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Ceci est le sixième livre édité par Récréomath.

Secrets des carrés 
magiques d'ordre 3


Par Charles-É. Jean

* * *

Chapitre 1. Généralités (ci-après)

Chapitre 2. Opérations sur les carrés magiques

Chapitre 3. La densité

Chapitre 4. Carrés magiques équivalents

Chapitre 5. Des trios de triplets

Chapitre 6. Raisons d'un carré magique

Chapitre 7. Formation d'un carré magique

Chapitre 8. Opérations sur les éléments

Avant-propos

Depuis des siècles, les carrés magiques ont été l’objet de nombreuses recherches et ont intéressé les mathématiciens professionnels et amateurs. Quant à nous, notre étude a porté uniquement sur les carrés magiques constitués de neuf cases. Nous avons été surpris de constater combien ces carrés magiques sont riches en propriétés et combien leurs composantes sont intimement liées entre elles.

Pour examiner certaines réalités, nous avons dû créer des mots en les empruntant à d’autres parties des mathématiques et en leur donnant un sens spécifique. Nous avons cherché à choisir les expressions qui nous semblaient les plus en relation avec l’évolution des mathématiques.

Nous espérons que cet ouvrage pourra aider toute personne à comprendre davantage la réalité des carrés magiques et peut-être à lui donner le goût de pousser la recherche. Si nos espoirs se réalisaient, nous serions heureux d’avoir apporté cette minime contribution à la science des mathématiques.

Bonne lecture !

***

Chapitre 1

Généralités

Sommaire. Notion de carré magique. Éléments d’un carré magique. Ordre d’un carré magique. Nombre d’éléments d’un carré magique. Nombre de rangées d’un carré magique. Densité d’un carré magique d’ordre n. Médian d’un carré magique d’ordre n. Somme des éléments. Éléments homologues. Relations entre les carrés magiques. Carré magique homogène. Scalaire. Carré magique inverse. Carré magique nul. Carré magique unitaire. Carrés magiques remarquables.

* * * * * * * * * * *

1.01 Notion de carré magique
Un carré magique est un ensemble de nombres réels placés dans les cases d’une grille carrée dont les sommes horizontales, verticales et diagonales sont égales. Le carré ci-dessous est magique.

10

1

7

3

6

9

5

11

2

Première ligne : 10 + 1 + 7 = 18
Deuxième ligne : 3 + 6 + 9 = 18
Troisième ligne : 5 + 11 + 2 = 18
Ce sont les sommes horizontales.

Première colonne : 10 + 3 + 5 = 18
Deuxième colonne : 1 + 6 + 11 = 18
Troisième colonne : 7 + 9 + 2 = 18
Ce sont les sommes verticales.

Première diagonale : 10 + 6 + 2 = 18
Deuxième diagonale : 7 + 6 + 5 = 18
Ce sont les sommes diagonales.

Les lignes, les colonnes et les diagonales forment les rangées du carré magique.

 

1.02 Éléments d’un carré magique
Les nombres réels qui composent le carré magique sont appelés éléments. De façon générale, les carrés magiques sont désignés par des lettres majuscules A, B, C… et les éléments par des lettres minuscules a, b, c … Les lettres minuscules sont munies d’indices qui indiquent le rang de la ligne et de la colonne. Dans cet exemple,

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a11 est l’élément de la ligne 1 et de la colonne 1.
a12 est l’élément de la ligne 1 et de la colonne 2
………………………………………………
a21 est l’élément de la ligne 2 et de la colonne 1.

Les éléments placés aux deux extrémités d’une rangée sont dits éléments extrêmes. Par exemple, a11 et a13 sont les éléments extrêmes de la première ligne ; a11 et a33 sont les éléments extrêmes de la première diagonale.

 

n On peut représenter les éléments d’un carré magique par un ensemble dit associé :

a) en énumérant les éléments qui appartiennent au carré magique.
Exemple. {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11} est l’ensemble associé au carré ci-dessous.

9

1

8

5

6

7

4

11

3

b) en énonçant une propriété des éléments qui appartiennent au carré magique. Exemple. {z est un entier relatif tel que 2 £ z £ 10 est l’ensemble associé à :  

9

2

7

4

6

8

5

10

3

 

1.03 Ordre d’un carré magique
Un carré magique A qui contient n lignes et n colonnes est appelé un carré d’ordre n. On le note An.

Dans le carré ci-dessous, a11 = 9, a12 = 2, a13 = 7, a21 = 4, etc.  

