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Ceci est le 12e livre édité par Récréomath.


Preuves à l'appui
100 récréations

Par Charles-É. Jean


Tous les problèmes sont inédits.

 

Récréations 1 à 50

 

Récréations 51 à 100

 

Solutions 1 à 50 Solutions 51 à 100

 

****************
Récréations
1 à 50
****************

Ce recueil contient 100 récréations pour lesquelles il faut faire une démonstration. Une solution détaillée est donnée pour chaque problème. Les solutions que nous présentons s’appuient, en grande partie, sur les propriétés des nombres et des réseaux.

Nous proposons des problèmes puisés dans diverses classes qui constituent les mathématiques récréatives. Le lecteur pourra développer et appliquer des stratégies qui lui serviront dans d’autres domaines des mathématiques.

Amusez-vous bien.

* * * * * * * * * * * * * * * *

1. Céline roule
Céline veut disposer chacun des nombres de 1 à 9 dans les cases de la roue ci-après. La somme doit être la même sur chaque rayon.

Montrez que toute somme possible est un multiple de 3.

 

2. Bien de Raymond
Raymond a écrit l’addition suivante dans laquelle chaque lettre représente un chiffre différent.

  M O N

+ M E S

     M A

B I E N

Montrez que M + O est égal à 9.

 

3. Suite d’Ariane
La jeune fille d’Ariane se met à compter de 4 en 4. Alors, Ariane s’empresse d’écrire cette suite : 

1, 5, 9, 13, 17, 21, ...

Montrez que tous les carrés impairs se trouvent dans cette suite.

 

4. Doudou d’Éliane
Éliane prend un cavalier le pose sur la case 1 de la grille 4 ´ 4. Elle le déplace comme aux échecs, soit en L.

1

     
       

 

     
       

Montrez qu’un cavalier qui part d’un coin peut parcourir au plus 15 cases.

 

5. Gabarit de Mathieu
Mathieu désire placer chacun des nombres de 1 à 8 dans les cercles de ce gabarit. La somme doit être la même dans chaque rangée de deux ou de trois cercles joints par une droite.

Montrez que la seule somme possible est 12.

 

6. Un nez zen
Malorie fait les deux additions suivantes dans lesquelles chacune des trois lettres correspond à un chiffre différent.

    N E Z

 + Z N E

    E N Z

 + Z E N

Elle soustrait le plus petit résultat du plus grand. Montrez que la différence des deux sommes est un multiple de 9.

 

7. Perles de Roussin
Dans un entrepôt, il y a à perte de vue des caisses de perles sans grande valeur. Dans chaque caisse, la quantité de perles est un nombre élevé à la puissance 4. Roussin désire acheter deux caisses ayant en tout 8764 perles.

Montrez qu’aucun groupe de deux caisses ne peut contenir 8764 perles.

 

8. Un lapin frustré
Magloire dispose 25 roches en un carré 5 ´ 5. Un lapin peut se déplacer d’une roche à une autre voisine horizontalement ou verticalement.

Montrez que le lapin peut fouler toutes les roches mais, ce faisant, ne peut pas terminer sa course au point de départ.

 

9. Triangle dense
Marcelle a préparé le triangle ci-après. Elle veut y placer sept nombres de façon que la somme des nombres de chaque rangée de trois cellules reliées par une droite soit la même.

Montrez que la somme totale des éléments est égale à 7 fois A.

 

10. Hommage à Gardner
Marius a trouvé dans un livre écrit par Martin Gardner la figure ci-après. Les nombres consécutifs de 1 à 19 sont répartis dans autant de cellules. La somme des nombres dans les rangées verticales et obliques de trois, de quatre et de cinq cellules est 38.

Montrez que cette somme est la seule possible.

 

11. Années au centuple
Zoé qui est presque centenaire est impressionnée par le début du 21e siècle. Elle a écrit : 

2002100 + 2003100 + 2004100

Montrez que cette somme n’est pas divisible par 5.

 

12. Vers le bal
Prenez huit jetons marqués TOI, AM et BLE. Placez-les dans la grille de gauche. Faites glisser les jetons sur une case vide horizontalement ou verticalement. À la fin, vous devez obtenir la configuration de droite.

T

O

I

 

B

A

L

A

M

 

 

O

T

E

B

L

E

 

M

I

 

Montrez qu’il est impossible de réaliser cette tâche en 18 mouvements ou moins.

