2.01 Somme de deux carrés magiques d’ordre 3
Si on additionne les éléments homologues de deux carrés magiques A et B d’ordre 3, on obtient un troisième carré magique C. Soit A le premier carré magique et B le second,

Puisque A est un carré magique, on a : a₁ + a₂ + a₃ = a₄ + a₅ + a₆ = a₇ + a₈ + a₉. Puisque B est un carré magique, on a : b₁ + b₂ + b₃ = b₄ + b₅ + b₆ = b₇ + b₈ + b₉.

En additionnant membre à membre chacune des égalités, on obtient :
a₁ + b₁ + a₂ + b₂ + a₃ + b₃ = a₄ + b₄ + a₅ + b₅ + a₆ + b₆ = a₇ + b₇ + a₈ + b₈ + a₉ + b₉.

Les sommes horizontales sont égales. On pourrait faire de même pour les sommes verticales et diagonales.

Exemple 2. Soit A le premier carré magique, B le deuxième,

Quand on additionne un carré magique d’ordre 3 et un scalaire correspondant à un carré magique du même ordre, on obtient un autre carré magique. Par exemple, si on additionne le scalaire 4 au premier carré magique ci-après, on obtient le second carré qui est aussi magique.

2.02 Somme d’un carré magique et de son opposé
Le carré dont les éléments sont les inverses additifs des éléments homologues de A_n est appelé carré magique opposé de A_n. Il est noté –A_n. On peut montrer que ce carré opposé est un carré magique en vérifiant que les sommes horizontales, verticales et diagonales sont égales. Exemple. Soit A le premier carré et -A le second, - A est le carré magique opposé de A.

2.03 Différence de deux carrés magiques d’ordre 3
La différence des deux carrés magiques A et B d’ordre 3 est égale à un troisième carré magique d’ordre 3 obtenu par la soustraction des éléments homologues de A et de B. 

Soit A le premier carré magique, B le second,

alors A - B est un carré magique. En effet, A - B = A + (-B). 

Donc, A - B ci-dessous est un carré magique.

Quand on soustrait un carré magique d’ordre 3 et un scalaire correspondant à un carré magique du même ordre, on obtient un autre carré magique. Exemple.  

Le deuxième carré magique est égal au premier multiplié par 1/101.

2.06 Quotient de deux carrés magiques
On peut diviser un carré magique non homogène par un autre et obtenir un carré magique comme quotient, à la condition que l’un des deux carrés soit un multiple ou un sous-multiple de l’autre. Le carré magique obtenu est alors homogène. Soit A et B deux carrés magiques,

À la suite de la division de l’un par l’autre, on obtient dans l'ordre A/B et B/A.  

2.07 Élévation d’un carré magique à une puissance
On peut élever un carré magique homogène à une puissance p en élevant chacun des éléments du carré magique à cette même puissance p. Exemple 1. Soit A le premier carré et A³ le second, On peut élever un carré magique homogène à une puissance p en élevant chacun des éléments du carré magique à cette même puissance p. Exemple 1. Soit A le premier carré et A³ le second,

2.12 Carrés magiques dont les éléments sont des variables
Il arrive parfois qu’un carré magique soit formé d’éléments qui sont des variables. On cherche alors à connaître la valeur de ces variables en faisant chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale égales entre elles deux à deux. On obtient ainsi (2n² + 3n + 1) équations. Lorsque n = 3, on aura 28 équations.

Trois cas peuvent se présenter :

¥ La solution est unique. Exemple. Soit le carré magique A,