Un carré est magique lorsque la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est identique. Cette somme est appelée densité du carré magique. L’ordre du carré correspond au nombre d’éléments d’une ligne, d’une colonne ou d’une diagonale. Un carré d’ordre 4 contient dix rangées de quatre éléments.

Les éléments généralement utilisés pour former un carré magique d’ordre 4 sont les entiers consécutifs de 1 à 16. On parle alors de carré magique normal. Sa densité est 34. Cependant, on peut utiliser certains autres ensembles de nombres.

1. Carrés magiques équivalents
Lorsqu’on déplace les éléments d’un carré magique d’ordre 4 par rotation autour d’un point ou par symétrie par rapport à un axe, on peut construire sept autres carrés magiques.

1.1 Par rotation
On considère le carré ci-dessous dont la densité est 98.

En faisant tourner le carré de 90° dans le sens horaire autour du point central du carré, on obtient le carré de gauche ci-dessous. En appliquant deux rotations successives de 90° sur chaque carré précédent, on obtient les deux autres carrés magiques.

Une autre rotation de 90° sur le dernier carré engendre le carré initial.

1.2 Par symétrie
Dans le carré magique de gauche, on considère le segment qui sépare les deux lignes du milieu comme l’axe de symétrie. En intervertissant les éléments symétriques de chaque colonne, on obtient le carré de droite.

Dans le carré magique de gauche, on considère le segment qui sépare les deux colonnes du milieu comme l’axe de symétrie. En intervertissant les éléments symétriques de chaque ligne, on obtient le carré de droite.

Dans le carré magique de gauche, on considère la première diagonale, soit celle qui contient 8, comme l’axe de symétrie. En intervertissant les éléments symétriques de chaque oblique, on obtient le carré de droite.

Dans le carré magique de gauche, on considère la deuxième diagonale, soit celle qui contient 23, comme l’axe de symétrie. En intervertissant les éléments symétriques de chaque oblique, on obtient le carré de droite.

À partir d’un carré magique d’ordre 4, on peut donc obtenir trois autres carrés magiques par rotation et quatre autres carrés magiques par symétrie. Ces huit carrés magiques sont considérés comme équivalents.

2. Index de Frénicle
En 1693, Frénicle publia les 880 carrés magiques normaux d’ordre 4, sans compter les carrés équivalents. Il les classa de 1 à 880 selon un ordre numérique et en 12 types selon la disposition des couples de nombres dont la somme est 17. Voici un exemple de carré magique pour chaque type (I, II, III, ...) et son numéro dans l’index :

 I - 107                         II - 21                      III - 112                      IV- 61

 
   V - 68                         VI - 72                    VII - 346                    VIII - 40

1	6	16	11		1	7	10	16		2	9	16	7		1	5	16	12
15	12	2	5		12	9	8	5		12	8	1	13		8	14	3	9
4	7	13	10		15	4	13	2		5	11	14	4		10	4	13	7
14	9	3	8		6	14	3	11		15	6	3	10		15	11	2	6

   IX - 193                     X - 238                      XI - 202                   XII - 209

1	13	8	12		2	4	13	15		1	14	7	12		2	1	15	16
16	11	2	5		14	16	3	1		16	5	10	3		14	13	3	4
3	6	15	10		7	5	10	12		9	4	15	6		11	8	10	5
14	4	9	7		11	9	8	6		8	11	2	13		7	12	6	9

3. Choix des éléments d’un carré magique d’ordre 4
On peut former un carré magique d’ordre 4 notamment aux deux conditions suivantes :

Première condition. Les 16 nombres sont disposés en une suite arithmétique. Par exemple, on prend la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47 dont la raison est 3. On choisit l’un ou l’autre des 880 carrés magiques normaux qu’on considère comme un modèle. On écrit les éléments de la suite en respectant l’ordre numérique de ce modèle. Par exemple, si on choisit le numéro 209 donné précédemment, on obtient le carré magique suivant.

La somme des éléments de la suite est 392. La densité du carré est 98, soit quatre fois moins que la somme des éléments.

