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En 1799, Jacques Lacombe publia Dictionnaire
encyclopédique des amusements des sciences mathématiques et physiques. On
y trouve rassemblées à peu près toutes les connaissances de l’époque dans le
domaine des sciences et des arts.
Dans l’article Arithmétique, il écrit :
"Cette science offre un grand nombre de spéculations et de recherches
curieuses ; dans la moisson que nous en avons faite, nous nous sommes bornés à
ce qui est le plus propre à piquer la curiosité de ceux qui ont le goût des
mathématiques."
Dans cet article, Lacombe traite du système de numération,
de la multiplication par les doigts, des bâtons de Neper, de l’arithmétique
pour les aveugles, des propriétés des nombres, des nombres parfaits, amiables
et figurés, des carrés, des progressions arithmétiques et géométriques, des
combinaisons et des probabilités. Puis, il présente une série de
récréations mathématiques qu’il qualifie de problèmes curieux.
Dans ce dictionnaire, nous avons choisi 34 récréations et
sept énigmes. Nous avons adapté le texte au français contemporain et la
ponctuation aux règles en vigueur. Au besoin, nous avons restauré certains
caractères, chiffres ou lettres, qui étaient devenus illisibles. Nous avons
conservé les unités de mesure de l’époque.
Les rares corrections que nous avons faites sur le fond sont
placées entre crochets. Nous avons reproduit les solutions de Lacombe, en les
abrégeant au besoin et en mentionnant la démarche que celui-ci a utilisée.
Lorsque nous connaissons l’origine du problème, nous l’avons mentionnée.
Pour chaque problème, nous avons indiqué la page du dictionnaire.
Les récréations retenues proviennent de différents
auteurs cités ici par ordre chronologique.
Albinus Flaccus
Alcuin (735-804) dans Propositions pour aiguiser la perspicacité des jeunes
Anthologie grecque (9e
siècle), une compilation de textes écrits par des auteurs grecs anciens
Nicolas Chuquet
(1445-1500) dans Triparty en la science des nombres
Nicholas Tartaglia
(1500-1557) dans Arithmétique
Claude Gaspar Bachet
(1581-1638) dans Problèmes plaisans et délectables qui se font par les
nombres
Jacques Ozanam
(1640-1717) dans Récréations mathématiques et physiques
André-Joseph
Panckoucke (1700-1753) dans Les amusemens mathématiques
* * *
Problème 1
Il y a un panier et
100 cailloux rangés en ligne droite et à des espaces égaux d'une toise.
On propose de les ramasser et de les rapporter dans le panier un à un, en
allant d'abord chercher le premier, ensuite le second, et ainsi de suite
jusqu'au dernier.
Combien de toises doit faire celui
qui entreprendra cet ouvrage ? (p. 133)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 1. Il est bien clair que
pour le premier caillou, il faut faire deux toises, une pour aller et
l'autre pour revenir ; que pour le second, il faut faire quatre
toises, deux pour aller deux pour revenir ; et ainsi de suite, en
augmentant de deux jusqu'au 100e, qui exigera 200 toises de
chemin, 100 pour aller et 100 pour revenir. Il est d’ailleurs facile d’apercevoir
que ces nombres forment une progression arithmétique dont le nombre de
termes est 100 ; le premier 2 et le centième 200. Ainsi la somme
totale sera le produit de 202 par 50 ou 10 100 toises.
Problème 2
Un propriétaire est
convenu avec un maçon qui doit lui creuser un puits, de lui donner trois
livres pour la première toise de profondeur, cinq pour la seconde, sept
pour la troisième, et ainsi jusqu'à la vingtième toise inclusivement,
où il doit rencontrer l’eau.
