Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre de Mersenne

Mersenne, Marin (1588-1648)

° Nombre de Mersenne – Entier naturel de la forme (2^p - 1) où p est un entier naturel. Le nom de Mersenne qui était théologien et mathématicien français resta lier à cette classe de nombres à cause d’une conjecture qu’il a faite en 1644. Il affirmait que les nombres de la forme (2^p - 1) sont premiers. lorsque p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu’ils sont composés pour toute autre valeur de n inférieure à 257. D’après le deuxième tableau ci-après, on constate que pour n = 67 et 257 le nombre n’est pas premier et qu’il l’est pour 61, 89 et 107, nombres omis par Euler. Voici les 20 plus petits nombres de Mersenne avec des indications sur leur propriété d’être premier ou composé :

Rang	2^p - 1	Nombre	Premier ou composé
1	2¹ - 1	1	-
2	2² - 1	3	Nombre premier
3	2³ - 1	7	Nombre premier
4	2⁴ - 1	15	3 × 5
5	2⁵ - 1	31	Nombre premier
6	2⁶ - 1	63	3² × 7
7	2⁷ - 1	127	Nombre premier
8	2⁸ - 1	255	3 × 5 × 17
9	2⁹ - 1	511	7 × 73
10	2¹⁰ - 1	1023	3 × 11 × 31
11	2¹¹ - 1	2047	23 × 89
12	2¹² - 1	4095	3² × 5 × 7 × 13
13	2¹³ - 1	8191	Nombre premier
14	2¹⁴ - 1	16 383	3 × 43 × 127
15	2¹⁵ - 1	32 767	7 × 31 × 151
16	2¹⁶ - 1	65 535	3 × 5 × 17 × 257
17	2¹⁷ - 1	131 071	Nombre premier
18	2¹⁸ - 1	262 143	3³ × 7 × 19 × 73
19	2¹⁹ - 1	524 287	Nombre premier
20	2²⁰ - 1	1 048 575	3 × 5² × 11 × 31 × 41

Un nombre de Mersenne de rang n est égal à la somme des puissances successives de 2 où p varie de 0 à (n - 1). Ainsi, le nombre de Mersenne de rang 5 est 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ = 31. En base 2, les nombres de Mersenne sont constitués de p chiffres 1, soit, dans l’ordre, 1₂, 11₂, 111₂, 1111₂, 11 111₂, 111 111₂, etc. Ces nombres composés d’un seul 1 sont appelés nombres uniformes U1. Le nombre de l’échiquier est un nombre de Mersenne.

Une condition nécessaire pour qu'un nombre de Mersenne soit premier est que la puissance p soit première. Avant 1952, on connaissait 12 nombres premiers de Mersenne. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. Depuis ce temps, 30 autres ont été découverts. Voici les 48 nombres premiers de Mersenne connus en 2013, l’année de leur découverte et leurs auteurs :

Rang	p	2^p - 1	Année	Auteur
1	2	3	Antiquité	Mentionné par Euclide
2	3	7	Antiquité	Mentionné par Euclide
3	5	31	Antiquité	Mentionné par Euclide
4	7	127	Antiquité	Mentionné par Euclide
5	13	8191	1461	Reguis, Pietro Cataldi
6	17	131 071	1588	Pietro Cataldi
7	19	524 287	1588	Pietro Cataldi
8	31	10 chiffres	1772	Leonhard Euler
9	61	19 chiffres	1883	I. M. Pervouchine
10	89	27 chiffres	1911	R. E. Powers
11	107	33 chiffres	1914	R. E. Powers
12	127	39 chiffres	1876	Édouard Lucas
13	521	157 chiffres	1952	Raphael M. Robinson
14	607	183 chiffres	1952	Raphael M. Robinson
15	1 279	386 chiffres	1952	Raphael M. Robinson
16	2 203	664 chiffres	1952	Raphael M. Robinson
17	2 281	687 chiffres	1952	Raphael M. Robinson
18	3 217	969 chiffres	1957	Hans Riesel
19	4 253	1 281 chiffres	1961	Alexander Hurwitz
20	4 423	1 332 chiffres	1961	Alexander Hurwitz
21	9 689	2 917 chiffres	1963	Donald B. Gillies
22	9 941	2 993 chiffres	1963	Donald B. Gillies
23	11 213	3 376 chiffres	1963	Donald B. Gillies
24	19 937	6 002 chiffres	1971	Bryant Tuckerman
25	21 701	6 533 chiffres	1978	Laura Nickel, Curt Noll
26	23 209	6 987 chiffres	1979	Curt Noll
27	44 497	13 395 chiffres	1979	Harry L. Nelson, D. Slowinski
28	86 243	25 962 chiffres	1982	David Slowinski
29	110 503	33 265 chiffres	1988	Luther Welsh, Walter Colquitt
30	132 049	39 751 chiffres	1983	David Slowinski
31	216 091	65 050 chiffres	1985	David Slowinski
32	756 839	227 832 chiffres	1992	David Slowinski, Paul Gage
33	859 433	258 716 chiffres	1994	David Slowinski, Paul Gage
34	1 257 787	378 632 chiffres	1996	David Slowinski, Paul Gage
35	1 398 269	420 921 chiffres	1996	Joel Armengaud et al.
36	2 976 221	895 932 chiffres	1997	Gordon Spence et al.
37	3 021 377	909 526 chiffres	1998	Roland Clarkson et al.
38	6 972 593	2 098 960 chiffres	1999	Nayan Hajratwala et al.
39	13 466 917	4 053 946 chiffres	2001	Michael Cameron et al.
40	20 996 011	6 320 430 chiffres	2003	Michael Shafer et al.
41	24 036 583	7 235 733 chiffres	2004	Josh Findley et al.
42	25 964 951	7 816 230 chiffres	2005	Martin Nowak et al.
43	30 402 457	9 152 052 chiffres	2005	Curtis Cooper et al.
44	32 582 657	9 808 358 chiffres	2006	Curtis Cooper et al.
45	37 156 667	11 185 272 chiffres	2008	Hans-Michael Elvenich et al.
46	42 643 801	12 837 064 chiffres	2009	Odd Magnar Strindmo et al.
47	43 112 609	12 978 189 chiffres	2008	Edson Smith et al.
48	57 885 161	17 425 170 chiffres	2013	Curtis Cooper et al.

Pour trouver combien un nombre de Mersenne a de chiffres, on prend la valeur de p et on la multiplie par log 2 = 0,30103 ... Si p est égal à 40, on fait : 20 996 011 × 0,30103 ... = 6 320 430.

Tout nombre premier de Mersenne engendre un nombre parfait.

Index : P

Voir :

Nombre aliquote

Nombre étrange

Nombre presque parfait

Nombre superabondant