 

13. Horace cause
De sa causeuse, Horace veut écrire les nombres de 1 à 8 dans les cases pour que la somme soit 15 dans chaque rangée de trois ou de quatre cases reliées par une droite.

Montrez que P + Q = 6 lorsque la somme est 15 dans chaque rangée.

 

14. Sommes de Vincent
Vincent a écrit l'expression suivante où chaque lettre représente un chiffre différent de 1 à 6.

AB + CD + DE

Montrez que 10 sommes sont possibles.

 

15. Cavalier de Patricia
Dans une grille 5 ´ 5, Patricia a déplacé le cavalier à partir de la case numérotée 1. Voici le chemin suivi :

1

24

19

14

3

18

13

2

9

20

25

8

23

4

15

12

17

6

21

10

7

22

11

16

5

Montrez que le cavalier peut parcourir au moins 24 cases lorsque son point de départ est n’importe quelle case blanche.

 

16. Médian de Vincent
Vincent a composé le carré magique d’ordre 3 ci-après. La somme des nombres (ou densité) dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 78. Le nombre du milieu 26 est le tiers de la densité.

37

12

29

18

26

34

23

40

15

Montrez que, dans tout carré magique d’ordre 3, le nombre du milieu est toujours égal au tiers de la densité.

 

17. Désaccord de filles
Anabelle trace six cercles comme ci-dessous. Elle désire placer chacun des nombres de 1 à 6 dans les cercles pour que l’addition soit vraie.

Montrez qu’il est impossible de placer les nombres de 1 à 6 dans ce diagramme.

 

18. Carmen divisée
Arthur a écrit un nombre de six chiffres différents et l’a représenté par CARMEN.

Montrez que si CARMEN est divisible par 13, CAR - MEN est aussi divisible par 13.

 

19. Fleurs d’Émilie
Émilie a divisé son parterre en 15 parcelles carrées comme ci-après. Dans chaque parcelle, le nombre de fleurs doit être égal au total des fleurs qui se trouvent dans les deux parcelles inférieures. Émilie a planté 2, 3, 4, 5, 6 fleurs à la base, mais pas dans cet ordre. Elle a ainsi planté 65 fleurs au sommet. Elle voudrait avoir, à la base, au moins une autre suite de nombres consécutifs, mais pas nécessairement dans cet ordre, tout en ayant 65 fleurs au sommet.

Montrez qu’il n’y a pas d’autres suites d’entiers consécutifs qui permettent de planter 65 fleurs au sommet.

 

20. Suite de Fleuron
Fleuron a écrit les premiers termes de la suite ci-après :  La différence est 3 entre chaque terme.

2, 5, 8, 11, 14, 17, ...

Montrez qu’il n’y a pas de carré dans cette suite.

 

21. Initiale de Mathias
Dans la figure ci-après, Mathias désire placer chacun des nombres de 1 à 9 pour que la somme soit 17 dans chaque rangée de trois cellules reliées par une droite.

Montrez que les cellules A et C doivent recevoir respectivement les nombres 8 et 9.

 

22. Racine de Pascale
Pascale fait la somme des trois résultats suivants :

1. un entier élevé au carré.

2. l'entier qui le suit élevé au carré.

3. le carré du produit des deux premiers résultats.

Puis, elle extrait la racine carrée de la somme. Par exemple, si elle choisit 12 comme entier, le résultat final est 157.

                      122 = 144
                  132 = 169
   (12 × 13)2 = 24 336
         Somme : 24 649
         Ö24 649 = 157

Montrez que le même résultat peut être obtenu en faisant la somme des deux carrés, en divisant par 2 cette somme et en arrondissant le quotient à l’entier supérieur.

 

23. Neveu de Philippe
Philippe demande à son neveu de placer chacun des nombres de 2 à 10 dans les cases de façon à réaliser trois additions.

Montrez qu’il y a un seul ensemble de trois sommes qui est possible.

 

24. Lapin d’Angélie
Trente-six cailloux sont disposés en un carré 6 × 6. Angélie a placé une carotte sur chaque caillou. Un lapin part d’un caillou ; il se déplace horizontalement et verticalement. Il mange chaque carotte qu’il atteint.

Montrez qu’un lapin peut manger toutes les carottes, peu importe son point de départ.