Deuxième condition. Les 16 nombres sont disposés en quatre suites arithmétiques de quatre nombres ayant une même raison et les quatre suites sont entre elles en progression arithmétique ayant une même raison. Par exemple, on prend les quatre suites : (2, 4, 6, 8), (5, 7, 9, 11), (8, 10, 12, 14), (11, 13, 15, 17). La raison de chaque suite est 2. De plus, les éléments de même rang d’une suite à l’autre composent une suite arithmétique dont la raison est 3. On peut former le carré magique ci-dessous dont la densité est 38 en prenant le numéro 346 donné précédemment comme modèle.

Avant de composer le carré, il est requis de toujours vérifier si les deux diagonales ont la même somme que la densité.

4. Recherche des combinaisons pour un carré magique normal
Il y a 20 922 789 888 000 façons possibles de placer les entiers de 1 à 16 dans une grille carrée de 16 cases. On peut identifier toutes les combinaisons de quatre éléments dont la somme est 34 en procédant de façon systématique, par exemple, en commençant par 1, puis en vérifiant chaque autre entier en suivant l’ordre numérique. Il existe 86 combinaisons. Les voici :

5. Formation de carrés magiques normaux
Il existe plusieurs procédés permettant de construire des carrés magiques normaux d’ordre 4. En voici 10 :

5.1 En intervertissant des éléments des diagonales
On écrit les entiers de 1 à 16 à la suite comme dans le carré de gauche.

On intervertit alors les éléments symétriques de chaque diagonale : 1 contre 16, 6 contre 11, 4 contre 13 et 7 contre 10. On obtient le carré magique de droite. C’est un carré semi-diabolique de type III dont le numéro est 176 dans l’index de Frénicle.

5.2 À partir de combinaisons
Procédé 1. Pour la première ligne, on compose une combinaison de quatre nombres dont la somme est 34. On complète la deuxième ligne pour que la somme des deux éléments placés verticalement soit 17.

On termine la première diagonale avec 13 et 7. On complète les deux cases vides pour que la somme des éléments du carré 2 × 2 soit 34.

Il reste à placer les nombres 3, 8, 9 et 14. On les dispose en vérifiant les sommes. On obtient ce carré magique.

C’est un carré semi-diabolique de type IV dont le numéro est 250 dans l’index de Frénicle.

Procédé 2. On choisit une combinaison de quatre nombres qui formera la première ligne.

On complète la quatrième ligne pour que la somme des deux éléments placés verticalement soit 17.

On complète la deuxième ligne avec une combinaison qui ne contient aucun des nombres déjà inscrits.

On obtient le carré magique suivant.

C’est un carré simple (ni diabolique, ni semi-diabolique) de type VII dont le numéro est 645 dans l’index de Frénicle.

Procédé 3. On choisit une combinaison qu’on place dans une diagonale. On compose l’autre diagonale de telle manière que la somme est 17 sur chaque ligne.

Avec les nombres qui restent, on écrit les groupes de deux nombres dont la somme est 17. Ce sont : (2, 15), (4, 13), (5, 12), (7, 10). Sur chaque ligne, on place un couple en ayant soin de vérifier les sommes verticales. On peut obtenir le carré magique suivant.

C’est un carré simple de type VI dont le numéro est 433 dans l’index de Frénicle.

5.3 Par décomposition de la densité
Procédé 1. On décompose la densité en deux parties, par exemple, 16 et 18. On choisit une combinaison qu’on écrit dans la première diagonale. On complète par ligne les couples dont un élément est connu en alternant 16 et 18. Cela donne :

Avec les nombres qui restent, on fait des couples dont les sommes sont 16 et 18. On a : (1, 15), (2, 16), (5, 11), (6, 12). On complète le carré.

C’est un carré magique semi-diabolique de type III dont le numéro est 698 dans l’index de Frénicle.

