7.01 Carré original
Un carré original est un carré magique de médian nul. On peut construire un carré original au moyen de deux variables a et b.

1. Au centre, on place 0 qui devient le médian.

2. On place a dans le coin supérieur gauche, puis son inverse additif dans le coin inférieur droit.

3. On place b dans le coin supérieur droit, puis son inverse additif dans le coin inférieur gauche.

4. On complète chaque ligne et chaque colonne pour que la somme soit 0.

 Voici un carré original qu’on note A° :

Le trio correspondant est : {(-a - b, -a, -a + b), (-b, 0, b), (a - b, a, a + b)}. D’où, r₀ = a et r = b. Si on remplace a et b par leur valeur, on obtient :

On note que d(A°) = 0.

Si r₀ = 5 et r = 3, on aura le carré magique original suivant :

Soit la séquence h, d₁, d₂, v, on aura alors :

• dans la deuxième ligne - h, 0, h : la raison est h.

• dans la première diagonale - d₁, 0, d₁ : la raison est d_1.

• dans la deuxième diagonale - d₂, 0, d₂ : la raison est d_2.

• dans la deuxième colonne - v, 0, v : la raison est v.

On compose le carré original suivant :  

Le trio correspondant est : {(-v, d₁, -h), (d₂, 0, -d₂), (h, -d₁, v)}.

Soit la séquence 4, 1, 5, -6, le carré original correspondant est :  

7.03 Formation d’un carré original à partir d’un carré magique
n À partir d’un carré magique, on peut former le carré original correspondant en soustrayant le médian du carré magique. Voici un exemple :

n À partir d’un carré magique, on peut former un carré original en soustrayant deux carrés magiques symétriques. Soit un carré magique A,

Alors, A^h - A^v =  

n À partir d’un carré magique, on peut former un carré original en trouvant la séquence des raisons. Soit le carré magique B suivant,

Exemple 1. Si r = 3, r₀ = 5, on peut avoir le trio : {(-8, -5, -2), (-3, 0, 3), (2, 5, 8)}. Le carré original est :  

Si on additionne k = 12, on obtient :

La densité de ce carré magique est 36.

Exemple 2. Si r = -6, r₀ = -4, on peut avoir le trio : {(10, 4, -2), (6, 0, -6), (2, -4, -10)}. Le carré original est :

Si on additionne k = 12, on obtient :

La densité de ce carré magique est 36.

7.05 Formation d’un carré magique à partir d’un autre carré magique
n À partir d’un carré magique, il est possible de construire un grand nombre de carrés magiques au moyen d’opérations comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Voici un exemple pour chaque opération :

n À partir d’un carré magique, on peut additionner ou soustraire un carré magique équivalent. Voici deux exemples :

n On peut former un carré magique en ajoutant à chacun des éléments un ou des mêmes chiffres à gauche ou à droite, à la condition toutefois que le nombre de chiffres des éléments du carré initial soit identique.

Soit un carré magique A,

La densité de A est 24. Par exemple, dans A, si on écrit 9 à gauche, le carré magique est :

Le carré est égal à (A + 900). Sa densité est 2724.

7.06 Formation d’un carré magique à partir de variables
On peut former un carré magique en faisant la somme de deux autres carrés magiques contenant chacun une variable. Soit A le premier carré magique et B le second,

Le carré (A + B) est :  

Si a = 1 et b = 3, on a :

7.07 Procédés pour compléter un carré magique
n Si on connaît un seul élément ou même deux éléments d’un carré magique dans des positions données, on peut construire une infinité de carrés magiques.

n Si on connaît trois éléments dans des positions données, trois cas peuvent se présenter :

a) On ne peut pas construire de carré magique.

Soit à compléter le carré,  

On peut écrire :

Le trio est : {(a, f, c), (e, d, b), (10, 12, 15)}. Les éléments du troisième triplet ne sont pas en progression arithmétique. Donc, on ne peut pas construire de carré magique.

b) On peut construire une infinité de carrés magiques.

