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Pythagoriciens
°
Nombres pythagoriciens. –
Ensemble de trois
entiers naturels
tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du
troisième. Les trois nombres correspondent aux mesures des côtés d'un
triangle rectangle. Un ensemble de trois de ces nombres est appelé triade ou
triplet de Pythagore.
Voici quelques propriétés concernant les nombres pythagoriciens.
Tous les impairs sauf 1 sont pythagoriciens. On le voit dans la colonne des x
du tableau ci-dessous.
Tous les nombres impairement pairs sauf 2 sont pythagoriciens. Si on multiplie
par 2 chacun des triplets du tableau, le premier élément du triplet sera
successivement égal à 6, 10, 14, 18, ...
Tous les nombres pairement pairs sont pythagoriciens En multipliant le triplet
(3, 4, 5) successivement par 2, 3, 4, 5, ... , le deuxième élément sera 8,
12, 16, 20 ...
Dans le tableau suivant, on donne d’abord à x les
valeurs impaires. Pour trouver y, on fait (x2 - 1)/2.
Puis z = y + 1.
|
n |
x |
y |
z |
z - x |
y + z |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
2
= 2 × 12 |
9
= 32 |
|
3 |
5 |
12 |
13 |
8
= 2 × 22 |
25
= 52 |
|
4 |
7 |
24 |
25 |
18
= 2 × 32 |
49
= 72 |
|
5 |
9 |
40 |
41 |
32
= 2 × 42 |
81
= 92 |
|
6 |
11 |
60 |
61 |
50
= 2 × 52 |
121
= 112 |
|
7 |
13 |
84 |
85 |
72
= 2 × 62 |
169
= 132 |
|
8 |
15 |
112 |
113 |
98
= 2 × 72 |
225
= 152 |
|
9 |
17 |
144 |
145 |
128
= 2 × 82 |
289
= 172 |
|
10 |
19 |
180 |
181 |
162
= 2 × 92 |
361
= 192 |
En fonction de n, y = 2n(n - 1),
soit le quadruple d’un nombre triangulaire et z = (2n2
- 2n + 1), soit un nombre centré D2 carré. Si on soustrait x
de z, on obtient (x - 1)2/2. Si on additionne y
et z, on trouve le carré de x. Le tableau suivant est formé à
partir des données du précédent. La valeur de x est le carré des
nombres impairs. La valeur de y est le double du produit de y et
de z du tableau précédent. Puis, z = y + 1.
| n |
x |
y |
z |
z - x |
y + z = x2 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
9 |
40 |
41 |
32 = 2 × 42 |
81 = 92 |
|
3 |
25 |
312 |
313 |
288 = 2 × 122 |
625 = 252 |
|
4 |
49 |
1200 |
1201 |
1152 = 2 × 242 |
2401 = 492 |
|
5 |
81 |
3280 |
3281 |
3200 = 2 × 402 |
6561 = 812 |
|
6 |
121 |
7320 |
7321 |
7200 = 2 × 602 |
14 641 = 1212 |
|
7 |
169 |
14 280 |
14 281 |
14 112 = 2 × 842 |
28 561 = 1692 |
|
8 |
225 |
25 312 |
25 313 |
25 088 = 2 × 1122 |
50 625 = 2252 |
|
9 |
289 |
41 760 |
41 761 |
41 472 = 2 × 1442 |
83 521 = 2892 |
|
10 |
361 |
65 160 |
65 161 |
64 800 = 2 × 1802 |
130 321 = 3612 |
En fonction de n, y = 4n(n - 1)(2n2
- 2n + 1). Si on soustrait x de z, on obtient (x -
1)2/2, qui est deux fois le carré de y du premier tableau. Si
on additionne y et z, on trouve le carré de x. Pour former
le tableau suivant, on prend la valeur de x du premier tableau ; on
l’appelle a. On prend la valeur de y du même tableau ; on
l’appelle b. On fait x = b2 - a2
et y = 2ab. Le z de ce tableau est le carré de z du
premier tableau.