On demande combien il sera dû au
maçon quand il aura fini son ouvrage. (p. 133)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 2. La réponse est
facile, au moyen des règles données plus haut : car la différence
des termes est ici 2 ; le nombre des termes est 20. Conséquemment,
pour avoir le 20e terme, il faut multiplier 2 par 19 et ajouter
le produit 38 à 3, le premier terme, ce qui donnera 41 pour le 20e
terme. Ajoutez ensuite le premier et le dernier terme c'est-à-dire 3 et
41, ce qui donne 44. Multipliez cette somme par 10, moitié du nombre des
termes. Vous aurez 440 pour la somme de tous les termes de la progression
et pour le prix total de l'ouvrage.
Problème 3
Un homme doit 1860
livres à un créancier qui veut bien lui faciliter le moyen de s'en
acquitter en un an, sous les conditions suivantes ; à savoir de lui
payer le premier mois la somme de 100 livres, et ensuite chaque mois une
somme de plus que le précédent, jusqu'au douzième qui complétera le
paiement.
On demande quelle est cette somme
dont le paiement de chaque mois doit être augmenté. (p. 134)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 3. [... Pour trouver la
différence entre chaque somme,] ôtez d'abord de la somme totale le
premier paiement multiplié par le nombre des termes c'est-à-dire ici
1200 livres, il restera 660. Multipliez ensuite le nombre des termes
diminué de l'unité ou 11, par la moitié du nombre des termes ou 6, vous
aurez le nombre 66 par lequel vous diviserez le reste 660. Le quotient
sera 10 et sera la différence cherchée. Ainsi le premier paiement étant
100, le second sera 110, le troisième 120, enfin le dernier 210.
Problème 4
Sept personnes devant
dîner ensemble, il s'élève entre elles un combat de politesse sur les
places. Enfin, quelqu'un voulant terminer la contestation propose de se
mettre à table comme l'on se trouve, sauf à dîner ensemble le lendemain
et les jours suivants, jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les
arrangements possibles.
On demande combien de dîners
devront être donnés pour cet effet. (p. 143)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 4. Lacombe explique que
deux choses peuvent être arrangées de deux manières, soit 1 ´ 2, trois
choses de six manières, soit 1 ´
2 ´
3 ; quatre choses de 24
manières, soit 1 ´
2 ´
3 ´
4, ..., sept choses de 5040 manières, soit
1 ´
2 ´
3 ´
4, ´
5 ´
6 ´
7. Les sept personnes devront prendre 5040
dîners, soit sur une période de 13 ans et plus de neuf mois.
Problème 5
Deux personnes
conviennent de prendre alternativement des nombres moindres qu'un nombre
donné, par exemple 11, et de les ajouter ensemble jusqu'à ce que l'un
des deux puisse atteindre, par exemple, 100.
Comment doit-on faire pour y
arriver infailliblement le premier ? (p. 164)
Récréation posée par Bachet
(1581-1638) et reprise par Ozanam (1640-1717)
Solution 5. Lacombe explique qu’à
partir de 100, on soustrait successivement 11. On obtient : 89, 78,
67, 56, 45, 34, 23, 12, 1. Aussitôt que c’est possible, un joueur
atteint un de ces nombres et fait en sorte, par la suite, de toujours
atteindre l’un d’eux. C’est une stratégie gagnante.
Problème 6
Quinze chrétiens et
quinze Turcs se trouvent sur mer dans un même vaisseau. Il survient une
furieuse tempête. Après avoir jeté dans l’eau toutes les
marchandises, le pilote annonce qu'il n'y a de moyen de se sauver que de
jeter encore à la mer la moitié des personnes. Il les fait ranger de
suite et en comptant de 9 en 9, on jette le neuvième à la mer, en
recommençant de compter le premier du rang quand il est fini. Il se
trouve qu’après avoir jeté 15 personnes, les 15 chrétiens sont
restés.
Comment a-t-il disposé les 30
personnes pour sauver les chrétiens ? (p. 166)
Récréation inspirée par Abraham
ben Ezra (1092-1167), posée par Tartaglia (1500-1557) et reprise par
Ozanam (1640-1717)
Solution 6. Lacombe explique que
la disposition de ces 30 personnes pourra être tirée de ces deux vers.
