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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Promèque

° Nombre promèque. – Nombre  rectangulaire qui est ni carré ni hétéromèque. On peut classer les rectangulaires selon la différence d entre les mesures entières des côtés du rectangle de points. Si d = 0, le nombre est carré ; si d = 1, il est hétéromèque ; si d > 1, il est promèque.

n Promèques d = 2.
On peut trouver la suite des promèques de cette classe, en additionnant successivement 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... à partir de 3. Le terme général de rang n est n(n + 2). Les cinq plus petits promèques de cette classe peuvent être représentés ainsi :

Lorsqu’on fait le produit de deux entiers dont la différence est 2, le plus petit entier est le rang du promèque d = 2. Pour trouver son successeur, on lui additionne ses deux rangs suivants. Par exemple, 255 est un promèque de cette classe car 255 = 15 × 17. Il est de rang 15. Son successeur est 255 + (16 + 17) = 288. Les 49 plus petits promèques d = 2 sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

3

8

15

24

35

48

63

80

99

1

120

143

168

195

224

255

288

323

360

399

2

440

483

528

575

624

675

728

783

840

899

3

960

1023

1088

1155

1224

1295

1368

1443

1520

1599

4

1680

1763

1848

1935

2024

2115

2208

2303

2400

2499

 

Voici quelques propriétés des promèques de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à deux palindromes successifs : 3 854 583 et 090.

Les unités sont 0, 3, 4, 5, 8 et 9.

La somme des n premiers promèques est égale à n(n + 1)(2n + 7)/6.

La différence de deux promèques successifs est égale à la somme du double du rang du plus grand et de 1.

Si on additionne 1 à un promèque de rang n de cette classe, on obtient un carré de rang (n + 1).

Dans l’intervalle [1, 2499], on trouve trois triangulaires : 15, 120 et 528. D’autres formules peuvent générer les promèques de cette classe : n2 - 1, n(n - 2), (n - 1)(n - 3), (n - 4)(n - 2), etc.

n Promèques d = 3.
On peut trouver la suite des promèques de cette classe, en additionnant successivement 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... à partir de 4. Le terme général de rang n est n(n + 3). Les cinq plus petits promèques de cette classe peuvent être représentés ainsi :

Lorsqu’on fait le produit de deux entiers dont la différence est 3, le plus petit entier est le rang du promèque de cette classe. Pour trouver son successeur, on lui additionne deux fois son rang et 4. Par exemple, 208 est un promèque d = 3 car 208 = 13 × 16. Il est de rang 13. Son successeur est 208 + 2 × 13 + 4 = 238. Les 49 plus petits promèques d = 3 sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

4

10

18

28

40

54

70

88

108

1

130

154

180

208

238

270

304

340

378

418

2

460

504

550

598

648

700

754

810

868

928

3

990

1054

1120

1188

1258

1330

1404

1480

1558

1638

4

1720

1804

1890

1978

2068

2160

2254

2350

2448

2548

 

Voici quelques propriétés des promèques de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à deux palindromes : 408 804 et 0880.

Les unités sont 0, 4 et 8.

La somme des n premiers promèques est égale à 2n(n + 1)(n + 5)/6.

La somme d’un promèque de rang n et de (n + 4) est égale à un carré de rang (n + 2).

La différence de deux promèques est égale à la somme du double du rang du plus grand et de 2.

Dans l’intervalle [1, 2548], on trouve quatre triangulaires : 10, 28, 378 et 990. D’autres formules peuvent générer les promèques de cette classe : n(n - 3), (n + 1)(n - 2), (n - 1)(n + 2), (n - 1)(n - 4), etc.

n Promèques d = 4.
On peut trouver la suite des promèques de cette classe, en additionnant successivement 7, 9, 11, 13, 15, ... à partir de 5. Le terme général de rang n est n(n + 4). Les cinq plus petits promèques de cette classe sont représentés ainsi :

Lorsqu’on fait le produit de deux entiers dont la différence est 4, le plus petit entier est le rang du promèque d = 4. Pour trouver son successeur, on lui additionne deux fois son rang et 5. Par exemple, 252 est un promèque de cette classe car 252 = 14 × 18. Il est de rang 14. Son successeur est 252 + 2 × 14 + 5 = 285. Les 49 plus petits promèques d = 4 sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

5

12

21

32

45

60

77

96

117

1

140

165

192

221

252

285

320

357

396

437

2

480

525

572

621

672

725

780

837

896

957

3

1020

1085

1152

1221

1292

1365

1440

1517

1596

1677

4

1760

1845

1932

2021

2112

2205

2300

2397

2496

2597

 

Voici quelques propriétés des promèques de cette classe :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres : 5 212 507 670.

Les unités sont 0, 1, 2, 5, 6 et 7.

La somme des n premiers promèques est égale à n(n + 1)(2n + 13)/6.

Si on additionne 4 à un promèque de rang n de cette classe, on obtient un carré de rang (n + 2).

La différence de deux promèques est égale à la somme du double du rang du plus grand et de 3.

Dans l’intervalle [1, 2597], on trouve quatre triangulaires : 21, 45, 780 et 1596. D’autres formules peuvent générer les promèques de cette classe : n2 - 4, n(n - 4), (n - 1)(n + 3), (n - 3)(n + 1), etc.

n Promèques de classe d.
Le terme général de rang n est n(n + d). Les dix plus petits promèques de chaque classe sont : (1+ d), (4 + 2d), (9 + 3d), (16 + 4d), (25 + 5d), (36 + 6d), (49 + 7d), (64 + 8d), (81 + 9d), (100 +10d). On peut trouver la suite des promèques d’une classe en additionnant d et successivement 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... à partir de (1 + d). Les suites de nombres promèques sont des suites arithmétiques de degré 2. Les promèques sont des nombres figurés.

© Charles-É. Jean

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