|
n |
x |
y |
z |
z - x |
z - y |
|
1 |
1 |
0 |
1
= 12 |
0 |
1 |
|
2 |
7 |
24 |
25
= 52 |
18
= 32 |
1 |
|
3 |
119
= 17 × 7 |
120 |
169
= 132 |
50
= 2 × 52 |
49
= 72 |
|
4 |
527
= 31 × 17 |
336 |
625
= 252 |
98
= 2 × 72 |
289
= 172 |
|
5 |
1519
= 49 × 31 |
720 |
1681
= 412 |
162
= 2 × 92 |
961
= 312 |
|
6 |
3479
= 71 × 49 |
1320 |
3721
= 612 |
242
= 2 × 112 |
2401
= 492 |
|
7 |
6887
= 97 × 71 |
2184 |
7225
= 852 |
338
= 2 × 132 |
5041
= 712 |
|
8 |
12
319 = 127 × 97 |
3360 |
12
769 = 1132 |
450
= 2 × 152 |
9409
= 972 |
|
9 |
20
447 = 161 × 127 |
4896 |
21
025 = 1452 |
578
= 2 × 172 |
16
129 = 1272 |
|
10 |
32
039 = 199 × 161 |
6840 |
32
761 = 1812 |
722
= 2 × 192 |
25
921 = 1612 |
La valeur de x est le produit de deux termes
successifs de la suite 1, 7, 17, 31, 49, 71, ... dont le terme général est (2n2
- 1). Si on multiplie par 8 tout nombre de cette suite augmenté de 1, on
obtient la suite des carrés pairs dont la base est un multiple de 4. La valeur
de y est le produit de trois entiers consécutifs dont le premier est 2(n
- 1). Si on soustrait x de z, on obtient 2(2n - 1)2.
Si on soustrait y de z, on trouve les carrés de la suite 1, 7,
17, 31, 49, .... En fonction de n, x = (2n2 -
1)(2n2 - 4n + 1). Par ailleurs, (x + 2) sauf
pour n = 1 est la suite des carrés impairs 32, 112,
232, 392, 592, 832,1112,
1432, 1792.
Albert H. Beiler a donné 10 triplets lorsque
48 est pythagoricien. Les voici :
|
n |
x |
y |
z |
z + x |
z - x |
|
1 |
14 |
48 |
50 |
64
= 26 |
36
= 22 × 32 |
|
2 |
20 |
48 |
52 |
72
= 23 × 32 |
32
= 25 |
|
3 |
36 |
48 |
60 |
96
= 25 × 3 |
24
= 23 × 3 |
|
4 |
55 |
48 |
73 |
128
= 27 |
18
= 2 × 32 |
|
5 |
64 |
48 |
80 |
144
= 24 × 32 |
16
= 24 |
|
6 |
90 |
48 |
102 |
192
= 26 × 3 |
12
= 22 × 3 |
|
7 |
140 |
48 |
148 |
288
= 25 × 32 |
8
= 23 |
|
8 |
189 |
48 |
195 |
384
= 27 × 3 |
6
= 2 × 3 |
|
9 |
286 |
48 |
290 |
576
= 26 × 32 |
4
= 22 |
|
10 |
575 |
48 |
577 |
1152
= 27 × 32 |
2 |
On note que les facteurs premiers de (z + x) et
de (z - x) sont 2 et 3, comme de 48 d’ailleurs. Selon Albert H.
Beiler, tous les nombres de la forme 16p où p est un premier
impair, comme 16 × 5 = 80, appartiennent à 10 triplets. Aussi, tous les
nombres de la forme p3q où p et q sont
des premiers impairs, comme 33 × 5 = 135, appartiennent à 10
triplets.
© Charles-É. Jean
Index
: P
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Voir aussi :
Quadruplet
de Pythagore
Quintuplet de Pythagore
Triangle de
Pythagore
Triplet de
Pythagore
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