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Pythagore
(v.
580 - v. 504 av. J.-C.)
°
Triplet de Pythagore.
–
Ensemble de trois entiers naturels non nuls tels que la somme des carrés de deux d’entre eux
est égale au carré du troisième. Les trois entiers sont dits nombres
pythagoriciens. Lorsque les trois termes n’ont pas de facteur
commun, le triplet est dit primitif. Voici
une liste de triplets primitifs de Pythagore :
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(3, 4, 5)
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(5, 12, 13)
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(7, 24, 25)
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(8, 15, 17)
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(9, 40, 41)
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(11, 60, 61)
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(12, 35, 37)
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(13, 84, 85)
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(15, 112, 113)
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(16, 63, 65)
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(17, 144, 145)
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(19, 180, 181)
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(20, 21, 29)
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(20, 99, 101)
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(21, 220, 221)
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(23, 264, 265)
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(24, 143, 145)
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(25, 312, 313)
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(27, 364, 365)
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(28, 45, 53)
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(28, 195, 197)
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(29, 420, 421)
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(31, 480, 481)
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(32, 255, 257)
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(33, 56, 65)
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(33, 544, 545)
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(35, 612, 613)
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(36, 77, 85)
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(36, 323, 325)
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(37, 684, 685)
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(39, 80, 89)
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(39, 760, 761)
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(40, 399, 401)
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(41, 840, 841)
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(43, 924, 925)
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(44, 117, 125)
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(44, 483, 485)
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(45, 108, 117)
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(45, 1012, 1013)
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(47, 1104, 1105)
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(48, 55, 73)
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(48, 575, 577)
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(49, 1200, 1201)
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Voici quelques
algorithmes permettant de trouver des triplets (x, y, z) de
Pythagore :
1. Soit a et b
deux entiers choisis arbitrairement, alors x = k(a2
- b2), y = k(2ab), z
= k(a2 + b2),
où k est un entier choisi arbitrairement. Les nombres trouvés sont dits
primitifs si k est égal à l'unité, si a et b sont de
parité différente et n'ont pas de facteur commun. Par exemple, on pose a
= 4, b = 3 et k = 1. Alors, x = 7, y = 24 et z
= 25. Le triplet est (7, 24, 25). Cet algorithme était connu au temps de
Diophante et des anciens Grecs.
2. Lorsque a et b sont
deux entiers tels que 2ab est un carré parfait et que c est égal
à la racine carrée de 2ab, x est égal à (a + c),
y est égal à (b + c) et z à (a + b
+ c). Par exemple, on pose a = 5 et b = 10. Alors, c
= 10. Puis, x = 15, y = 20 et z = 25. Le triplet est (15,
20, 25). Il n’est pas primitif puisqu’il est un multiple de (3, 4, 5).
(Diophante)
3. On prend quatre nombres
successifs de Fibonacci a, b,
c et d. Alors, x = ad, y = 2bc et z
est aussi un nombre de Fibonacci de rang (a + d) ou (b
+ c). En prenant les nombres 5, 8, 13 et 21 qui sont de rangs 5, 6, 7 et
8, on trouve que x = 105, y = 208. Alors, z = 233 : c’est
le nombre de Fibonacci de rang 13. Le triplet est (105, 208, 233).
4. On prend un nombre impair,
par exemple, x = 13. Pour trouver y, on divise ce nombre par 2. On
retient la partie entière. Exemple : 13/2 = 6,5. On retient 6. On
multiplie la partie entière par (x + 1). Exemple : 6 × (13 + 1) =
84. D’où, y = 84. Pour trouver z, on additionne 1 à y.
Par exemple, comme y = 84, z = 85. Le triplet est (13, 84, 85).
5. On donne à z
la valeur d’un nombre centré D2 carré
de rang n. Alors, y = z - 1. Pour trouver x, on
soustrait (n - 1) de y et on divise le résultat par (n -
1). On a les triplets : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41),
(11, 60, 61), (13, 84, 85), (15, 112, 113), etc. Si n = 6, z = 61, y = 60 et x =
(60 - 5)/5 = 11.
6. On prend deux
entiers impairs (ou pairs) consécutifs. Les entiers deviennent les
dénominateurs d’une fraction unitaire. On additionne ces deux fractions. Le
numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue est la mesure des côtés
de l’angle droit. On additionne 2 au dernier résultat pour obtenir l’hypoténuse.
Soit 5 et 7 les deux entiers choisis, on fait 1/5 + 1/7 = 12/35. On a alors 122
+ 352 = 372. Le triplet est (12, 35, 37).
7.
Dans Amusements
mathématiques, en 1749, André-Joseph Penckoucke a présenté le procédé
suivant :
1e
On choisit deux nombres de façon arbitraire, par exemple 4 et 7.
2e
On fait la différence des carrés des deux nombres, soit 72 - 42
= 33. C’est le premier nombre.
3e
On multiplie par 2 le produit des deux nombres, soit 2(4 ´
7) = 56. C’est le deuxième nombre.
4e
On fait la somme des carrés des deux premiers nombres, soit 332 + 562
= 4225 ; on extrait la racine carrée de la somme, qui est 65. C’est le
troisième nombre.
Le
triplet est (33, 56, 65).
© Charles-É. Jean
Index
: P
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Un triplet de Pythagore est aussi appelé triangle pythagoricien.
Les triplets de Pythagore forment une triade.
Voir
:
Nombres
pythagoriciens
Quadruplet de
Pythagore
Quintuplet de Pythagore
Triangle de Pythagore
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