Compte tenu du grand nombre de combinaisons, il vaut mieux adopter d’autres procédés.

2. Le procédé de Bachet
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) mit au point un procédé de construction, lequel d’ailleurs s’applique à tous les carrés magiques d’ordre impair. Voici comment on procède :

• On trace une grille 5 ´ 5.

• On ajoute deux rangées de cases parallèles aux quatre côtés du carré.

• On écrit les entiers de 1 à 25 en les disposant successivement en des rangées obliques comme ceci :

• On ramène à l’intérieur du carré les nombres placés à l’extérieur, selon les deux règles suivantes :

1. Tout nombre extérieur est ramené à l’intérieur dans la même ligne ou dans la même colonne. Par exemple, 1 demeure dans la troisième ligne du carré 5 ´ 5.

2. Le lieu de chaque nombre extérieur est déplacé à l’intérieur du carré ainsi.

En respectant ces règles, on obtient le carré magique suivant :

1. Le 1 est placé dans la case centrale de la première ligne.

2. Chaque élément suivant est placé dans la colonne voisine à droite sur la ligne supérieure.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré magique,

· Tout élément supérieur à la première ligne est placé sur la cinquième ligne dans la même colonne.

· Tout élément à droite de la cinquième colonne est placé dans la première colonne sur la même ligne.

4. Lorsque le lieu approprié est déjà occupé, on place l'élément sous le dernier nombre inscrit. Cela s’applique après 5, 10, 15 et 20.

Voici le carré magique obtenu selon ce procédé :

1. Le 1 est placé dans la case centrale du carré.

2. Chaque élément suivant est placé selon le saut du cavalier dans la colonne voisine de droite vers le haut.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré magique, soit 

• sur la première ligne extérieure. On déplace l’élément dans la même colonne sur la quatrième ligne.

• sur la deuxième ligne extérieure. On déplace l’élément dans la même colonne sur la cinquième ligne.

• sur la colonne extérieure. On déplace l’élément sur la même ligne dans la première colonne.

4. Lorsque le lieu approprié est déjà occupé, on place l'élément sous le dernier nombre inscrit.

Voici le carré magique obtenu selon ce procédé :

Pour le premier carré, on écrit la suite 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. Sur chaque autre ligne, on écrit 1 en respectant le saut horizontal du cavalier. On complète chaque ligne en écrivant la suite de façon circulaire.

Pour le second carré, on écrit la suite 0, 20, 15, 10, 5 sur la première ligne. Sur chaque autre ligne, on écrit 0 en respectant un saut horizontal faisant une case de plus que celui du cavalier. On complète chaque ligne en écrivant la suite de façon circulaire.

On fait la somme des éléments correspondants. On obtient ainsi un carré magique normal.

On peut former d’autres carrés magiques en utilisant les mêmes éléments répartis autrement.

6. Un carré original
Un carré est dit original si l’élément central est 0 et si la somme des éléments de chacune des rangées est 0. Voici comment on peut procéder pour former un carré original d’ordre 5 :

• On écrit 0 au centre du carré.

• On complète la diagonale de gauche avec 5, 10 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la diagonale de droite avec 1, 2 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la ligne centrale avec 6, 12 et l’inverse additif de chaque élément.

• On complète la colonne centrale avec 7, 11 et l’inverse additif de chaque élément.

• Les éléments manquants sur la périphérie sont 3, 4, 8, 9 et leur inverse additif.

On peut former ainsi le carré original de gauche. On additionne 13 à chacun des éléments. On obtient le carré magique normal de droite.

On peut modifier le signe de chacun des éléments du carré de gauche ci-dessus. On obtient un autre carré magique normal.

La somme des éléments case par case des deux carrés de droite ci-dessus est 26.

7. Un carré magique à bordures
Pour former un carré magique à bordures, on délimite un carré magique 3 ´ 3 au centre. Dans ce carré, on place les entiers consécutifs de 9 à 17. La densité de ce carré est 39. Comme la densité d’un carré magique 5 ´ 5 est 65, on soustrait 39 de 65. Le résultat est 26. On fait les combinaisons des entiers qui restent dont la somme est 26. On place ces combinaisons dans les rangées périphériques. Voici un exemple de carré magique :

À partir de ce carré, on peut construire d’autres carrés magiques

· en déplaçant seulement les éléments dans le petit carré ;

· en déplaçant seulement les éléments dans la bordure périphérique ;

· en déplaçant les éléments des deux régions en même temps.

