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Ceci est le sixième livre édité par Récréomath.

Secrets des carrés 
magiques d'ordre 3


Par Charles-É. Jean

* * *

Chapitre 1. Généralités

Chapitre 2. Opérations sur les carrés magiques

Chapitre 3. La densité

Chapitre 4. Carrés magiques équivalents

Chapitre 5. Des trios de triplets

Chapitre 6. Raisons d'un carré magique (ci-après)

Chapitre 7. Formation d'un carré magique

Chapitre 8. Opérations sur les éléments

 


Chapitre 6

Raisons d'un carré magique

Sommaire. Suites arithmétiques. Relations entre les raisons et les éléments d’un carré magique. Raisons d’un carré magique en relation avec celles du trio et du triplet. Opérations sur les raisons d’un carré magique. Suite de Fibonacci. Suite raisonnable. Raisons de carrés magiques équivalents. Générant de carrés magiques équivalents. Relation des raisons entre un carré magique et son carré opposé. Somme de deux carrés magiques. Suite raisonnable du produit d’un scalaire et d’un carré magique.

* * * * * * * * * * *

6.01 Suites arithmétiques
Dans tout carré magique d’ordre 3, les éléments de la deuxième ligne forment une progression arithmétique. Il en est de même pour la deuxième colonne et pour chacune des deux diagonales.

On appelle raison horizontale celle de la deuxième ligne et elle est notée h.

On appelle raison verticale celle de la deuxième colonne et elle est notée v.

La raison de la diagonale de gauche est notée d1.

La raison de la diagonale de droite est notée d2.

Dans le carré magique :

14

1

12

7

9

11

6

17

4

les raisons sont : h = 2, v = 8, d1 = -5 et d2 = - 3.

6.02 Relations entre les raisons et les éléments d’un carré magique
A. Le premier élément diminué du troisième élément de la première ligne est égal à la raison horizontale.

Soit le carré magique général suivant : 

a8

a1

a6

a3

a5

a7

a4

a9

a2

En effet,
a8 + a3 + a4 = a6 + a5 + a4
a8 + a3 = a6 + a5
a8
- a6 = a5 - a3
D’où, a8 - a6 =
h

B. Le premier élément de la troisième ligne diminué du troisième élément est égal à la raison horizontale.

En effet,
a6 + a5 + a4 = a8 + a5 + a2
a6 + a4 = a8 + a2
a4
- a2 = a8 - a6
Or, a8
- a6 = h (d’après A)
D’où, a4
-
a2 = h

C. Le premier élément de la première colonne diminué du troisième élément est égal à la raison verticale.

En effet,
a8 + a1 + a6 = a6 + a5 + a4
a8 + a1 = a5 + a4
a8
- a4 = a5 - a1
D’où, a8 - a4 =
v

D. Le premier élément de la troisième colonne diminué du troisième élément est égal à la raison verticale.

En effet,
a6 + a5 + a4 = a8 + a5 + a2
a6 + a4 = a8 + a2
a6
- a2 = a8 - a4
Or, a8
- a4 = v (d’après C)
D’où, a6
- a2 = v

Dans le carré, 

6

15

3

5

8

11

13

1

10

on fait : 6 - 3 = 3 et 13 - 10 = 3 : c’est la raison horizontale. On fait : 6 - 13 = -7 et 3 - 10 = -7 : c’est la raison verticale.


6.03 Raisons d’un carré magique en relation avec celles du trio et du triplet

Soit le carré magique suivant dont le trio correspondant est : {(a1, a2, a3), (a4, a5, a6), (a7, a8, a9)}, 

a8

a1

a6

a3

a5

a7

a4

a9

a2

Les raisons du carré magique sont :

h = a5 - a3 = a7 - a5

v = a5 - a1 = a9 - a5

d1 = a5 - a8 = a2 - a5

d2 = a5 - a6 = a4 - a5

Les raisons du triplet et du trio sont respectivement :

r = a2 - a1 = a3 - a2 = a5 - a4 = a6 - a5 = a8 - a7 = a9 - a8

r0 = a4 - a1 = a5 - a2 = a6 - a3 = a7 - a4 = a8 - a5 = a9 - a6

A. La raison du trio diminuée de celle du triplet est égale à la raison horizontale.

En effet,
r0 - r = (a8 - a5) - (a6 - a5)
r0 - r = a8 - a6
Or, a8 - a6 = h (d’après 6.02A)
D’où, r0 - r =
h

