Pythagore (v. 580 - v. 504 av. J.-C.)

° Quintuplet de Pythagore. – Ensemble de cinq entiers tels que la somme des carrés de quatre d’entre eux est égale au carré du cinquième. L’équation correspondante est : v² + w²+ x² + y² = z². Il existe différents algorithmes permettant de trouver des quintuplets. En voici quatre :

Premier cas

Soit l’équation : v² + w² + x² + y² = z². On donne à  v, w et x des valeurs entières telles que leur somme est impaire. On fait : y = (v² + w² + x² – 1)/2 et z = y + 1. Soit v = 2, w = 4 et x = 7. On a : y = 34 et z = 35. L’équation est : 2² + 4² + 7² + 34² = 35². Le quintuplet est (2, 4, 7, 34, 35). Voici trois autres quintuplets : (2, 5, 8, 46, 47), (3, 5, 7, 41, 42) et (4, 5, 8, 52, 53).

Deuxième cas

Soit l’équation : v² + w² + x² + y² = z². On donne à v une valeur entière. On fait : w = v + 1, x = vw, y = x(v² + v + 2)/2 et z = y + 1. Soit v = 2. On a : w = 3, x = 6, y = 24 et z = 25. L’équation est : 2² + 3² + 6² + 24² = 25². Le quintuplet est (2, 3, 6, 24, 25). Voici trois autres quintuplets : (3, 4, 12, 84, 85), (4, 5, 20, 220, 221) et (5, 6, 30, 480, 481).

Troisième cas

Soit l’équation : v² + w² + x² + y² = z². On prend (a, b, c) un triplet de Pythagore où c est impair. On fait : v = a, w = b, x = (c² – 1)/2, y = (x² + 2x)/2 et z = y + 1. Soit le triplet (5, 12, 13). On a : v = 5, w = 12, x = 84, y = 3612 et z = 3613. L’équation est : 5² + 12² + 84² + 3612² = 3613². Le quintuplet est (5, 12, 84, 3612, 3613). Voici trois autres quintuplets : (9, 12, 112, 6384, 6385), (8, 15, 144, 10 512, 10 513) et (7, 24, 312, 48 984, 48 985).

Quatrième cas

Soit l’équation : v² + w² + x² + y² = z². On donne à p, q, r et s des valeurs entières. On fait : v = p2 + q2 + r2  – s2, w = 2ps, x = 2qs, y = 2rs et w = p2 + q2 + r2 + s2. Si p = 2, q = 3, r = 4 et s = 1, on a : 42 + 62 + 8² + 282 = 302. Le quintuplet est (4, 6, 8, 24, 30). Voici trois autres quintuplets : (2, 4, 6, 13, 15), (4, 6, 10, 37, 39) et (4, 12, 16, 22, 30).

Par extension, un quintuplet de Pythagore peut être un ensemble de cinq entiers tels que la somme des carrés de deux d’entre eux est égale à la somme des carrés des trois autres. Il existe différents algorithmes permettant de trouver ces quintuplets. En voici trois :

Premier cas

Soit l’équation : v² + w² = x² + y² + z². On donne à v et w des valeurs entières telles que leur somme est divisible par 3. On fait : p = (v + w)2/3, x = p – w, y = p – v et z = p. Soit v = 4 et w = 5. On a : x = 1, y = 2 et z = 6. L’équation est : 4² + 5² = 1² + 2² + 6². Le quintuplet est (4, 5, 1, 2, 6). Voici trois autres quintuplets : (5, 7, 1, 3, 8), (7, 8, 2, 3, 10) et (8, 13, 1, 6, 14).

Deuxième cas

Soit l’équation : v² + w² = x² + y² + z². On donne à p et v des valeurs entières. On fait : w = v + 3p, x = v + p, y = v + 2p et z = 2p. Soit p = 2 et v = 3. On a : v = 3, w = 9, x = 5, y = 7 et z = 4. L’équation est : 3² + 9² = 5² + 7² + 4². Le quintuplet est (3, 9, 5, 7, 4). Voici trois autres quintuplets : (3, 15, 7, 11, 8), (5, 11, 7, 9, 4) et (5, 14, 8, 11, 6).

Troisième cas

Soit l’équation : v² + w² + x² = y² + z². On donne à v et w des valeurs entières. On fait : x = 2(v + w), y = 2v + w et z = v + 2w. Soit v = 2 et w = 3. On a : x = 10, y = 7 et z = 8. L’équation est : 2² + 3² + 10² = 7² + 8². Le quintuplet est (2, 3, 10, 7, 8). Voici trois autres quintuplets : (3, 7, 20, 13, 17), (4, 7, 22, 15, 18) et (5, 8, 26, 18, 21).

© Charles-É. Jean

Index : P

Aussi appelé quintuplet pythagoricien. 

Voir : 

Nombres pythagoriciens

Quadruplet de Pythagore

Triangle de Pythagore

Triplet de Pythagore