Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre premier

Premier

° Nombre premier. – Nombre naturel supérieur à 1 qui a deux diviseurs : 1 et lui-même. Voici les 99 plus petits nombres premiers :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
		2	3	5	7	11	13	17	19	23
1	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
2	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
3	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
4	173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
5	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
6	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
7	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
8	409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
9	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523

Dans le passé, plusieurs tables de nombres premiers ont été établies dont une donnant tous les nombres premiers inférieurs à 100 millions. Plusieurs problèmes concernant ces nombres sont sans réponse. En voici quelques-uns :

Y a-t-il une formule qui donnerait automatiquement tous les nombres premiers et seulement eux ?

Quel est le pourcentage de nombres premiers dans un intervalle numérique donné ?

Quel est le plus grand couple de jumeaux premiers ?

Quel est le plus grand nombre de Fibonacci qui est premier ?

Y a-t-il une infinité de nombres uniformes formés de 1 qui sont premiers ?

Tout pair supérieur à 2 peut-il s’écrire comme la somme de deux nombres premiers ? (conjecture de Goldbach)

Tout entier impair supérieur à 7 peut-il s’écrire comme la somme de trois nombres premiers ? (conjecture de Goldbach)

Le tableau suivant donne 26 polynômes qui fournissent un nombre fini de premiers. Les valeurs de n proviennent de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (N. J. A. Sloane). Le numéro de séquence est indiqué à droite.

Binômes

Valeurs de n

Sloane

3n + 1

2, 4, 6, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 26, 32, 34, 36, 42, 46, 50, 52, 54, 60, 64, 66, 70, 74, 76

A024892

3n + 2

0, 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 33, 35, 37, 43, 45, 49, 55, 57, 59, 63, 65, 75

A024893

4n + 1

1, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18, 22, 24, 25, 27, 28, 34, 37, 39, 43, 45, 48, 49, 57, 58, 60, 64

A005098

4n + 3
0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52 A095278

5n - 3

1, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 33, 35, 39, 45, 47, 53, 57, 59, 63, 71, 75, 77, 87, 89, 93

A024895

5n - 2

1, 3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 33, 35, 39, 45, 47, 53, 57, 59, 63, 71, 75, 77, 87, 89, 93

A024896

5n + 1

2, 6, 8, 12, 14, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 54, 56, 62, 66, 80, 84, 86, 92, 98, 104

A024894

5n + 4

3, 5, 11, 15, 17, 21, 27, 29, 35, 39, 45, 47, 53, 69, 71, 75, 77, 81, 83, 87, 89, 95, 99

A024897

6n - 1

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 28, 29, 30, 32, 33, 38, 39, 40

A024898

6n + 1

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40

A024899

7n - 5

1, 4, 6, 12, 16, 22, 24, 28, 34, 46, 48, 52, 54, 58, 64, 66, 72, 78, 82, 94, 102, 108, 118

A024904

7n - 4

1, 3, 5, 9, 11, 15, 23, 29, 33, 35, 39, 41, 45, 51, 53, 59, 69, 75, 81, 83, 89, 93, 95, 111

A024903

7n - 2

0, 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 33, 35, 37, 43, 45, 49, 55, 57, 59, 63, 65, 75

A024901

7n + 1

4, 6, 10, 16, 18, 28, 30, 34, 40, 48, 54, 60, 64, 66, 70, 78, 88, 90, 94, 96, 100, 106, 108

A024905

7n + 4

1, 7, 9, 15, 19, 21, 25, 27, 37, 39, 49, 55, 61, 69, 79, 81, 85, 87, 91, 97, 105, 115, 117

A024902

7n + 6

1, 5, 11, 13, 19, 23, 25, 31, 35, 41, 43, 49, 59, 61, 65, 71, 83, 85, 91, 103, 109, 113, 115

A024900

9n - 7

1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 20, 22, 26, 30, 32, 36, 40, 44, 50, 52, 54, 64, 66, 72, 74, 76, 92

A024907

9n - 5

2, 4, 8, 12, 16, 18, 22, 24, 26, 32, 38, 42, 46, 52, 56, 64, 68, 72, 74, 82, 84, 86, 88, 92

A024908

9n - 4

1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 19, 27, 29, 33, 35, 39, 43, 45, 47, 55, 57, 63, 67, 69, 73, 83, 85

A024909

9n - 2

1, 5, 7, 9, 11, 17, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 41, 47, 49, 51, 61, 67, 69, 75, 77, 79, 81, 95

A024910

9n + 1

2, 4, 8, 12, 14, 18, 20, 22, 30, 34, 42, 44, 48, 54, 58, 60, 64, 68, 70, 82, 84, 90, 92, 98

A024906

10n - 7

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 32, 36, 38, 39, 44, 45, 47, 51

A024913

10n - 3

1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 20, 23, 26, 28, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 46, 47, 49, 55

A024914

10n + 1

1, 3, 4, 6, 7, 10, 13, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 28, 31, 33, 40, 42, 43, 46, 49, 52, 54, 57

A024912

n! - 1

3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610,

A002982

n! + 1

0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951

A002981

Le trinôme (n² - n + 41) donne des nombres premiers pour n variant de 0 à 40. La recherche de nombres premiers de plus en plus grands est toujours active, notamment à cause de l'utilité de ces nombres dans l'élaboration de codes de sécurité et de façon générale en cryptographie. On recherche aussi le plus grand premier de Mersenne, des premiers de la forme k ´ 10ⁿ ± 1, de même que de la forme (n! ± 1). Les plus grands premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.

Une curiosité : les 38 premiers chiffres de p forment un nombre premier : 31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841 (Sloane, A005042). DIX, comme nombre romain, est premier ; il vaut 509.

Le tableau suivant donne les 49 plus petits premiers dont la somme des chiffres est aussi un premier.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

2

3

5

7

11

23

29

41

43

1

47

61

67

83

89

101

113

131

137

139

2

151

157

173

179

191

193

197

199

223

227

3

229

241

263

269

281

283

311

313

317

331

4

337

353

359

373

379

397

401

409

421

443

La somme des chiffres d’un nombre premier n’est jamais un multiple de 3. En effet, lorsque la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3, ce nombre est un multiple de 3 et, par conséquent, n’est pas premier.

Des carrés magiques peuvent être construits avec uniquement des nombres premiers. Ce sont des carrés magiques premiers. Un nombre qui n’est pas premier est dit composé.

Index : P

Voir :

Nombre presque premier

Nombre premier absolu

Nombre premier de Chen

Nombre semi-premier

Nombre superpremier

Nombres premiers jumeaux

Voir aussi Nombre premier dans l'Aide-mémoire.