 

25. Rectangle d’Adamis
Adamis veut placer les nombres de 1 à 10 pour que la somme soit 17 dans chacune des quatre rangées de trois ou de quatre cases en périphérie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Montrez que la somme ne peut pas être 17.

 

26. Somme de Maya
En utilisant chacun des chiffres de 1 à 9, Maya a écrit l’addition ci-après. Chaque lettre représente un chiffre différent.

AB + CD + EF + GH + J = 189

Montrez qu’il est impossible que la somme soit 204.

 

27. Coins de Fabrix
Fabrix a composé le carré magique d’ordre 3 ci-après. La densité ou somme des nombres dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 54. La somme des nombres des quatre coins est 72, ce qui est quatre fois le nombre du milieu (ou médian).

26

7

21

13

18

23

15

29

10

Montrez que, dans tout carré magique d’ordre 3, la somme des nombres des quatre coins est égale à quatre fois le médian.

 

28. Cavalier de Line
Dans une grille 5 × 5, Line a déplacé le cavalier à partir de la case numérotée 1. Voici le chemin suivi :

1

24

19

14

3

18

13

2

9

20

25

8

23

4

15

12

17

6

21

10

7

22

11

16

5

Montrez que le cavalier peut parcourir toutes les cases de cette grille lorsque son point de départ est une case grise.

 

29. Oiseaux de Philippe
Dans l’article Quand les oiseaux volent, nous avons introduit un symbole qui exprime la puissance triangulaire d'un entier naturel donné. On peut donc écrire :

 1D = 1        2D = 3        3D = 6       4D = 10      5D = 15
 6D = 21      7D = 28      8D = 36     9D = 45

À l’inverse, on peut extraire la racine triangulaire d’un nombre. Ainsi, 9 est la racine triangulaire de 45. Philippe a trouvé un algorithme pour extraire la racine d’un triangulaire.

1. On multiplie le nombre donné par 8 et on additionne 1 au produit.

2. On extrait la racine carrée.

3. On soustrait 1 et on divise par 2.

Le résultat est la racine triangulaire.

Montrez que cet algorithme est valide.

 

30. Victor partage
Victor choisit un nombre. Il le partage en quatre parties a, b, c, d. Il additionne 6 à a, soustrait 5 à b, multiplie c par 4 et divise d par 3.

Montrez que la somme des quatre parties est 2a + 13c + 11, lorsque le résultat de chacune des quatre opérations est identique.

 

31. Frère de Jocelyn
Jocelyn demande à son petit frère de placer chacun des nombres de 1 à 9 dans les cases de façon à réaliser trois soustractions.

Montrez qu’il est impossible de placer ces nombres.

 

32. Claudine multiplie
Claudine veut faire la multiplication ci-après dans laquelle chacune des lettres représente un chiffre différent. Les deux nombres doivent contenir les 10 chiffres de 0 à 9. 

57AB02 × CDE8 = ?

Montrez que le produit est un multiple de 36 si A + B = 7.

 

33. Macarons d’Alexis
Alexis prend 11 macarons et les numérote de 1 à 11. Il dit à Alexia :

- Tu dois placer un macaron par cellule. La somme des numéros doit être la même dans chaque rangée oblique de trois macarons.

Montrez que la plus petite somme possible par rangée oblique est 16.

 

34. Multiples de Léonie
Léonie écrit les nombres de 1 à 50. Elle met entre parenthèses des groupes de trois nombres consécutifs et les additionne. Par exemple, elle fait : 28 + 29 + 30 = 87. Le nombre 87 est un multiple de 3. Elle prend d’autres trios. La somme est toujours un multiple de 3.

Montrez que la somme de trois nombres consécutifs est toujours un multiple de 3.

 

35. Marque de Florence
Florence a écrit son nom sous forme d’une addition. Chaque lettre représente un chiffre différent.

       F L O
    + R E N
          C E
       X Y Z

Montrez qu’aucune somme possible n’est inférieure à 381.

 

36. Huard de Laura
La pièce d’un dollar du Canada montre un huard. Laura prend une pièce et l’entoure de six autres pièces. Toutes les pièces touchent à la pièce centrale et se touchent entre voisines.

Montrez que six pièces sont nécessaires et suffisantes pour former la couronne d’une première pièce.

 

37. Carrés de Raoul
Raoul a composé le carré magique d’ordre 3 ci-après. La somme est 54 dans chaque ligne, colonne et diagonale. Il écrit : 232 + 102 + 212 = 152 + 262 + 132 = 1070.