Procédé 2. On décompose la densité en deux parties, par exemple, 16 et 18. On remplit les deux diagonales de telle manière que la somme des deux premiers éléments de chaque diagonale est 16 et celle des deux autres éléments est 18. De plus, on trouve une somme de 17 dans chaque colonne.

Les nombres non pris sont : 1, 2, 3, 6, 11, 14, 15, 16. On complète chaque colonne avec deux éléments dont la somme est 17. Les couples possibles sont : (1, 16), (2, 15), (3, 14) et (6, 11). Le carré magique est :

C’est un carré simple de type VI dont le numéro est 602 dans l’index de Frénicle.

5.4 En assemblant des carrés 2 × 2
On compose quatre carrés 2 × 2 dont la somme des quatre éléments est 34. Dans chaque carré, on s’assure d’avoir toujours les mêmes deux sommes, par exemple 16 et 18, sur chaque ligne. On doit aussi avoir les deux mêmes sommes, par exemple 13 et 21, dans chaque colonne. Voici quatre carrés 2 × 2 :

On assemble les quatre carrés en surveillant les diagonales. Cela donne :

C’est un carré semi-diabolique de type III dont le numéro est 176 dans l’index de Frénicle.

5.5 À partir d’un carré magique connu
On prend un carré magique comme il est montré à gauche. On introduit les nombres de la quatrième colonne entre les deux premières colonnes (carré du centre). On introduit les nombres de la quatrième ligne entre les deux premières lignes. On vérifie si les deux diagonales ont la même somme que la densité. On obtient le carré de droite qui est magique.

Le premier carré est semi-diabolique de type V dont le numéro est 101 dans l’index de Frénicle Le deuxième carré est semi-magique. Le troisième est un carré simple de type VI dont le numéro est 54 dans le même index.

On peut aussi échanger les éléments de deux colonnes et les éléments des lignes de mêmes rangs. Voici un exemple :

On a d’abord échangé les éléments de la troisième et de la quatrième colonne, puis les éléments de la troisième et de la quatrième ligne. Le premier carré est un carré semi-diabolique de type III dont le numéro est 203 dans l’index de Frénicle. Le dernier carré est un carré diabolique de type I dont le numéro est 204.

5.6 À partir de deux carrés latins
On compose d’abord un carré latin avec les nombres 1, 2, 3, 4 avec la propriété additionnelle que les diagonales reçoivent aussi des éléments différents. On compose un autre carré latin avec les nombres 0, 4, 8, 12 et ayant la même propriété additionnelle. Dans le second carré latin, il est essentiel que tout élément soit l’homologue de chacun des éléments du premier carré une seule fois. Ainsi, 0 est placé successivement dans les cellules homologues du 1, du 2, du 3 et du 4. Puis, on additionne ces deux carrés intermédiaires.

C’est un carré semi-diabolique de type V dont le numéro est 101 dans l’index de Frénicle.

5.7 À partir d’un carré gréco-latin
On construit d’abord un carré gréco-latin comme le suivant.

On considère les nombres de ce carré en numération binaire. On a : 00, 01, 02, 03, 10, 11, etc. À la place de chaque élément, on écrit le nombre correspondant dans le système décimal. On additionne 1 dans chaque cas pour que le plus petit élément soit 1. Le résultat est :

C’est un carré diabolique de type I dont le numéro est 104 dans l’index de Frénicle.

6. Formation de carrés magiques non normaux

6.1 À partir d’opérations sur les carrés magiques
On peut produire des carrés magiques d’ordre 4

· par l’addition, par la soustraction, par la multiplication ou par la division d’un même nombre à tous les éléments d’un carré magique existant. Par exemple,

· par l’addition ou par la soustraction de deux carrés magiques. Par exemple,

· par l’addition ou par la soustraction d’éléments dont la somme est la même dans chaque rangée. Par exemple,

Le dernier carré magique est constitué des quadruplets : (1, 2, 3, 4), (9, 10, 11, 12), (12, 13, 14, 15), (15, 16, 17, 18).

