Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est identique. Cette somme est appelée densité du carré magique. L’ordre du carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 6 contient 14 rangées de six éléments : six lignes, six colonnes et deux diagonales.

Les éléments utilisés pour former un carré magique d’ordre 6 sont les entiers consécutifs de 1 à 36. On parle alors de carré magique normal. Sa densité est 111.

Selon le mathématicien français, Jacques Ozanam (1640-1717), la construction de carrés magiques d’ordre pair n’est pas aussi facile que celle des carrés d’ordre impair. Il ajoute que parmi les carrés d’ordre pair la difficulté est plus grande lorsque l’ordre est impairement pair. C’est pourquoi, les carrés magiques d’ordre 6 font partie d’une classe spéciale par rapport aux difficultés de formation qu’ils engendrent. Peu d’études existent à leur sujet. Certains auteurs ont admis avoir fait des recherches mais avec un succès mitigé.

Dans une grille 6 ´ 6, on écrit les nombres de 1 à 36 dans l’ordre naturel comme ci-après.

On permute les éléments de la deuxième ligne, puis ceux de la cinquième ligne. On obtient ceci.

On permute les éléments de la deuxième colonne, puis ceux de la cinquième colonne. On obtient ceci.

On permute les quatre éléments du milieu de la première ligne, ceux de la première colonne, les deux éléments du milieu de la deuxième ligne, les deux de la sixième ligne, les deux de la deuxième colonne, les deux de la sixième colonne. On obtient ceci.

On intervertit les deux éléments extrêmes de la quatrième ligne, puis ceux de la troisième colonne. On obtient ce carré qui est magique.

On forme un deuxième carré en écrivant les nombres de la suite 0, 6, 12, 18, 24, 30 dans cet ordre et cela dans les deux diagonales. On poursuit avec des triplets de 0 et de 30 sur la première et la sixième ligne, des triplets de 6 et 24 sur la deuxième et la cinquième ligne, puis des triplets de 12 et de 18 sur la troisième et la quatrième ligne. La somme de chaque rangée est 90. Voici le deuxième carré intermédiaire :

Ce carré magique apparaît sur le revers d’une médaille offerte à Louis XIV par Louis-Victor Marie, duc d’Aumont, au 17^e siècle.

On forme un second carré magique avec les nombres 0, 6, 12, 18, 24, 30. Chaque colonne est constituée des six nombres différents. Dans une même colonne, la somme des nombres de la première et de la dernière ligne est 30. Il en est de même de la deuxième et de la cinquième ligne, puis de la troisième et de la quatrième ligne. On s’assure que les diagonales soient constituées des six nombres différents. On peut obtenir ce carré dont la densité est 90.

On additionne les deux carrés précédents. On obtient ce carré qui est magique et normal.

5.1 Par rotation
En faisant tourner les éléments d’un carré magique de 90, 180 ou 270 degrés autour du centre, on peut obtenir un autre carré magique qui est dit équivalent au premier. Soit le carré

Les deux diagonales sont interverties.

5.2 Par symétrie axiale
Une façon de former un autre carré magique est de permuter ligne par ligne les éléments de la première et de la sixième colonne, ceux de la deuxième et de la cinquième colonne, puis ceux de la troisième et de la quatrième colonne. À partir du carré magique précédent, on obtient un autre carré magique qui est dit équivalent à celui qui l’a engendré.

La somme des éléments des termes correspondants des deux carrés magiques précédents est 37.

Un carré d’ordre 6 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 3. Les densités des quatre compartiments doivent être égales. La somme des entiers consécutifs de 1 à 36 est 666. Pour que le carré soit magique, il faut que la somme des éléments de chaque compartiment soit 666 ÷ 4 = 166,5. Comme cela est impossible, il n’existe pas de carré magique normal d’ordre 6 formé de quatre compartiments d’ordre 3.

On peut toutefois composer des carrés magiques non normaux d’ordre 6 en s’assurant que le médian est le même dans chacun des quatre compartiments. La densité du carré magique d’ordre 6 est alors le double de celle des compartiments. Dans le carré ci-dessous, la densité des compartiments est 60 et celle du carré magique est 120. Le médian de chaque compartiment est 20.

Le carré interne doit contenir 16 éléments. On peut, par exemple, placer les nombres de 11 à 26 dans un tel carré. On commence par former un carré magique normal comme il est expliqué dans l’article : Carrés magiques d'ordre 4.

Sur la première ligne, on doit trouver quatre nombres dont la somme est 104. On choisit une combinaison, par exemple (5, 30, 34, 35). On place ces éléments sur la première ligne et leur complémentaire sur la dernière ligne dans la même colonne. Parmi les éléments qui restent, on choisit une combinaison dont la somme est 79 et on les place dans la première colonne. Cette combinaison est (8, 10, 28, 33). On place les complémentaires dans chaque ligne. On obtient ce carré.

On prend comme modèle un carré magique normal ou on adopte un procédé illustré précédemment. Voici un modèle :

On forme un premier carré magique comme ci-après avec la suite : a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a. La densité du carré magique est 21a.

On additionne les deux carrés magiques. On obtient ce carré magique général dont la densité est (21a + 15b).

Si a = 1 et b = 6, on aura un carré magique normal. Le voici :