6.01 Suites arithmétiques
Dans tout carré magique d’ordre 3, les éléments de la deuxième ligne forment une progression arithmétique. Il en est de même pour la deuxième colonne et pour chacune des deux diagonales.

On appelle raison horizontale celle de la deuxième ligne et elle est notée h.

On appelle raison verticale celle de la deuxième colonne et elle est notée v.

La raison de la diagonale de gauche est notée d₁.

La raison de la diagonale de droite est notée d₂.

Dans le carré magique :

les raisons sont : h = 2, v = 8, d₁ = -5 et d₂ = - 3.

6.02 Relations entre les raisons et les éléments d’un carré magique
A. Le premier élément diminué du troisième élément de la première ligne est égal à la raison horizontale.

Soit le carré magique général suivant : 

Dans le carré, 

on fait : 6 - 3 = 3 et 13 - 10 = 3 : c’est la raison horizontale. On fait : 6 - 13 = -7 et 3 - 10 = -7 : c’est la raison verticale.

6.03 Raisons d’un carré magique en relation avec celles du trio et du triplet
Soit le carré magique suivant dont le trio correspondant est : {(a₁, a₂, a₃), (a₄, a₅, a₆), (a₇, a₈, a₉)}, 

Les raisons du carré magique sont :

h = a₅ - a₃ = a₇ - a₅

v = a₅ - a₁ = a₉ - a₅

d₁ = a₅ - a₈ = a₂ - a₅

d₂ = a₅ - a₆ = a₄ - a₅

6.04 Opérations sur les raisons d’un carré magique
A. La raison horizontale est égale à la différence de la raison de la deuxième diagonale et la raison de la première diagonale.

En effet,
h = r₀ - r (d’après 6.03A)
r₀ = -d₁ (d’après 6.03C)
r = -d₂ (d’après 6.03D)
D’où, h = -d₁ + d₂ = d₂ - d₁

B. La somme des deux raisons diagonales est égale à la raison verticale munie de signes contraires. 

En effet,
v = r₀ + r (d’après 6.03B)
r₀ = -d₁ (d’après 6.03C)
r = -d₂ (d’après 6.03D)
v = -d₁ + -d₂
D’où, d₁ + d₂ = –v.

En effet,
h = d₂ – d₁ (d’après 6.04A)
d₁ + d₂ = –v (d’après 6.04B)
D’où, h + v = - 2d₁.

6.05 Suite de Fibonacci
Soit une suite x₁, x₂, x₃, x₄, si x₁ + x₂ = x₃ et si x₂ + x₃ = x₄, on dit que c’est une suite de Fibonacci. Les quatre raisons d’un carré magique forment une suite de Fibonacci quand on les place dans cet ordre : h, d₁, d₂, - v.

En effet,
h = d₂ - d₁ (d’après 6.04A). D’où, h + d₁ = d₂.
d₁ + d₂ = - v (d’après 6.04B).

1) si h = v, alors d₂ = 0 et d₁ = -h, on aura la suite : h, -h, 0, -h.

2) si d₁ = d₂, alors h = 0 et v = -2d₁, on aura la suite : 0, d₁, d₁, -2d_1.

3) si h = d₁, alors d₂ = 2h et v = -3h, on aura la suite : h, h, 2h, -3h.

4) si d₁ = v, alors d₂ = - 2v et h = -3v, on aura la suite : - 3v, v, - 2v, v.

5) si h = d₂, alors d₁ = 0 et v = -h, on aura la suite : h, 0, h, -h.

6) si d₂ = v, alors d₁ = -2v et h = 3v, on aura la suite : 3v, - 2v, v, v.

6.06 Suite raisonnable
On peut former une suite arithmétique avec h, d₂, - v. La raison diagonale d₁ est la raison de cette suite. On appelle d₁ le générant de cette suite qu’on appelle raisonnable. Dans cette suite, d₁ = d₂ - h et d₁ = - v – d₂.

Dans le carré,

h = 3, d₂ = -2, v = 7. La suite est : 3, - 2, -7. Le générant est -5 qui est égal à d₁.

6.07 Raisons de carrés magiques équivalents
A. Dans un carré magique, toute raison est égale à la raison d’un carré magique obtenu par une symétrie par rapport à la rangée donnée. Soit un carré magique A, on peut écrire :

h(A) = h(A^h)       d₁(A) = d₁(A^g)       d₂(A) = d₂(A^d)       v(A) = v(A^v)

B. Les raisons du carré interhorizontal et du carré intervertical d’un même carré magique sont de signes contraires ; de même, les raisons du carré intergauche et interdroit sont de signes contraires. Soit B le carré magique suivant,

Le tableau ci-dessous donne les raisons, la suite de Fibonacci, la suite raisonnable et le générant pour B et ses carrés magiques symétriques.

6.08 Générant de carrés magiques équivalents
La différence du générant d’un carré magique A et de son carré intergauche A^g est nulle. En effet, les éléments de la première diagonale sont les mêmes et demeurent dans la même position. La raison d₁ est donc la même. Soit s le générant, alors s(A) = s(A^g). D’où, s(A) - s(A^g) = 0.

La somme du générant d’un carré interhorizontal de A et de celui d’un carré intervertical de A est nulle. Les deux carrés ont un générant de signes contraires. En effet, les éléments de la première diagonale sont les mêmes ; mais ceux des extrémités sont intervertis. Les raisons d₁ sont donc de signes contraires. On a : s(A^h) = - s(A^v). D’où, s(A^h) + s(A^v) = 0.

La suite raisonnable de A est : 4, -8, -20. Le générant est -12. La suite raisonnable de - A est : - 4, 8, 20. Le générant est 12.

6.10 Somme de deux carrés magiques
La suite raisonnable d’une somme de deux carrés magiques est égale à la somme des éléments de même rang. De même, le générant de la somme de deux carrés magiques est égal à la somme du générant de A et du générant de B.

6.11 Suite raisonnable du produit d’un scalaire et d’un carré magique
Toute raison d’un carré magique obtenu par le produit d’un scalaire k et d’un carré magique A est égale au produit du scalaire k et du générant du carré magique A.

h(kA) = kh(A)         d₁(kA) = kd₁(A)         d₂(kA) = kd₂(A)         v(kA) = kv(A)