6.2 À partir de la densité 0.
On conçoit un carré magique dont la densité est 0. On remplit d’abord le petit carré 2 × 2 du centre avec par exemple -5, -3, 3 et 5.

On complète la deuxième et la troisième ligne, par exemple avec -7, -1, 1 et 7. On complète la deuxième et la troisième colonne, par exemple avec -13, -11, 11 et 13. Pour trouver la valeur de a, on fait a - 13 - 11 = - 1 + 7 - a. On obtient a = 15. On complète la deuxième diagonale avec 9 et -9. En additionnant 16 à chaque élément, on obtient le carré de droite.

7. Formation de carrés magiques généraux
Il existe plusieurs formes de carrés magiques généraux d’ordre 4. On en donne deux exemples.

Première forme. On imagine un ensemble de 16 nombres qui se décomposent en quatre suites arithmétiques de quatre nombres et dont les quatre suites sont entre elles en progression arithmétique. La raison de la suite de la première ligne est b. On obtient chacune des trois autres lignes en additionnant successivement c à chacun des éléments de la suite précédente. On obtient :

On intervertit les éléments symétriques de chacune des deux diagonales. On a le carré magique général suivant.

Dans chacune des rangées de quatre éléments, la densité est : 4a + 6b + 6c. Le carré est donc magique. Il s’agit maintenant de donner des valeurs arbitraires à a, b et c et on obtient un carré magique dans chaque cas. Si a = 1, b = 3 et c = 10, on a le carré magique ci-dessous dont la densité est 82.

Deuxième forme. On compose un premier carré latin montré à gauche avec les éléments : a, a + b, a + 2b, a + 3b, puis un deuxième carré latin avec a + c, a + 2c, a + 3c, a + 4c, en ayant soin de placer les quatre éléments du second carré successivement dans les mêmes positions qu’un élément du premier carré. On additionne les deux carrés, puis on retranche 2a. Le carré magique général est le résultat de ces opérations.

La densité de ce dernier carré magique général est 6b + 10c. On peut obtenir de nombreux carrés magiques en donnant à b et à c des valeurs arbitraires.

Problèmes et recherche
Vous voulez relever des défis. Amusez-vous à résoudre les problèmes  suivants. Les solutions sont données à la fin.

Problème 1. Construisez un carré magique d’ordre 4 formé par l’ensemble des entiers pairs de 2 à 32. La densité est 68. Certains nombres sont déjà donnés.

Problème 2. Dans chaque cas, formez un carré magique avec les entiers de 1 à 16, pris chacun une seule fois. La première ligne est formée des éléments dans l’ordre donné.
a) 1, 4, 15, 14                     b) 1, 6, 12, 15
c) 2, 5, 16, 11                     d) 5, 3, 16, 10


Problème 3. Dans chaque cas, formez un carré magique avec les entiers de 1 à 16 à 16, pris chacun une seule fois. La première diagonale est formée des éléments dans l’ordre donné.
a) 13, 10, 7, 4                     b) 4, 7, 10, 13
c) 16, 11, 6, 1                     d) 1, 6, 11, 16

Problème 4. Prenez ce carré magique.

Trouvez le carré magique produit par une rotation dans le sens horaire selon le degré indiqué : 
a) 90°             b) 180°             c) 270°             d) 360°

Problème 5. Prenez ce carré magique.

Trouvez le carré magique produit par une symétrie dont l’axe est :
a) La droite centrale verticale du carré.
b) La diagonale dont un élément est 11.

Problème 6. Connaissant les deux carrés magiques suivants,

trouvez le carré magique résultant des opérations suivantes
a) A + 3B                         b) 2A + B + 3

Problème 7. a) Formez un carré magique général, en considérant x comme nombre de départ, 2y comme raison de chacune des quatre suites horizontales et 3y comme raison des suites entre elles.

b) Construisez le carré magique qui en résulte si x = 5 et y = 8. Û

* * * * * *

Solutions des problèmes

Solution 1. Voici un exemple de carré magique d’ordre 4 :

Solution 2. Voici un exemple de carré magique dans chaque cas :