9

2

7

4

6

8

5

10

3

 
1.04 Nombre d’éléments d’un carré magique
Un carré magique d’ordre n contient n2 éléments. Par exemple, un carré magique d’ordre 3 contient 3 ´ 3 éléments ou neuf éléments.

n Un carré magique d’ordre 3 peut être constitué :
a) par neuf éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}. Voici une disposition des éléments : 

16

2

12

6

10

14

8

18

4

b) par sept éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.  

7

2

6

4

5

6

4

8

3

Deux éléments apparaissent deux fois dans le carré magique. Dans l’ensemble associé, ils correspondent au troisième et au cinquième élément. Dans ce cas, les éléments doubles doivent être situés de part et d’autre de l’élément central et équidistants de cet élément.

c) par cinq éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {3, 6, 9, 12, 15}.  

12

3

12

9

9

9

6

15

6

Deux éléments apparaissent deux fois et un élément apparaît trois fois dans le carré magique. Dans l’ensemble associé, le deuxième et le quatrième élément y sont deux fois et le troisième élément trois fois.

d) par trois éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {1, 4, 7}.
Les trois éléments apparaissent trois fois dans le carré magique. Chaque élément de l’ensemble associé y est trois fois.
 

4

1

7

7

4

1

1

7

4


e) par un élément. Par exemple, l’ensemble associé est {4}.
L’élément apparaît neuf fois dans le carré magique. Ce carré magique est dit homogène.

4

4

4

4

4

4

4

4

4

 
1.05 Nombre de rangées d’un carré magique
Un carré magique d’ordre n contient 2(n + 1) rangées. En effet, on a n lignes, n colonnes et deux diagonales. Par exemple, un carré magique d’ordre 3 contient huit rangées.
 

1.06 Densité d’un carré magique d’ordre n
Le nombre réel qui correspond aux sommes horizontales, verticales ou diagonales d’un carré magique d’ordre n est appelé la densité du carré magique. Soit A un carré magique d’ordre n, la densité est notée d(An) ou d(A). Par exemple, si la densité de A est 21, on écrit d(A) = 21.

10

3

8

5

7

9

6

11

4

On peut associer à chaque carré magique une et une seule densité représentée par un nombre réel. Cette correspondance détermine une fonction pour laquelle le carré magique est un élément du domaine et la densité un élément du codomaine.

Soit M l’ensemble des carrés magiques et d la fonction, on a une fonction de M dans les nombres réels. On peut écrire : d(M) = xx appartient à l’ensemble des nombres réels.

 

1.07 Médian d’un carré magique d’ordre n
n Le médian d’un carré magique d’ordre n est l’élément commun aux deux diagonales.

a) si n est pair. Les deux diagonales n’ont aucun élément commun. Le médian n’existe pas.

b) si n est impair. Le médian aij existe. Dans ce cas, i = j = (n + 1)/2. Par exemple, si n = 3, le médian est noté a22.

n Le médian m d’un carré magique d’ordre 3 est égal au tiers de la densité du carré magique. Soit A un carré magique et d la densité,

On peut écrire :

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a11 + a22 + a33 = d
a
12 + a22 + a32 = d
a
13 + a22 + a31 =
d

En additionnant membre à membre ces trois égalités, on obtient :
(a11 + a12 + a13) + 3a22 + (a31 + a32 + a33) = 3d
d
+ 3a22 + d = 3d
3a22 = d
3m =
d

D’où m = d/3.

En conséquence, la densité d’un carré magique d’ordre 3 est égale à trois fois le médian : d = 3m.

Corollaire : Si la densité d’un carré magique d’ordre 3 est nulle, alors le médian est nul et réciproquement.

 

1.08 Somme des éléments
n Sachant que n2 éléments forment un carré magique d’ordre n, on peut calculer la densité sans connaître la position des éléments dans le carré. La densité d d’un carré magique d’ordre n est le quotient de la somme S des éléments du carré et de l’ordre n du carré. En effet, sur une même ligne (ou colonne), la somme de n éléments est d. Comme il y a n lignes (ou colonnes), la somme S de n2 éléments est nd. D’où, S = nd et d = S/n.

n La somme S de tous les éléments d’un carré magique d’ordre 3 est donc égale à :

a) trois fois la densité, i.e. S = 3d
b) neuf fois le médian, i.e. S = 9m.

 

1.09 Éléments homologues
Les éléments homologues de deux carrés magiques sont les éléments de mêmes indices d’un carré à l’autre. Par exemple, 7 et 18 sont des éléments homologues, tout comme 10 et 27.  

9

2

7

 

24

3

18

4

6

8

 

9

15

21

5

10

3

 

12

27

6

 

1.10 Relations entre les carrés magiques
n Deux carrés magiques A et B sont égaux
1. s’ils sont de même ordre.
2. si les éléments homologues sont égaux.

