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Publications |
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Ceci est le sixième livre édité par Récréomath.
Secrets des carrés
magiques d'ordre 3
Par Charles-É. Jean
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Chapitre 3
La densité
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Sommaire.
Densité
de la somme de deux carrés magiques d’ordre 3. Densité de la somme d’un
scalaire et d’un carré magique. Densité du carré magique opposé.
Densité de la différence de deux carrés magiques. Densité du produit
d’un scalaire et d’un carré magique. Densité du produit de deux
carrés magiques homogènes. Densité du carré magique inverse.
Densité du quotient de deux carrés magiques. Densité d’un carré
magique homogène élevé à une puissance p. Propriétés de la
densité.
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3.01 Densité de la somme de deux carrés magiques d’ordre
3
La densité d’un carré magique C d’ordre 3 obtenu par la somme de
deux carrés magiques A et B du même ordre est égale à la somme des
densités de A et B.
Soit d(A)
= a1 + a2 + a3
d(B) = b1
+ b2 + b3
d(C) = a1
+ b1 + a2 + b2 +
a3 + b3
Alors, d(A)
+ d(B) = a1 + a2 + a3
+ b1 + b2 + b3
d(A) + d(B)
= a1 + b1 + a2 + b2
+ a3 + b3
d(A) + d(B)
= d(C)
D’où d(A)
+ d(B) = d(A + B).
Exemple. Soit A le premier carré et B le second,
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Pour calculer d(A + B), on écrit :
d(A
+ B) = d(A) + d(B) = 21 + 27 = 48.
3.02 Densité de la somme d’un scalaire et d’un carré
magique
La densité de la somme d’un scalaire et d’un
carré magique d’ordre 3 est égale à la somme des densités du scalaire et
du carré magique.
Soit K un carré magique homogène de base k
et A un carré magique quelconque. Alors, d(K
+ A) = d(K) + d(A). Or, K = k. D’où, d(k +
A) = d(k) + d(A).
Exemple. Soit A le carré et k = 15.
Pour calculer d(A + K), on écrit :
d(A
+ k) = d(A) + d(k) = 18 + 45 = 63.
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3.03 Densité du carré magique opposé
La densité d’un carré magique opposé -
A est l’inverse additif de la densité du carré magique A. Soit A un
carré magique et - A le carré magique
opposé, d(-
A) = d(- 1A) = -
1d(A). D’où d(- A) = -
d(A).
Exemple. Soit A le carré,
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15 |
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Pour calculer d(- A ), on
écrit : d(-
A) = - d(A) = - 45.
3.04 Densité de la différence de deux carrés magiques
La densité d’un carré magique d’ordre 3 obtenu
par la différence de deux carrés magiques A et B est égale à la différence
de la densité de A et de la densité de B.
d(A
– B) = d(A + - B) = d(A) + d(- B)
Or, d(- B) = -
d(B)
Donc, d(A –
B) = d(A) – d(B)
Exemple. Soit A le premier carré et B le second,
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Pour calculer d(A – B), on écrit :
d(A
– B) = d(A) – d(B) = 9 – 27 = -
18.
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3.05 Densité du produit d’un scalaire et d’un
carré magique
La densité d’un carré magique obtenu par le
produit d’un scalaire k et d’un carré magique A est égale au
produit du scalaire k et de la densité du carré magique A.
Soit d(A) = a1 + a2
+ a3. Alors d(kA) =
ka1 + ka2 + ka3. En
mettant k en évidence, on trouve : d(kA)
= k(a1 + a2 + a3).
D’où d(kA) = kd(A). Comme K
= k, on peut aussi écrire d(KA) = Kd(A).
Exemple. Soit A le carré,
Pour calculer d(5A), on écrit : d(5A)
= 5d(A) = 5 ´ 42 = 210.
3.06 Densité du produit de deux carrés magiques
homogènes
La densité d’un carré magique homogène d’ordre
3 obtenu par le produit de deux carrés magiques homogènes est égale à
trois fois le produit des bases.
Soit A et B deux carrés magiques homogènes dont les
bases sont respectivement a et b, alors d(AB) = 3ab.
Exemple. Soit A le premier carré et B le
second,
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Pour calculer d(AB), on écrit :
d(AB)
= 3ab = 3 (AB)
= 3ab = 3 ´ 6 ´
13 = 234.
3.07 Densité d’un carré magique
homogène inverse
La densité du carré magique inverse est le rapport de l’ordre du carré
magique et de la base. Soit A un carré magique homogène dont la base est a.
On écrit : A-1
= 1/a. D’où, d(A-1) = n/a.
Exemple. Soit A le
carré,
Pour calculer la densité du carré magique inverse, on
écrit : d(A-1) = n/a = 3/9 = 1/3.
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3.08 Densité du quotient de deux carrés
magiques
Si deux carrés magiques d’ordre 3 sont divisibles
l’un par l’autre, alors la densité du carré magique obtenu est égale à
trois fois le quotient des densités des deux carrés magiques.
Exemple 1. Les deux carrés magiques ne sont pas homogènes.
Soit
A le premier carré et B le second,
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On écrit : d(A/B) = 3d(A)/d(B) =
(3 ´ 39)/156 = 0,75.
Exemple 2. Le dividende est un carré magique non homogène
et le diviseur un carré magique homogène.
Soit C le premier carré et D le
second,
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On écrit : d(C/D) = 3d(C)/d(D) =
(3 ´ 36)/12 = 9.
Exemple 3. Les deux carrés magiques sont homogènes.
Soit
E le premier carré et F le second,
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Voir Chapitre 4
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