peut choisir 25 éléments qui vont former un carré magique de la façon suivante :

• On écrit un premier élément.

• On additionne 4 et on écrit deux éléments consécutifs.

• On additionne 3 au dernier élément et on écrit trois éléments consécutifs.

• On additionne 2 et on écrit quatre éléments consécutifs.

• On additionne 1 et on écrit cinq éléments consécutifs.

• On additionne 1 et on écrit quatre éléments consécutifs.

• On additionne 2 et on écrit trois éléments consécutifs.

• On additionne 3 et on écrit deux éléments consécutifs.

• On additionne 4 et on écrit un élément.

Cela donne l’ensemble suivant :

1

 

 

 

 

5

6

 

 

 

9

10

11

 

 

13

14

15

16

 

17

18

19

20

21

22

23

24

25

 

27

28

29

 

 

32

33

 

 

 

37

 

 

 

 

On distribue les éléments en cinq suites arithmétiques.

1

5

9

13

17

6

10

14

18

22

11

15

19

23

27

16

20

24

28

32

21

25

29

33

37

En appliquant le procédé de La Loubère, on obtient le carré magique suivant dont la densité est 95.

20

33

1

14

27

29

17

10

23

16

13

6

19

32

25

22

15

28

21

9

11

24

37

5

18

On peut obtenir d’autres groupes de nombres qui vont permettre de former d’autres carrés magiques. Voici une façon de distribuer des nombres :

1

 

 

 

 

6

7

 

 

 

11

12

13

 

 

16

17

18

19

 

21

22

23

24

25

27

28

29

30

 

33

34

35

 

 

39

40

 

 

 

45

 

 

 

 

On obtient ainsi le carré magique suivant dont la densité est 115.

24

40

1

17

33

35

21

12

28

19

16

7

23

39

30

27

18

34

25

11

13

29

45

6

22

 

12. Opérations sur les carrés magiques
Comme pour tout carré magique, on peut produire des carrés magiques d’ordre 5 par l’addition ou par la soustraction, par la multiplication ou par la division d’un même nombre à tous les éléments d’un carré magique existant. On peut aussi faire l’addition ou la soustraction de deux carrés magiques. Voici un exemple dans lequel le second carré est formé en additionnant 5 aux éléments du premier carré :

23

6

19

2

15

 

28

11

24

7

20

4

12

25

8

16

 

9

17

30

13

21

10

18

1

14

22

 

15

23

6

19

27

11

24

7

20

3

 

16

29

12

25

8

17

5

13

21

9

 

22

10

18

26

14

 

13. Un carré magique général
Un carré magique général est un carré composé de lettres qui permettent la formation de carrés magiques par l’attribution d’une valeur arbitraire à chaque lettre. On peut utiliser les éléments suivants pour former un carré magique général.

0

a

2a

3a

4a

b

a + b

2a + b

3a + b

4a + b

2b

a + 2b

2a + 2b

3a + 2b

4a + 2b

3b

a + 3b

2a + 3b

3a + 3b

4a + 3b

4b

a + 4b

2a + 4b

3a + 4b

4a + 4b

En appliquant le procédé de La Loubère, on peut composer ce carré magique général dont la densité est 10(a + b).

a + 3b

3a + 4b

0

2a + b

4a + 2b

2a + 4b

4a

a + b

3a + 2b

3b

3a

b

2a + 2b

4a + 3b

a + 4b

4a + b

a + 2b

3a + 3b

4b

2a

2b

2a + 3b

4a + 4b

a

3a + b

Par exemple, si a = 2 et b = 5, on aura le carré magique suivant dont la densité est 70.

17

26

0

9

18

24

8

7

16

15

6

5

14

23

22

13

12

21

20

4

10

19

28

2

11

En additionnant tout nombre à chaque élément, on obtient autant de carrés magiques.

