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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Parfait

° Nombre parfait. Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est égale à lui-même. Avant 1952, on connaissait 12 nombres parfaits. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. Depuis ce temps, 30 autres ont été découverts. Voici les 48 nombres parfaits connus en 2013 :

Rang

p

2p-1(2p - 1)

Nombre parfait

1

2

2 × 3

6

2

3

4 × 7

28

3

5

16 × 31

496

4

7

64 × 127

8128

5

13

4096 × 8191

33 550 336

6

17

65 536 × 131 071

8 589 869 056

7

19

262 144 × 524 287

137 438 691 328

8

31

1 073 741 824 × 2 147 483 648

2 305 843 008 139 952 128

9

61

260(261 - 1)

37 chiffres

10

89

288(289 - 1)

54 chiffres

11

107

2106(2107 - 1)

65 chiffres

12

127

2126(2127 - 1)

77 chiffres

13

521

2520(2521 - 1)

314 chiffres

14

607

2606(2607 - 1)

366 chiffres

15

1 279

21278(21279 - 1)

770 chiffres

16

2 203

22202(22203 - 1)

1327 chiffres

17

2 281

22280(22281 - 1)

1373 chiffres

18

3 217

23216(23217 - 1)

1937 chiffres

19

4 253

24252(24253 - 1)

2561 chiffres

20

4 423

24422(24423 - 1)

2663 chiffres

21

9 689

29688(29689 - 1)

5834 chiffres

22

9 941

29940(29941 - 1)

5985 chiffres

23

11 213

211 212(211 213 - 1)

6751 chiffres

24

19 937

219 936(219 937 - 1)

12 003 chiffres

25

21 701

221 700(221 701 - 1)

13 066 chiffres

26

23 209

223 208(223 209 - 1)

13 973 chiffres

27

44 497

244 496(244 497 - 1)

26 790 chiffres

28

86 243

286 242(286 243 - 1)

51 924 chiffres

29

110 503

2110 502(2110 503 - 1)

66 530 chiffres

30

132 049

2132 048(2132 049 - 1)

79 502 chiffres

31

216 091

2216 090(2216 091 - 1)

130 100 chiffres

32

756 839

2756 838(2756 839 - 1)

455 663 chiffres

33

859 433

2859 432(2859 433 - 1)

517 430 chiffres

34

1 257 787

21 257 786(21 257 787 - 1)

757 263 chiffres

35

1 398 269

21 398 268(21 398 269 - 1)

841 842 chiffres

36

2 976 221

22 976 220(22 976 221 - 1)

1 791 864 chiffres

37

3 021 377

23 021 376(23 021 377 - 1)

1 819 050 chiffres

38

6 972 593

26 972 592(26 972 593 - 1)

4 197 919 chiffres

39

13 466 917

213 466 916(213 466 917 - 1)

8 107 892 chiffres

40

20 996 011

220 996 010(220 996 011 - 1)

12 640 858 chiffres

41 24 036 583 224 036 582(224 036 583 - 1) 14 471 465 chiffres
42 25 964 951 225 964 950(225 964 951 - 1) 15 632 458 chiffres

43

30 402 457

230 402 456(230 402 457 - 1)

18 304 103 chiffres

44

32 582 657 232 582 656(232 582 657 - 1) 19 616 714 chiffres

45

37 156 667 237 156 666(237 156 667- 1) 22 370 543 chiffres

46

42 643 801

242 643 800(242 643 801 - 1) 25 674 127 chiffres

47

43 112 609 243 112 608(243 112 609 - 1) 25 956 377 chiffres
48 57 885 161 257 885 160(257 885 161 - 1) 115 770 321 chiffres

Ces nombres proviennent de la formule d'Euclide : 2p-1(2p - 1) où p et (2p - 1) sont premiers. Euclide prouva que tout nombre de cette forme est parfait. Euler montra que la formule inclut tous les nombres parfaits pairs. 

Voici cinq propriétés concernant les nombres parfaits :

Tout nombre parfait pair est hexagonal et triangulaire.

Le résidu de tout nombre parfait est 1, sauf pour 6.

Tout nombre parfait est la somme d'une suite de cubes impairs consécutifs. Par exemple, 28 = 13 + 33, 496 = 13 + 33 + 53 + 73.

Quand on additionne les fractions dont le numérateur est 1 et dont le dénominateur est tout diviseur, sauf 1, d’un nombre parfait, la somme est toujours l’unité. Soit 28 un nombre parfait, on peut écrire : 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1.

Si P est un nombre parfait et n un entier supérieur à l'unité, alors nP est un nombre abondant. Par exemple, puisque 28 est un parfait, la suite 56, 84, 112, ... est formée d'abondants.

On ne sait pas s’il peut exister un nombre parfait qui soit impair. D'après la définition du nombre multiparfait, on peut considérer un nombre parfait comme un biparfait. 

© Charles-É. Jean  

Index : P

Voir : 

Nombre aliquote

Nombre de Mersenne

Nombre étrange

Nombre presque parfait

Nombre superabondant