Pythagore (v. 580 - v. 504 av. J.-C.)

° Quadruplet de Pythagore. – Ensemble de quatre entiers tels que la somme des carrés de trois d’entre eux est égale au carré du quatrième. L’équation correspondante est : w² + x² + y² = z². Il existe différents algorithmes permettant de trouver des quadruplets. En voici neuf :

Premier cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z². On donne à w et x des valeurs entières telles que leur somme est impaire. On fait : y = (w² + x² – 1)/2 et z = y + 1. Par exemple, si w = 2 et x = 5, alors y = 14 et z = 15. L’équation est : 2² + 5² + 14² = 15². Le quadruplet est (2, 5, 14, 15). Voici trois autres quadruplets : (2, 3, 6, 7),  (2, 7, 26, 27), (3, 6, 22, 23).

Deuxième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z² et p un entier. On fait : w = p, x = p + 1, y = p(p + 1) et z = y + 1. Par exemple, si p = 3, l’équation est : 3² + 4² + 12² = 13². Le quadruplet est (3, 4, 12, 13). Voici trois autres quadruplets : (4, 5, 20, 21), (5, 6, 30, 31) et (6, 7, 42, 43).

Troisième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z² et p un entier. On fait : w = p, x = p + 3, y = p(p + 3) + 4 et z = y + 1. Par exemple, si p = 3, alors w = 3, x = 6, y = 22 et z = 23. L’équation est : 3² + 6² + 22² = 23². Le quadruplet est (3, 6, 22, 23). Voici trois autres quadruplets : (4, 7, 32, 33), (5, 8, 44, 45) et (6, 9, 58, 59).

Quatrième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z² et p un entier. On fait : w = p, x = p + 5, y = p(p + 5) + 12 et z = y + 1. Par exemple, si p = 3, alors w = 3, x = 8, y = 36 et z = 37. L’équation est : 3² + 8² + 36² = 37². Le quadruplet est (3, 8, 36, 37). Voici trois autres quadruplets : (4, 9, 48, 49), (5, 10, 62, 63) et (6, 11, 78, 79).

Cinquième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z² et p un entier impair. On fait : w = p, x = (p² – 1)/2, y = (p² + x² – 1)/2 et z = y + 1. Par exemple, si p = 5, alors w = 5, x = 12, y = 84 et z = 85. L’équation est : 5² + 12² + 84² = 85². Le quadruplet est (5, 12, 84, 85). Voici trois autres quadruplets : (7, 24, 312, 313), (9, 40, 840, 841) et (11, 60, 1860, 1861).

Sixième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z² et p un entier. On décompose 2p² en deux facteurs premiers entre eux. Ce sont les valeurs de et w et de y. On fait : x = 2p, z = w + y. Par exemple, si p = 5, alors  w = 2, y = 25, x = 10 et z = 27. L’équation est : 2² + 10² + 25² = 27². Le quadruplet est (2, 10, 25, 27). Voici trois autres quadruplets : (2, 6, 9, 11), (2, 18, 81, 83) et (2, 14, 49, 51).

Septième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z². On fait : w = p² + q² – r², x = 2pr, y = 2qr et z = p² + q² + r². On donne des valeurs entières à p, q et r. Soit p = 5, q = 3 et r = 2. Le quadruplet est (12, 20, 30, 38). En divisant par 2, on obtient le quadruplet primitif (6, 10, 15, 19). Voici trois autres quadruplets : (3, 4, 12, 13), (6, 10, 33, 35) et (16, 20, 37, 45).

Huitième cas

Soit l’équation w² + x² + y² = z². On choisit un triplet de Pythagore p² + q² = r². On fait : w = p, x = q, y = (r² – 1)/2 et z = y + 1. Soit le triplet 5² + 12² = 13². On a : w = 5, x = 12, y = 84 et z = 85. Le quadruplet est (5, 12, 84, 85). Voici trois autres quadruplets : (7, 24, 312, 313), (9, 12, 112, 113) et (15, 20, 312, 313).

Neuvième cas

On choisit deux triplets de Pythagore qui contiennent un élément commun, l’un dans un premier membre d’une égalité et l’autre dans le second membre de l’autre égalité. Par exemple, on prend 82 + 152 = 172 et 92 + 122 = 152. En additionnant les deux équations membre à membre et en éliminant 152, on obtient : 82 + 92 + 122 = 172. Le quadruplet est (8, 9, 12, 17). Voici trois autres quadruplets : (7, 24, 60, 65) et (9, 12, 20, 25) et (9, 12, 112, 113).

Par extension, un quadruplet de Pythagore peut être un ensemble de quatre entiers tels que la somme des carrés de deux d’entre eux est égale à la somme des carrés des deux autres. Il existe différents algorithmes permettant de trouver ces quadruplets. En voici quatre :

Premier cas

Soit l’équation : w² + x² = y² + z². On donne à w et y des valeurs entières de parité différente. On fait : z = (y² – w² – 1)/2 et x = z + 1. Soit w = 6 et y = 9. On a : z = 22 et x = 23. L’équation est : 6² + 23² = 9² + 22². Le quadruplet est (6, 23, 9, 22). Voici trois autres quadruplets où w = 6 : (6, 43, 11, 42), (6, 67, 13, 66) et (6, 95, 15, 94).

Deuxième cas

Soit l’équation : w² + x² = y² + z². On donne à w une valeur entière impaire. On fait : z = (w² + 1)/2, x = (z – 1)5/4 et y = (z – 1)3/4. Soit w = 5, z = 13, x = 15 et y = 9. L’équation est : 5² + 15² = 9² + 13². Le quadruplet est (5, 15, 9, 13). Voici trois autres quadruplets : (7, 30, 18, 25), (9, 50, 30, 41) et (11, 75, 45, 61).

Troisième cas

Soit l’équation : w² + x² = y² + z². On donne à w et y des valeurs entières de parité différente où w < y. On fait : x = (y² – w² + 1)/2 et z = x – 1. Soit w = 5 et y = 8. Alors x = 20 et z = 19. L’équation est : 5² + 20² = 8² + 19². Le quadruplet est (5, 20, 8, 19). Voici trois autres quadruplets : (6, 43, 11, 42), (7, 48, 12, 47) et (8, 29, 11, 28).

Quatrième cas

Soit l’équation : w² + x² = y² + z². On donne des valeurs entières à a, b, c et d où a > b > c > d. On fait : w = bc – ad, x = ab + cd, y = ab – cd et z = bc + ad. On suppose que a = 7, b = 5, c = 4 et d = 2. Alors, w = 6, x = 43, y = 27 et z = 34. L’équation est : 6² + 43² = 27² + 34². Le quadruplet est (6, 43, 27, 34). Voici trois autres quadruplets : (9, 57, 27, 51), (11, 45, 39, 25) et (11, 71, 41, 59).

© Charles-É. Jean

Index : P

Aussi appelé quadruplet pythagoricien. 

Voir :  

Nombres pythagoriciens

Quintuplet de Pythagore

Triangle de Pythagore

Triplet de Pythagore