Soit à compléter,  

On peut écrire :

Le trio peut être : {(8, f, c), (17, d, b), (26, a, e)}. La raison du trio r₀ est 9 ; la raison r est indéterminée.

Si r = 2, on aura : {(8, 10, 12), (17, 19, 21), (26, 28, 30)}. Le carré magique est :

c) On peut construire un seul carré magique.

Soit à compléter,

On peut écrire :  

Le trio peut être : {(a, f, c), (5, d, b), (6, 8, e)}. Alors, r₀ = 1. D’où, a = 4, f = 6, d = 7, etc. On aura le trio : {(4, 6, 8), (5, 7, 9), (6, 8, 10)}.  Le carré magique est :

n Si on connaît quatre éléments ou plus dans des positions données, on peut construire un seul carré magique ou on ne peut pas en construire.

7.08 Procédés basés sur des propriétés
Il existe d’autres procédés pour compléter un carré magique.

n On peut utiliser les propriétés de la densité.

Soit à compléter le carré suivant,

On fait : 10 + 1 + 7 = 18. La densité est 18 ; le médian est 6. On complète les rangées. On obtient :  

n On peut se servir des propriétés des raisons d’un carré magique.
 Ainsi, si on a :  

La raison horizontale est égale à 2. D’où, l’élément inconnu de la deuxième ligne est 6. La densité est 12. On complète les rangées. On obtient :

Par ailleurs, si on a :

D’après 6.02C, la raison verticale est 10 - 13 = -3. D’où, le médian est 18 et la densité 54. Le carré magique est :

7.09 Raisons et nombre d’éléments
n Si au moins deux raisons des raisons d’un carré magique sont nulles, on aura la séquence 0, 0, 0, 0. Le trio est : {(0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)}. Le carré original est :  

Le carré magique correspondant est :

C’est un carré magique homogène.

n Si le générant est nul et si h est la raison horizontale, on aura la séquence h, 0, h, -h. Le trio correspondant est : {(h, 0, -h), (h, 0, -h), (h, 0, -h)}. Le carré original est :

Le carré magique est :

C’est un carré magique composé de trois éléments différents : k - h, k et k + h. La diagonale de gauche est formée de trois éléments égaux. Par exemple, si k = 10 et h = 3, on aura :

n Si la raison de la diagonale de droite est nulle et si h est la raison horizontale, on aura la séquence : h, -h, 0, h. Le trio correspondant est : {(-h, -h, -h), (0, 0, 0), (h, h, h)}. Il est équivalent au trio précédent.

n Si le générant g et la raison horizontale sont égaux, on aura la séquence : g, g, 2g, -3g. Le trio est : {3g, g, -g), (2g, 0, -2g), (g, -g, -3g)}. Le carré original est :

Le carré magique correspondant est :

C’est un carré magique composé de sept éléments différents.

En particulier, si g = 1, on obtient la séquence 1, 1, 2, -3. Exemple. Si k = 5 et g = 1, on a :

7.10 Carrés magiques primitifs
Par définition, un carré magique primitif est soit un carré magique homogène, soit un carré magique dont les éléments sont 0, 1 et 2.

On peut décomposer tout carré magique d’ordre 3 en carrés magiques primitifs. On procède ainsi :

1. On repère le plus petit nombre du carré. On l’écrit en scalaire ou en carré magique homogène.

2. On forme un carré magique en plaçant les éléments 0, 1, 2 dans le même ordre (ascendant ou descendant) que dans le carré magique donné. On multiplie ce carré par la raison de la diagonale de droite en valeur absolue.

3. Au besoin, on forme un autre carré magique qui est le carré intervertical du précédent si les raisons diagonales sont de mêmes signes et qui est le carré interhorizontal du précédent si les raisons diagonales sont de signes contraires. On le multiplie par la raison de la diagonale de gauche en valeur absolue.

Soit à décomposer le carré ci-dessous en carrés magiques primitifs, 

On obtient l’expression suivante.

Soit le carré primitif P,   

On écrira donc : 5 + 5P^g + 2P^h.