Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre parfait

Parfait

° Nombre parfait. – Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est égale à lui-même. Avant 1952, on connaissait 12 nombres parfaits. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. Depuis ce temps, 30 autres ont été découverts. Voici les 48 nombres parfaits connus en 2013 :

Rang	p	2^p-1(2^p - 1)	Nombre parfait
1	2	2 × 3	6
2	3	4 × 7	28
3	5	16 × 31	496
4	7	64 × 127	8128
5	13	4096 × 8191	33 550 336
6	17	65 536 × 131 071	8 589 869 056
7	19	262 144 × 524 287	137 438 691 328
8	31	1 073 741 824 × 2 147 483 648	2 305 843 008 139 952 128
9	61	2⁶⁰(2⁶¹ - 1)	37 chiffres
10	89	2⁸⁸(2⁸⁹ - 1)	54 chiffres
11	107	2¹⁰⁶(2¹⁰⁷ - 1)	65 chiffres
12	127	2¹²⁶(2¹²⁷ - 1)	77 chiffres
13	521	2⁵²⁰(2⁵²¹ - 1)	314 chiffres
14	607	2⁶⁰⁶(2⁶⁰⁷ - 1)	366 chiffres
15	1 279	2¹²⁷⁸(2¹²⁷⁹ - 1)	770 chiffres
16	2 203	2²²⁰²(2²²⁰³ - 1)	1327 chiffres
17	2 281	2²²⁸⁰(2²²⁸¹ - 1)	1373 chiffres
18	3 217	2³²¹⁶(2³²¹⁷ - 1)	1937 chiffres
19	4 253	2⁴²⁵²(2⁴²⁵³ - 1)	2561 chiffres
20	4 423	2⁴⁴²²(2⁴⁴²³ - 1)	2663 chiffres
21	9 689	2⁹⁶⁸⁸(2⁹⁶⁸⁹ - 1)	5834 chiffres
22	9 941	2⁹⁹⁴⁰(2⁹⁹⁴¹ - 1)	5985 chiffres
23	11 213	2^{11 212}(2^{11 213} - 1)	6751 chiffres
24	19 937	2^{19 936}(2^{19 937} - 1)	12 003 chiffres
25	21 701	2^{21 700}(2^{21 701} - 1)	13 066 chiffres
26	23 209	2^{23 208}(2^{23 209} - 1)	13 973 chiffres
27	44 497	2^{44 496}(2^{44 497} - 1)	26 790 chiffres
28	86 243	2^{86 242}(2^{86 243} - 1)	51 924 chiffres
29	110 503	2^{110 502}(2^{110 503} - 1)	66 530 chiffres
30	132 049	2^{132 048}(2^{132 049} - 1)	79 502 chiffres
31	216 091	2^{216 090}(2^{216 091} - 1)	130 100 chiffres
32	756 839	2^{756 838}(2^{756 839} - 1)	455 663 chiffres
33	859 433	2^{859 432}(2^{859 433} - 1)	517 430 chiffres
34	1 257 787	2^{1 257 786}(2^{1 257 787} - 1)	757 263 chiffres
35	1 398 269	2^{1 398 268}(2^{1 398 269} - 1)	841 842 chiffres
36	2 976 221	2^{2 976 220}(2^{2 976 221} - 1)	1 791 864 chiffres
37	3 021 377	2^{3 021 376}(2^{3 021 377} - 1)	1 819 050 chiffres
38	6 972 593	2^{6 972 592}(2^{6 972 593} - 1)	4 197 919 chiffres
39	13 466 917	2^{13 466 916}(2^{13 466 917} - 1)	8 107 892 chiffres
40	20 996 011	2^{20 996 010}(2^{20 996 011} - 1)	12 640 858 chiffres
41	24 036 583	2^{24 036 582}(2^{24 036 583} - 1)	14 471 465 chiffres
42	25 964 951	2^{25 964 950}(2^{25 964 951} - 1)	15 632 458 chiffres
43	30 402 457	2^{30 402 456}(2^{30 402 457} - 1)	18 304 103 chiffres
44	32 582 657	2^{32 582 656}(2^{32 582 657}- 1)	19 616 714 chiffres
45	37 156 667	2^{37 156 666}(2^{37 156 667}- 1)	22 370 543 chiffres
46	42 643 801	2^{42 643 800}(2^{42 643 801}- 1)	25 674 127 chiffres
47	43 112 609	2^{43 112 608}(2^{43 112 609}- 1)	25 956 377 chiffres
48	57 885 161	2^{57 885 160}(2^{57 885 161}- 1)	115 770 321 chiffres

Ces nombres proviennent de la formule d'Euclide : 2^p-1(2^p - 1) où p et (2^p - 1) sont premiers. Euclide prouva que tout nombre de cette forme est parfait. Euler montra que la formule inclut tous les nombres parfaits pairs.

Voici cinq propriétés concernant les nombres parfaits :

Tout nombre parfait pair est hexagonal et triangulaire.

Le résidu de tout nombre parfait est 1, sauf pour 6.

Tout nombre parfait est la somme d'une suite de cubes impairs consécutifs. Par exemple, 28 = 1³+ 3³, 496 = 1³+ 3³ + 5³ + 7³.

Quand on additionne les fractions dont le numérateur est 1 et dont le dénominateur est tout diviseur, sauf 1, d’un nombre parfait, la somme est toujours l’unité. Soit 28 un nombre parfait, on peut écrire : 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1.

Si P est un nombre parfait et n un entier supérieur à l'unité, alors nP est un nombre abondant. Par exemple, puisque 28 est un parfait, la suite 56, 84, 112, ... est formée d'abondants.

On ne sait pas s’il peut exister un nombre parfait qui soit impair. D'après la définition du nombre multiparfait, on peut considérer un nombre parfait comme un biparfait.

Index : P

Voir :

Nombre aliquote

Nombre de Mersenne

Nombre étrange

Nombre presque parfait

Nombre superabondant