Soit A le premier carré et B le second, on dit que A = B.

22

1

16

 

22

1

16

7

13

19

 

7

13

19

10

25

4

 

10

25

4

 
n Deux carrés magiques A et B sont équivalents :
1. s’ils sont de même ordre.
2. si tous les éléments de A sont dans B et réciproquement.
3. si au moins un élément de A prend une autre position dans B.

Soit A le premier carré et B le second, on dit que A est équivalent à B ou A @ B.

9

2

10

 

5

12

4

8

7

6

 

6

7

8

4

12

5

 

10

2

9

 
n Deux carrés magiques A et B sont colinéaires :
1. s’ils sont de même ordre.
2. s’ils ont la même densité.

Soit A le premier carré et B le second, on dit que A et B sont colinéaires puisque d(A) = d(B) = 15.

8

1

6

 

5

4

6

3

5

7

 

6

5

4

4

9

2

 

4

6

5

 

n Deux carrés magiques A et B de même ordre sont différents si au moins un élément de A n’apparaît pas dans B ou réciproquement.

Soit A le premier carré et B le second, on dit que A est différent de B.

16

2

12

 

12

3

9

6

10

14

 

5

8

11

8

18

4

 

7

136

4

 

n Deux carrés magiques égaux sont nécessairement colinéaires. Étant donné que les éléments homologues sont égaux, la densité des deux carrés magiques est égale.

n Deux carrés magiques équivalents sont nécessairement colinéaires. Soit A et B deux carrés magiques d’ordre n dont la somme des éléments est respectivement s et s1.

d(A) = s/n et d(B) = s1/n. Or, s = s1, car tous les éléments de A sont dans B et réciproquement. Donc, d(A) = d(B) et les deux carrés magiques sont colinéaires.

 

n Deux carrés magiques colinéaires d’ordre 3 ont le même médian. En effet, si A et B sont colinéaires, alors d(A) = d(B).

Soit m le médian de A et m1 le médian de B, m = d(A)/3 et m1 = d(B)/3. Or, d(A) = d(B). Donc, m = m1.

Soit A le premier carré et B le second, on peut écrire : d(A) = 39, d(B) = 39, m(A) = 13 et m(B) = 13.

19

5

15

 

22

1

16

9

13

17

 

7

13

19

11

21

7

 

10

25

4

 

n Deux carrés magiques équivalents d’ordre 3 ont le même médian. On sait que deux carrés magiques équivalents sont nécessairement colinéaires. Donc, étant colinéaires, ces carrés ont le même médian. En conséquence, le médian d’un carré magique d’ordre 3 est unique et ne peut être déplacé. On ne peut donc pas intervertir la deuxième ligne contre une autre ligne et la deuxième colonne contre une autre colonne : car ceci entraînerait le déplacement du médian. Nous pouvons donc déduire que deux carrés magiques équivalents d’ordre 3 ont toujours au moins un élément dans la même position et cet élément est le médian. Exemple.

Soit A le premier carré et B le second, on peut écrire : d(A) = 33, d(B) = 33, m(A) = 11 et m(B) = 11.

18

2

13

 

18

6

9

6

11

16

 

2

11

20

9

20

4

 

13

16

4

 

Le tableau suivant nous fait voir les relations qui existent entre les couples de carrés magiques. Par exemple, on peut lire : Deux carrés magiques différents peuvent être colinéaires.

 

égaux

équivalents

colinéaires

différents

 

égaux

 

ne sont

jamais

sont

nécessairement

ne sont

jamais

 

équivalents

ne sont

jamais

 

 

sont

nécessairement

ne sont

jamais

 

colinéaires

peuvent

être

peuvent

être

 

peuvent

être

 

différents

ne sont

jamais

ne sont

jamais

peuvent

être

 

 

1.11 Carré magique homogène
n Un carré magique homogène est un carré magique dont tous les éléments sont égaux. Les éléments de ce carré sont appelés la base du carré.

k

k

k

k

k

k

k

k

k

 

Kn est un carré magique homogène d’ordre n et de base k. L’ensemble associé à Kn est {k}. Voici un carré magique homogène d’ordre 3 et de base 7 : 

7

7

7

7

7

7

7

7

7

Un carré magique qui a au moins un élément différent des autres n’est pas homogène.

n La densité d’un carré magique homogène d’ordre n et de base k est nk. Dans un carré magique d’ordre 3, si la base est 7, la densité est 21.

n La base k d’un carré magique homogène K d’ordre n est égale au rapport de la densité d et de l’ordre n du carré. En effet, d(Kn) = nk et k = d(Kn)/n. D’où k = d/n.