B. La somme de la raison du trio et de celle du triplet est égale à la raison verticale.

En effet,
a6 - a2 = v (d’après 6.02D)
a6 - a5 - a2 + a5 = v
- a2 + a5 + a6 - a5 = v
- (a2 - a5) + (a6 - a5) = v
Or, a2
- a5 = -r0 et a6 -
a5 = r
D’où, r0 + r =
v

C. La raison du trio est égale à la raison de la diagonale de gauche munie de signes contraires.

En effet,
r0 = a8 - a5
d1 = a5 - a8
D’où, r0 = -d1

D. La raison du triplet est égale à la diagonale de droite munie de signes contraires.

En effet,
r = a6 - a5
d2 = a5 - a6
D’où, r = -d2

6.04 Opérations sur les raisons d’un carré magique
A. La raison horizontale est égale à la différence de la raison de la deuxième diagonale et la raison de la première diagonale.

En effet,
h = r0 - r (d’après 6.03A)
r0 = -d1 (d’après 6.03C)
r = -d2 (d’après 6.03D)
D’où, h = -d1 + d2 = d2 - d
1

B. La somme des deux raisons diagonales est égale à la raison verticale munie de signes contraires. 

En effet,
v = r0 + r (d’après 6.03B)
r0 = -d1 (d’après 6.03C)
r = -d2 (d’après 6.03D)
v = -d1 + -d2
D’où, d1 + d2 = –v.

C. La somme de la raison horizontale et de la raison verticale est égale au double de la raison de la diagonale de gauche muni de signes contraires.

En effet,
h = d2d1 (d’après 6.04A)
d1 + d2 = –v (d’après 6.04B)
D’où, h + v = - 2d1.

6.05 Suite de Fibonacci
Soit une suite x1, x2, x3, x4, si x1 + x2 = x3 et si x2 + x3 = x4, on dit que c’est une suite de Fibonacci. Les quatre raisons d’un carré magique forment une suite de Fibonacci quand on les place dans cet ordre : h, d1, d2, - v.

En effet,
h = d2 - d1 (d’après 6.04A). D’où, h + d1 = d2.
d1 + d2 = - v (d’après 6.04B).

Il peut se présenter différents cas :

1) si h = v, alors d2 = 0 et d1 = -h, on aura la suite : h, -h, 0, -h.

2) si d1 = d2, alors h = 0 et v = -2d1, on aura la suite : 0, d1, d1, -2d1.

3) si h = d1, alors d2 = 2h et v = -3h, on aura la suite : h, h, 2h, -3h.

4) si d1 = v, alors d2 = - 2v et h = -3v, on aura la suite : - 3v, v, - 2v, v.

5) si h = d2, alors d1 = 0 et v = -h, on aura la suite : h, 0, h, -h.

6) si d2 = v, alors d1 = -2v et h = 3v, on aura la suite : 3v, - 2v, v, v.

6.06 Suite raisonnable
On peut former une suite arithmétique avec h, d2, - v. La raison diagonale d1 est la raison de cette suite. On appelle d1 le générant de cette suite qu’on appelle raisonnable. Dans cette suite, d1 = d2 - h et d1 = - vd2.

Dans le carré,

13

1

10

5

8

11

6

15

3


h = 3, d2 = -2, v = 7. La suite est : 3, - 2, -7. Le générant est -5 qui est égal à d1.

6.07 Raisons de carrés magiques équivalents
A. Dans un carré magique, toute raison est égale à la raison d’un carré magique obtenu par une symétrie par rapport à la rangée donnée. Soit un carré magique A, on peut écrire :

h(A) = h(Ah      d1(A) = d1(Ag      d2(A) = d2(Ad      v(A) = v(Av)

Cette proposition est triviale car les éléments de la rangée donnée ne bougent pas.