8. À partir d’un carré magique
Comme dans les carrés magiques d’ordres 3 et 4, à partir d’un carré magique, il est possible de composer de nouveaux carrés magiques. Voici trois façons de le faire :

8.1 Par rotation
En faisant tourner les éléments d’un carré magique de 90, 180 ou 270 degrés autour de la case centrale, on peut obtenir un autre carré magique qui est dit équivalent au premier. Le second carré ci-après provient d’une rotation de 90 degrés dans le sens horaire à partir du premier.

Les deux diagonales sont interverties.

8.2 Par symétrie axiale
On conserve les éléments de la troisième rangée verticale du premier carré ci-après dans leur position. Cette rangée joue alors le rôle d’un axe de symétrie. On intervertit les éléments correspondants par ligne : de la première à la cinquième colonne et de la deuxième à la quatrième colonne et réciproquement. On obtient le second carré magique qui est dit équivalent à celui qui l’a engendré.

Les deux diagonales sont interverties.

8.3 Pour une somme de 26
Connaissant un carré magique, on soustrait de 26 chacun de ces éléments. Le second carré est obtenu à partir du premier.

On distribue les éléments en ordre en ayant comme modèle un carré magique normal ou en adoptant un procédé illustré précédemment. Dans l’illustration suivante, le carré de gauche sert de modèle. Par exemple, 3 est placé au lieu du 1 du premier carré, 5 au lieu du 2, 7 au lieu du 3, etc.

La densité de ce carré magique est 75.

11. Choix des éléments
On peut choisir 25 éléments qui vont former un carré magique de la façon suivante :

• On écrit un premier élément.

• On additionne 4 et on écrit deux éléments consécutifs.

• On additionne 3 au dernier élément et on écrit trois éléments consécutifs.

• On additionne 2 et on écrit quatre éléments consécutifs.

• On additionne 1 et on écrit cinq éléments consécutifs.

• On additionne 1 et on écrit quatre éléments consécutifs.

• On additionne 2 et on écrit trois éléments consécutifs.

• On additionne 3 et on écrit deux éléments consécutifs.

• On additionne 4 et on écrit un élément.

Cela donne l’ensemble suivant :

On distribue les éléments en cinq suites arithmétiques.

On peut obtenir d’autres groupes de nombres qui vont permettre de former d’autres carrés magiques. Voici une façon de distribuer des nombres :

On obtient ainsi le carré magique suivant dont la densité est 115.

En appliquant le procédé de La Loubère, on peut composer ce carré magique général dont la densité est 10(a + b).

En additionnant tout nombre à chaque élément, on obtient autant de carrés magiques.

14. Un carré magique général à bordures
On peut former un carré original en partageant le carré en deux régions. L’une des régions est un carré d’ordre 3 situé au centre et l’autre est la périphérie du carré interne.

Si a = 1 et b = 4, le carré original est :

On peut additionner tout nombre arbitraire supérieur à 16 à chacun des éléments pour obtenir un carré magique composé d’entiers naturels. Par exemple, si on additionne 17, on aura ce carré magique dont la densité est 85.

Ö Problème 2. Construisez un carré magique normal en appliquant le procédé de La Loubère. Au lieu de partir de la case centrale de la première ligne, placez le 1 dans la case qui est à l’intersection de la cinquième ligne et de la quatrième colonne.

Ö Problème 3. Construisez un carré magique normal en appliquant le procédé du cavalier. Partez de la case qui est à l’intersection de la troisième ligne et de la première colonne.

Ö Problème 4. Formez un carré latin avec les nombres 0, 5, 10, 15 et 20. Additionnez ce carré au carré latin ci-après de façon à former un carré magique normal.

Ö Problème 5. Composez un carré magique normal d’ordre 5 lorsque le carré interne d’ordre 3 est magique et contient les nombres 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 et 21.

Ö Problème 6. À partir du carré magique général ci-après, formez un carré magique si a = 1, b = 2 et c = 5.

Solution 2. Voici le carré magique :

Solution 3. Voici un carré magique :

Solution 4. Le carré latin est donné à gauche et le carré magique à droite.

Solution 5. Voici un carré magique :