 

 

 

n Connaissant l’ordre et la densité d’un carré magique homogène, on ne peut construire qu’un seul carré magique. En effet, la base est unique. Elle est égale à d/n. Voici un carré magique homogène d’ordre 3 dont la densité est 7 ½ : 

2½

2½

2½

2½

2½

2½

2½

2½

2½

 

1.12 Scalaire
Tout nombre réel peut être égal à un carré magique de n’importe lequel ordre et est alors appelé scalaire. Soit K3 =  

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Ici, k est un scalaire. On pourra écrire Kn = k. Le carré magique ainsi obtenu est un carré magique d’ordre n et de base k. Par exemple, le carré magique suivant est équivalent à K3 = 4.  

4

4

4

4

4

4

4

4

4

 

n La densité d’un scalaire k transformé en carré magique homogène d’ordre n et de base k est égale à nk. Soit Kn = k un carré magique homogène. Alors d(Kn) = nk. D’où, d(k) = nk. Exemple. Soit A = 

5

5

5

5

5

5

5

5

5

d(A) = d(5) = nk = 3 ´ 5 = 15

 

1.13 Carré magique inverse
Le carré dont les éléments sont les inverses multiplicatifs des éléments d’un carré magique homogène An, est appelé carré magique inverse. Il est noté A-1n et il est homogène.

Exemple 1. Soit A le premier carré et A-1 l’inverse du premier, A-1 est aussi un carré magique.

2

2

2

 

½

½

½

2

2

2

 

½

½

½

2

2

2

 

½

½

½

 

1.14 Carré magique nul
Un carré magique nul est un carré magique homogène dont la base est 0. Il est parfois désigné par la lettre O. Le carré magique On est donc égal au scalaire 0. Par ailleurs, il n’a pas de carré inverse. Exemple.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Corollaire. Tout carré magique homogène K d’ordre n et de densité 0 est un carré magique nul. Soit k la base de K et d(K) = 0, alors k = d(K)/n et k = 0. D’où, K = 0.

 

1.15 Carré magique unitaire
Un carré magique unitaire est un carré magique homogène dont la base est 1. Il est parfois désigné par la lettre I. Le carré magique In est donc égal au scalaire 1. Exemple.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Corollaire. Tout carré magique homogène K d’ordre n et de densité n est un carré magique unitaire. Soit k la base de Kn et d(K) = n, alors k = d(K)/n et k = 1. D’où, K = I.

 

1.16 Carrés magiques remarquables
Il existe des carrés magiques d’ordre 3 qui ont des propriétés différentes de l’ensemble des carrés magiques. En voici cinq :

1. Un carré magique formé des entiers consécutifs de 1 à 9

8

3

4

1

5

9

6

7

2

Ce carré magique est connu sous le nom de lo-shu et remonte au temps de l’empereur chinois Ta-Yu, lequel régna de 2205 à 2198 avant J.C. Il est probablement le plus ancien carré magique connu.

 

2. Un carré magique formé de nombres premiers

101

29

83

53

71

89

59

113

41

Les neuf nombres du carré varient de 29 à 113 et sont tous premiers. La densité du carré est 213 et la somme des éléments est 639.

 

3. Un carré magique formé de fractions décimales qui utilisent tous les chiffres significatifs

0,8

0,1

0,6

0,3

0,5

0,7

0,4

0,9

0,3

Les chiffres significatifs sont les chiffres de 1 à 9. La densité de ce carré magique est 1,5 et la somme des éléments est 4,5.

 

4. Un carré magique dont les éléments ont les mêmes chiffres dans un autre ordre. 
Chacun des nombres est composé des chiffres 1, 4, 2, 8, 5, 7 dans cet ordre circulaire. Si on considère les deux parties de chaque nombre et si on additionne ces parties, on obtient 999 999.

571 428

142 857

571 428

428 571

428 571

428 571

285 714

714 285

285 714

Exemple. 142 + 857 = 999. La densité est égale à 1 285 713. Si on prend le premier chiffre 1 et on l’ajoute à 713, on obtient 714 et on retrouve les mêmes chiffres dans le même ordre, ce qui fait 285 + 714 = 999. On pourrait vérifier les mêmes propriétés pour la somme des éléments qui est 3 857 139.

 

5. Un carré magique formé de nombres renversés deux à deux
La densité du carré magique est 1 666 665 et la somme des éléments est 4 999 995.

888 222

111 999

666 444

333 777

555 555

777 333

444 666

999 111

222 888

 

 

Voir Chapitre 2