B. Les raisons du carré interhorizontal et du carré intervertical d’un même carré magique sont de signes contraires ; de même, les raisons du carré intergauche et interdroit sont de signes contraires. Soit B le carré magique suivant,

4

12

5

8

7

6

9

2

10

Le tableau ci-dessous donne les raisons, la suite de Fibonacci, la suite raisonnable et le générant pour B et ses carrés magiques symétriques.

 

h

d1

d2

v

Suite de Fibonacci

Suite raisonnable

Générant

B

- 1

3

2

- 5

- 1, 3, 2, 5

-1, 2, 5

3

Bh

- 1

- 2

- 3

5

-1, -2, -3, -5

-1, -3, -5

- 2

Bg

- 5

3

- 2

- 1

-5, 3, -2, 1

-5, -2, 1

3

Bd

5

- 3

2

1

5, -3, 2, -1

5, 2, -1

- 3

Bv

1

2

3

- 5

1, 2, 3, 5

1, 3, 5

2

6.08 Générant de carrés magiques équivalents
La différence du générant d’un carré magique A et de son carré intergauche Ag est nulle. En effet, les éléments de la première diagonale sont les mêmes et demeurent dans la même position. La raison d1 est donc la même. Soit s le générant, alors s(A) = s(Ag). D’où, s(A) - s(Ag) = 0.

La somme du générant d’un carré interhorizontal de A et de celui d’un carré intervertical de A est nulle. Les deux carrés ont un générant de signes contraires. En effet, les éléments de la première diagonale sont les mêmes ; mais ceux des extrémités sont intervertis. Les raisons d1 sont donc de signes contraires. On a : s(Ah) = - s(Av). D’où, s(Ah) + s(Av) = 0.

La somme du générant d’un carré intergauche de A et de celui du carré interdroit de A est nulle. Les deux carrés ont un générant de signes contraires. On a : s(Ag) = - s(Ad). D’où, s(Ag) + s(Ad) = 0.

 

6.09 Relation des raisons entre un carré magique et son carré opposé
Toute raison d’un carré magique opposé de A est égale à l’inverse additif de la raison de A.

h(-A) = -h(A)       d1(-A) = -d1(A)       d2(-A) - = -d2(A)       v(-A) = -v(A)

Soit A le premier carré magique et -A le second,

40

8

36

 

-40

-8

-36

24

28

32

 

-24

-28

-32

20

48

16

 

-20

-48

-16

on a : h(A) = 4 et h(-A) = - 4. D’où, h(- A) = - h(A).

La suite raisonnable de A est : 4, -8, -20. Le générant est -12. La suite raisonnable de - A est : - 4, 8, 20. Le générant est 12.


6.10 Somme de deux carrés magiques
La suite raisonnable d’une somme de deux carrés magiques est égale à la somme des éléments de même rang. De même, le générant de la somme de deux carrés magiques est égal à la somme du générant de A et du générant de B.

Soit A le premier carré magique et B le second,

9

4

5

 

24

3

18

2

6

10

 

9

15

21

7

8

3

 

12

27

6

La suite raisonnable de A est : 4, 1, -2. Le générant est -3. La suite de B est : 6, -3, -12. Le générant est -9. La suite de (A + B) est 10, -2, -14. Le générant est -12.

6.11 Suite raisonnable du produit d’un scalaire et d’un carré magique
Toute raison d’un carré magique obtenu par le produit d’un scalaire k et d’un carré magique A est égale au produit du scalaire k et du générant du carré magique A.

h(kA) = kh(A)         d1(kA) = kd1(A)         d2(kA) = kd2(A)         v(kA) = kv(A)

Soit k un scalaire et A ce carré magique.

11

18

13

16

14

12

15

10

17

alors 5A =

55

90

65

80

70

60

75

50

85

La suite raisonnable de A est : -2, 1, 4. Le générant est 3. La suite de 5A est : -10, 5, 20. Le générant est 15.

Voir Chapitre 7