 

14. Un carré magique général à compartiments
On peut former un carré original en partageant le carré en deux compartiments. L’une des régions est un carré d’ordre 3 situé au centre et l’autre est la périphérie du carré interne.

a + 2b

-4a - 2b

-2a - 2b

3a + b

2a + b

4a + 3b

a

-a - b

b

-4a - 3b

-4a - b

-a + b

0

a - b

4a + b

a - 3b

-b

a + b

-a

-a + 3b

-2a - b

4a + 2b

2a + 2b

-3a - b

- a - 2b

Si a = 1 et b = 4, le carré original est :

9

-12

-10

7

6

16

1

-5

4

-16

-8

3

0

-3

8

-11

-4

5

-1

11

-6

12

10

-7

-9

On peut additionner tout nombre arbitraire supérieur à 16 à chacun des éléments pour obtenir un carré magique composé d’entiers naturels. Par exemple, si on additionne 17, on aura ce carré magique dont la densité est 85.

26

5

7

24

23

33

18

12

21

1

9

20

17

14

25

6

13

22

16

28

11

29

27

10

8

 

Problèmes

Ö Problème 1. Formez un carré magique selon le procédé de Bachet en prenant l’ensemble des nombres pairs de 2 à 50. Les solutions sont données à la fin.

Ö Problème 2. Construisez un carré magique normal en appliquant le procédé de La Loubère. Au lieu de partir de la case centrale de la première ligne, placez le 1 dans la case qui est à l’intersection de la cinquième ligne et de la quatrième colonne.

Ö Problème 3. Construisez un carré magique normal en appliquant le procédé du cavalier. Partez de la case qui est à l’intersection de la troisième ligne et de la première colonne.

Ö Problème 4. Formez un carré latin avec les nombres 0, 5, 10, 15 et 20. Additionnez ce carré au carré latin ci-après de façon à former un carré magique normal.

3

5

2

4

1

4

1

3

5

2

5

2

4

1

3

1

3

5

2

4

2

4

1

3

5

Ö Problème 5. Composez un carré magique normal d’ordre 5 lorsque le carré interne d’ordre 3 est magique et contient les nombres 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 et 21.

Ö Problème 6. À partir du carré magique général ci-après, formez un carré magique si a = 1, b = 2 et c = 5.

a + 2c

a + 4b + c

a + 3b

a + 2b + 4c

a + b + 3c

a + 2b + 3c

a + b + 2c

a + c

a + 4b

a + 3b + 4c

a + 4b + 4c

a + 3b + 3c

a + 2b + 2c

a + b + c

a

a + b

a + 4c

a + 4b + 3c

a + 3b + 2c

a + 2b + c

a + 3b + c

a + 2b

a + b + 4c

a + 3c

a + 4b + 2c

Ö Problème 7. Formez un carré magique d’ordre 5 avec les éléments de cet ensemble : {1, 7, 8, 13, 14, 15, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 39, 40, 41, 46, 47, 53}.

 

Solutions
Solution 1. Voici le carré magique :

6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46


Solution 2. Voici le carré magique :

16

23

5

7

14

22

4

6

13

20

3

10

12

19

21

9

11

18

25

2

15

17

24

1

8


Solution 3. Voici un carré magique :

19

2

15

23

6

25

8

16

4

12

1

14

22

10

18

7

20

3

11

24

13

21

9

17

5


Solution 4. Le carré latin est donné à gauche et le carré magique à droite.

15

20

0

5

10

 

18

25

2

9

11

20

0

5

10

15

 

24

1

8

15

17

0

5

10

15

20

 

5

7

14

16

23

5

10

15

20

0

 

6

13

20

22

4

10

15

20

0

5

 

12

19

21

3

10


Solution 5. Voici un carré magique :

10

20

25

2

8

3

19

5

15

23

22

9

13

17

4

12

11

21

7

14

18

6

1

24

16

 

Solution 6. Le carré magique est :

11

14

7

25

18

20

13

6

9

27

29

22

15

8

1

3

21

24

17

10

12

5

23

16

19

 

Solution 7. En appliquant le procédé de La Loubère, on peut former le carré magique suivant.

28

47

1

20

39

41

25

14

33

22

19

8

27

46

35

32

21

40

29

13

15

34

53

7

26