° Nombre octaédrique. – Nombre figuré qui est engendré par un octaèdre régulier. Les nombres octaédriques de dimensions 2, 3, 4 et 5 sont définis.

n Nombre gnomonique octaédrique ou octaédrique D2
Nombre plan ou de dimension 2 qui est représenté par le gnomon d’un octaédrique. Tout nombre de cette classe est la différence de deux octaédriques D3 successifs. Le terme général est (2n² - 2n + 1). Les 10 plus petits nombres de cette classe sont : 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145 et 181. La suite des gnomoniques octaédriques est la même que celle des centrés D2 carrés.

n Nombre octaédrique ou octaédrique D3. – Nombre polyédrique qui est représenté sous forme d'un octaèdre régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers centrés D2 carrés. Le terme général est n(2n² + 1)/3. Les 29 plus petits octaédriques D3 sont :

Un nombre est octaédrique D3 si on peut décomposer son triple en deux facteurs : un entier et le double du carré de cet entier plus 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré D2 carré de rang suivant. Par exemple, 1156 est un octaédrique car 1156 × 3 = 12 × 289. Son rang est 12. Son successeur est 1156 + 313 = 1469. 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres : 1 694 561 490.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n premiers octaédriques D3 est un hyperoctaédrique de rang n.

La différence de deux octaédriques D3 successifs est un centré D2 carré.

Tout octaédrique D3 est la différence de deux hyperoctaédriques successifs.

L’ensemble des octaédriques D3 forme une suite arithmétique de degré 4.

La suite des octaédriques est la même que celle des centrés D3 carrés. 

n Nombre hyperoctaédrique ou octaédrique D4
Nombre polyédrique de dimension 4 qui est engendré par un octaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers octaédriques D3. Le terme général est n(n + 1)(n² + n + 1)/6. Les 29 plus petits hyperoctaédriques sont :

Un nombre est hyperoctaédrique si on peut décomposer son sextuple en trois facteurs : un entier, l’entier suivant et le produit des deux entiers plus 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne l’octaédrique D3 de rang suivant. Par exemple, 876 est un hyperoctaédrique car 876 × 6 = 8 × 9 × 73. Il est au rang 8. Son successeur est 876 + 489 = 1365. 

Voici quelques propriétés concernant les nombres de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 017 605 126 55 621 506 710.

Les unités sont 0, 1, 2, 5, 6 et 7.

La somme des n premiers hyperoctaédriques est un octaédrique D5 de rang n.

La différence de deux hyperoctaédriques successifs est un octaédrique D3.

Tout hyperoctaédrique est la différence de deux octaédriques D5 successifs.

L’ensemble des hyperoctaédriques forme une suite arithmétique de degré 4.

La suite des hyperoctaédriques est la même que celle des centrés D4 carrés.

n Nombre octaédrique D5
Nombre polyédrique de dimension 5 qui est engendré par un octaèdre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers hyperoctaédriques. Le terme général est n(n + 1)(n³ + 4n² + 6n + 4)/30. Les 10 plus petits octaédriques D5 sont : 1, 8, 34, 104, 259, 560, 1092, 1968, 3333 et 5368. Les différences successives des suites à partir de la suite des octaédriques D5 sont :

La suite des octaédriques D5 est la même que celle des centrés D5 carrés.

© Charles-É. Jean

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