° Nombre icosaédrique – Nombre figuré qui est engendré par un icosaèdre. Les nombres icosaédriques de dimensions 2, 3, 4 et 5 sont définis.

n Nombre gnomonique icosaédrique ou icosaédrique D2
Nombre plan ou de dimension 2 qui est représenté par le gnomon d’un icosaédrique D3. Tout nombre de cette classe est la différence de deux icosaédriques D3successifs. Le terme général est (15n² - 25n + 12)/2. Les 29 plus petits gnomoniques icosaédriques sont 

Un nombre est un gnomonique icosaédrique si, lui ayant soustrait 6 et ayant divisé le résultat par 5, on peut décomposer le double du quotient en deux facteurs : un entier et le triple de l’entier moins 5. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne 15 fois son rang et on soustrait 5. Par exemple, 936 est un gnomonique icosaédrique car (936 - 6)/5 × 2 = 12 × 31. Il est au rang 12. Son successeur est : 936 + (15 × 12) - 5 = 1111. 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de quatre chiffres : 1166.

La somme des n premiers gnomoniques icosaédriques est un icosaédrique D3 de rang n.

La différence de deux gnomoniques icosaédriques successifs est un multiple de 5.

Tout gnomonique icosaédrique est la différence de deux icosaédriques successifs.

L’ensemble des gnomoniques icosaédriques forme une suite arithmétique de degré 2.

n Nombre icosaédrique ou icosaédrique D3
Nombre polyédrique qui est engendré par un icosaèdre régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est n fois le centré D2 pentagonal de même rang. Le terme général est n(5n² - 5n + 2)/2. Les 29 plus petits icosaédriques D3 sont :

Un nombre est icosaédrique D3 si on peut décomposer son double en deux facteurs : un entier et le quintuple produit de cet entier et de son prédécesseur plus 2. Le rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on multiplie le rang suivant par le centré pentagonal D2 de ce rang. Par exemple, 1128 est un icosaédrique car 1128 × 2 = 8 × (5 × 8 × 7 + 2). Il est au rang 8. Son successeur est 9 × 181 = 1629. 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 12 845 628 906 234 067 840.

La somme des n premiers icosaédriques est un hypericosaédrique de rang n.

Tout icosaédrique est la différence de deux hypericosaédriques successifs.

L’ensemble des icosaédriques forme une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre hypericosaédrique ou icosaédrique D4
Nombre polyédrique de dimension 4 qui est engendré par un icosaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers icosaédriques. Le terme général est n(15n³ + 10n² - 3n + 2)/24. Les 29 plus petits hypericosaédriques sont :

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

Les chiffres des unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n premiers hypericosaédriques est un icosaédrique D5 de rang n.

La différence de deux hypericosaédriques successifs est un icosaédrique.

Tout hypericosaédrique est la différence de deux icosaédriques D5 successifs.

L’ensemble des hypericosaédriques forme une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre icosaédrique D5
Nombre polyédrique de dimension 5 qui est engendré par un icosaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers hypericosaédriques. Les 10 plus petits icosaédriques D5 sont : 1, 14, 75, 260, 700, 1596, 3234, 6000, 10 395 et 17 050. Les différences successives des suites à partir de la suite des icosaédriques D5 sont :

© Charles-É. Jean

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