23

10

21

16

18

20

15

26

13

Montrez que, dans tout carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne.

 

38. Damier de Josias
Josias a construit un damier 10 ´ 10 pour son oncle. Il demande un euro pour la première case, quatre euros pour la deuxième, sept euros pour la troisième, ainsi de suite en augmentant de trois euros par case.

Montrez que le double du montant demandé pour la 99e case, diminué du montant de la 100e case, est égal au montant de la 98e case.

 

39. Choix de Bernard
Bernard choisit un nombre de cinq chiffres. Il fait la somme des chiffres de ce nombre et soustrait cette somme du nombre choisi. Par exemple, s’il a choisi 36 548, il fait : 3 + 6 + 5 + 4 + 8 = 26 et 36 548 - 26 = 36 522. Le résultat est un multiple de 9.

Montrez que le résultat est toujours un multiple de 9.

 

40. Cinq de Malorie
Malorie a écrit l’addition suivante. Chaque lettre correspond à un chiffre différent.

      C I N Q
   + C I N Q
      D I X O

Montrez que la plus grande valeur de CINQ est 4036.

 

41. Initiale de Xavier
Xavier dessine le treillis ci-après. Il désire y inscrire chacun des nombres de 1 à 8 de telle manière que la somme dans chacune des cinq rangées de trois cercles reliés par une droite est 12.

Montrez qu’il est impossible d’inscrire 5 dans la cellule où Xavier a écrit son initiale.

 

42. Poules géantes
Au pays des Œufs géants, le grand chef possède un poulailler de 1321 poules. Il demande à son adjoint de regrouper les poules en trois enclos. L’enclos du milieu doit avoir 45 poules de plus que l’enclos de gauche et 54 poules de moins que l’enclos de droite.

Montrez qu’il est impossible de faire ces groupes.

 

43. Billes de Rosario
Rosario partage ses billes en groupes de 3, 7, 11 et 15. Son père qui l'observe écrit cette suite :

3, 7, 11, 15, 19, ...

Montrez que le reste est 1 lorsqu’on divise par 4 le carré de chaque terme de cette suite.

 

44. Magie de Margot
Margot a écrit 7, 3 et 9 sur la première ligne d’un carré 3 × 3. Elle désire compléter le carré pour que la somme de chacune des rangées horizontales, verticales et diagonales (ou densité) soit la même.

7

3

9

 

 

 

 

 

 

Montrez qu’il est impossible de construire un carré magique avec des entiers, lorsqu’une rangée contient 7, 3 et 9.

 

45. Soldats de plomb
Le prof Idéal a donné le problème suivant à ses élèves : "Alphonse et Bérénice ont ensemble 37 soldats de plomb. Bérénice et Caroline ont ensemble 27 soldats de plomb. Caroline et Alphonse ont ensemble 17 soldats de plomb."

Montrez que ce problème n’est pas réaliste.

 

46. Trios de Raynold
Raynold écrit les nombres de 1 à 20. Il met entre parenthèses des groupes de trois nombres consécutifs et les multiplie. Par exemple, il fait :13 × 14 × 15 = 2730. Le nombre 2730 est divisible par 6. Il fait d’autres essais. Le produit est toujours divisible par 6.

Montrez que le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6.

 

47. Mission de Malo
Malo a tracé une grille rectangulaire 3 × 4. Il désire placer les nombres de 1 à 12 pour que la somme soit identique dans chaque rangée horizontale et identique, mais différente de la première, dans chaque rangée verticale.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Montrez que cette tâche est impossible à réaliser.

 

48. Voisins d’Alex
Alex écrit la suite ci-après. Il note que les différences successives entre deux termes voisins sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...

Montrez que si on multiplie par 8 chaque terme de la suite et qu’on additionne 1 au produit, le résultat est un carré.

 

49. Suite de Paélie
Paélie a composé un carré magique d’ordre 3 avec chacun des entiers de 1 à 9. La somme dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 15.

8

1

6

3

5

7

4

9

2

Montrez qu’on peut construire un carré magique d’ordre 3 avec toute suite de neuf entiers consécutifs.

 

50. Initiale d’Arsène
Arsène veut écrire les nombres de 1 à 9 dans les cellules de cette figure. Il désire que la somme soit 19 dans chaque rangée de quatre cellules reliées par une droite.

 

Montrez que X + Y + Z = 12.