Dictionnaire de mathématiques récréatives Carré d'Arnoux

Arnoux, Gabriel (1831-1913)

° Carré d’Arnoux. – Carré d’ordre n imaginé par Arnoux et formé des entiers de 1 à n² écrits en ordre numérique. Voici le carré d’Arnoux d’ordre 4 :

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

La densité d’un carré magique formé des mêmes éléments est 34. Dans le carré magique simple, soit celui qui n’est pas diabolique ni semi-diabolique, on compte 10 rangées magiques : quatre lignes, quatre colonnes et deux diagonales. La somme des éléments de ces rangées est 34. Même si les lignes et les colonnes du carré d’Arnoux ne forment pas de rangées magiques, le carré d’Arnoux a 20 rangées magiques. Voici leur répartition :

ü deux diagonales principales (A)
ü quatre triangles (B)
ü deux rectangles obliques (C)
ü deux rectangles orthogonaux (D)
ü quatre parallélogrammes (rangées 1 et 4) (E)
ü quatre parallélogrammes (rangées 2 et 3) (F)
ü deux carrés (G)

Le carré d’Arnoux permet la construction de nombreux carrés magiques d’ordre n quand n est premier. On choisit d’abord la longueur d’un saut. Par exemple, ce peut être le saut du cavalier.

Dans un carré d’ordre 5, on part de 1, les autres cellules atteintes sont successivement 8, 15, A dont la position correspond à 17 et B qui prend la place de 24 : ligne 1 du carré. On revient à 1. On applique le saut du cavalier vers le bas. On atteint 12 ; les suivants sont dans l’ordre : 19, C (21), D (3), E (10) : ligne 2. On part de 12. On atteint 23 ; les suivants sont F (5), G(7), H (14), I (16) : ligne 3. On part de 23. On atteint J (9) ; les suivants sont dans l’ordre : K (11), L (18), M (25), N (2) : ligne 4. On part de J (9) ; les suivants sont dans l’ordre : O (20), P (22), Q (4), R (6) et S(13) : ligne 5.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20		A
21	22	23	24	25	C			B
				F			D
			J			G			E
					K			H
				O			L			I
						P			M
								Q			N
										R
												S

On obtient ce carré magique qui est diabolique :

1	8	15	17	24
12	19	21	3	10
23	5	7	14	16
9	11	18	25	2
20	22	4	6	13

Voici un carré magique d’ordre 7 construit d’après le carré d’Arnoux en appliquant le même saut :

1	10	19	28	30	39	48
16	25	34	36	45	5	14
31	40	49	2	11	20	22
46	6	8	17	26	35	37
12	21	23	32	41	43	3
27	29	38	47	7	9	18
42	44	4	13	15	24	33

Ce carré est aussi diabolique. On peut s’inspirer du carré d’Arnoux pour former d’autres carrés magiques. Par exemple, dans un carré d’ordre 4, on écrit les entiers de 1 à 16 en ordre numérique par carré 2 × 2 comme il est montré à gauche. Par la suite, on intervertit les éléments symétriques des diagonales. On obtient le carré magique d’ordre 4 de droite.

1	3	9	11		16	3	9	6
2	4	10	12	è	2	13	7	12
5	7	13	15		5	10	4	15
6	8	14	16		11	8	14	1

C’est un carré semi-diabolique de type III dont le numéro est 203 dans l’index de Frénicle.

Index : A