Chapitre 1. Généralités (ci-après)

Chapitre 2. Opérations sur les carrés magiques

Chapitre 3. La densité

Chapitre 4. Carrés magiques équivalents

Chapitre 5. Des trios de triplets

Chapitre 6. Raisons d'un carré magique

Chapitre 7. Formation d'un carré magique

Chapitre 8. Opérations sur les éléments

1.01 Notion de carré magique
Un carré magique est un ensemble de nombres réels placés dans les cases d’une grille carrée dont les sommes horizontales, verticales et diagonales sont égales. Le carré ci-dessous est magique.

Première ligne : 10 + 1 + 7 = 18
Deuxième ligne : 3 + 6 + 9 = 18
Troisième ligne : 5 + 11 + 2 = 18
Ce sont les sommes horizontales.

Première colonne : 10 + 3 + 5 = 18
Deuxième colonne : 1 + 6 + 11 = 18
Troisième colonne : 7 + 9 + 2 = 18
Ce sont les sommes verticales.

Première diagonale : 10 + 6 + 2 = 18
Deuxième diagonale : 7 + 6 + 5 = 18
Ce sont les sommes diagonales.

Les lignes, les colonnes et les diagonales forment les rangées du carré magique.

1.02 Éléments d’un carré magique
Les nombres réels qui composent le carré magique sont appelés éléments. De façon générale, les carrés magiques sont désignés par des lettres majuscules A, B, C… et les éléments par des lettres minuscules a, b, c … Les lettres minuscules sont munies d’indices qui indiquent le rang de la ligne et de la colonne. Dans cet exemple,

a₁₁ est l’élément de la ligne 1 et de la colonne 1.
a₁₂ est l’élément de la ligne 1 et de la colonne 2
………………………………………………
a₂₁ est l’élément de la ligne 2 et de la colonne 1.

Les éléments placés aux deux extrémités d’une rangée sont dits éléments extrêmes. Par exemple, a₁₁ et a₁₃ sont les éléments extrêmes de la première ligne ; a₁₁ et a₃₃ sont les éléments extrêmes de la première diagonale.

b) en énonçant une propriété des éléments qui appartiennent au carré magique. Exemple. {z est un entier relatif tel que 2 £ z £ 10} est l’ensemble associé à :  

1.03 Ordre d’un carré magique
Un carré magique A qui contient n lignes et n colonnes est appelé un carré d’ordre n. On le note A_n.

Dans le carré ci-dessous, a₁₁ = 9, a₁₂ = 2, a₁₃ = 7, a₂₁ = 4, etc.  

b) par sept éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.  

Deux éléments apparaissent deux fois dans le carré magique. Dans l’ensemble associé, ils correspondent au troisième et au cinquième élément. Dans ce cas, les éléments doubles doivent être situés de part et d’autre de l’élément central et équidistants de cet élément.

c) par cinq éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {3, 6, 9, 12, 15}.  

Deux éléments apparaissent deux fois et un élément apparaît trois fois dans le carré magique. Dans l’ensemble associé, le deuxième et le quatrième élément y sont deux fois et le troisième élément trois fois.

d) par trois éléments différents. Par exemple, l’ensemble associé est {1, 4, 7}.
Les trois éléments apparaissent trois fois dans le carré magique. Chaque élément de l’ensemble associé y est trois fois.  

e) par un élément. Par exemple, l’ensemble associé est {4}.
L’élément apparaît neuf fois dans le carré magique. Ce carré magique est dit homogène.

1.06 Densité d’un carré magique d’ordre n
Le nombre réel qui correspond aux sommes horizontales, verticales ou diagonales d’un carré magique d’ordre n est appelé la densité du carré magique. Soit A un carré magique d’ordre n, la densité est notée d(A_n) ou d(A). Par exemple, si la densité de A est 21, on écrit d(A) = 21.

On peut associer à chaque carré magique une et une seule densité représentée par un nombre réel. Cette correspondance détermine une fonction pour laquelle le carré magique est un élément du domaine et la densité un élément du codomaine.

Soit M l’ensemble des carrés magiques et d la fonction, on a une fonction de M dans les nombres réels. On peut écrire : d(M) = x où x appartient à l’ensemble des nombres réels.

1.07 Médian d’un carré magique d’ordre n
n Le médian d’un carré magique d’ordre n est l’élément commun aux deux diagonales.

a) si n est pair. Les deux diagonales n’ont aucun élément commun. Le médian n’existe pas.

b) si n est impair. Le médian a_ij existe. Dans ce cas, i = j = (n + 1)/2. Par exemple, si n = 3, le médian est noté a₂₂.

n Le médian m d’un carré magique d’ordre 3 est égal au tiers de la densité du carré magique. Soit A un carré magique et d la densité,

On peut écrire :

a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ = d
a₁₂ + a₂₂ + a₃₂ = d
a₁₃ + a₂₂ + a₃₁ = d

1.08 Somme des éléments
n Sachant que n² éléments forment un carré magique d’ordre n, on peut calculer la densité sans connaître la position des éléments dans le carré. La densité d d’un carré magique d’ordre n est le quotient de la somme S des éléments du carré et de l’ordre n du carré. En effet, sur une même ligne (ou colonne), la somme de n éléments est d. Comme il y a n lignes (ou colonnes), la somme S de n² éléments est nd. D’où, S = nd et d = S/n.

1.09 Éléments homologues
Les éléments homologues de deux carrés magiques sont les éléments de mêmes indices d’un carré à l’autre. Par exemple, 7 et 18 sont des éléments homologues, tout comme 10 et 27.  

1.10 Relations entre les carrés magiques
n Deux carrés magiques A et B sont égaux
1. s’ils sont de même ordre.
2. si les éléments homologues sont égaux.

Soit A le premier carré et B le second, on dit que A = B.

1.11 Carré magique homogène
n Un carré magique homogène est un carré magique dont tous les éléments sont égaux. Les éléments de ce carré sont appelés la base du carré.

1.13 Carré magique inverse
Le carré dont les éléments sont les inverses multiplicatifs des éléments d’un carré magique homogène A_n, est appelé carré magique inverse. Il est noté A^-1_n et il est homogène.

Exemple 1. Soit A le premier carré et A^-1 l’inverse du premier, A^-1 est aussi un carré magique.

1.14 Carré magique nul
Un carré magique nul est un carré magique homogène dont la base est 0. Il est parfois désigné par la lettre O. Le carré magique O_n est donc égal au scalaire 0. Par ailleurs, il n’a pas de carré inverse. Exemple.

Corollaire. Tout carré magique homogène K d’ordre n et de densité 0 est un carré magique nul. Soit k la base de K et d(K) = 0, alors k = d(K)/n et k = 0. D’où, K = 0.

1.15 Carré magique unitaire
Un carré magique unitaire est un carré magique homogène dont la base est 1. Il est parfois désigné par la lettre I. Le carré magique I_n est donc égal au scalaire 1. Exemple.

Corollaire. Tout carré magique homogène K d’ordre n et de densité n est un carré magique unitaire. Soit k la base de K_n et d(K) = n, alors k = d(K)/n et k = 1. D’où, K = I.

1.16 Carrés magiques remarquables
Il existe des carrés magiques d’ordre 3 qui ont des propriétés différentes de l’ensemble des carrés magiques. En voici cinq :

1. Un carré magique formé des entiers consécutifs de 1 à 9

Ce carré magique est connu sous le nom de lo-shu et remonte au temps de l’empereur chinois Ta-Yu, lequel régna de 2205 à 2198 avant J.C. Il est probablement le plus ancien carré magique connu.