Mort tu ne falliras* pas
En me livrant le trépas.
On donne aux voyelles une valeur
différente : A = 1, E = 2, I = 3, O = 4 et U = 5. On suit l’ordre
des voyelles et on alterne le nombre de chrétiens et de Turcs.
[Il doit y avoir dans l'ordre 4
chrétiens, 5 Turcs, 2 chrétiens, 1 Turc, 3 chrétiens, 1 Turc, 1
chrétien, 2 Turcs, 2 chrétiens, 3 Turcs, 1 chrétien, 2 Turcs, 2
chrétiens et 1 Turc. Les chrétiens doivent occuper les places de rangs
1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 20, 21, 25, 28 et 29]
*Vieux mot pour failliras
Problème 7
Sur le bord d'une
rivière se trouvent un loup, une chèvre et un chou. Il n'y a qu'un
bateau si petit que le batelier seul et l’un d'eux peuvent y tenir. Il
est question de les passer de sorte que le loup ne fasse aucun mal à la
chèvre, ni la chèvre au chou. (p. 167)
[Comment s’y
prendra-t-on ?]
Récréation posée par Alcuin
(735-804), reprise par Chuquet (1445-1500), par Tartaglia (1500-1557) et
par Ozanam (1640-1717)
Solution 7. Le batelier commencera
par passer la chèvre, puis il retournera prendre le loup. Après avoir
passé le loup, il ramènera la chèvre qu'il laissera à bord pour passer
le chou. Enfin, il retournera à vide chercher la chèvre qu'il passera.
Ainsi le loup ne se trouvera jamais avec la chèvre, ni la chèvre avec le
chou qu'en présence du batelier.
Problème 8
Trois maris jaloux se
trouvent avec leurs femmes au passage d'une rivière. Ils rencontrent un
bateau sans batelier. Ce bateau est si petit qu'il ne peut porter que deux
personnes à la fois.
On demande comment ces six
personnes passeront deux à deux, en sorte qu'aucune femme ne demeure en
la compagnie d'un ou de deux hommes, si son mari n'est présent. (p. 167)
Récréation posée par Alcuin
(735-804), reprise par Tartaglia (1500-1557) et par Ozanam (1640-1717)
Solution 8. Deux femmes passeront
d'abord ; puis l'une ayant ramené le bateau, repassera avec la troisième
femme. Ensuite, l'une des trois femmes ramènera le bateau et se mettant
à terre, laissera passer les deux hommes dont les femmes sont de
l'autre côté. Alors, un des hommes ramènera sa femme et la mettant à
terre, il prendra le troisième homme et repassera avec lui. Enfin,
la femme qui se trouve passée entrera dans le bateau et ira en deux fois
chercher les deux autres femmes.
Problème 9
Quelqu'un ayant une
bouteille de huit pintes pleine d'un vin excellent en veut faire présent
de la moitié ou de quatre pintes à un ami ; mais il n'a pour le mesurer
que deux autres vases, l'un de cinq, l’autre de trois pintes.
Comment doit-il faire pour mettre
quatre pintes dans le vase de cinq ? (p. 168)
Récréation posée par Alcuin
(735-804), reprise par Tartaglia (1500-1557) et par Ozanam (1640-1717)
Solution 9. Lacombe a donné le
tableau suivant et l’explicite. Par exemple, en E, on prend 5 pintes
dans le A et on le verse dans le B et ainsi de suite.
| |
|
D |
E |
F |
G |
H |
J |
K |
|
8 |
A |
8 |
3 |
3 |
6 |
6 |
1 |
1 |
|
5 |
B |
0 |
5 |
2 |
2 |
0 |
5 |
4 |
|
3 |
C |
0 |
0 |
3 |
0 |
2 |
2 |
3 |
Problème 10
Une personne a une
bouteille de 12 pintes pleine de vin. Il en veut donner six pintes au
frère quêteur. Il n'a, pour les mesurer, que deux autres bouteilles,
l'une de sept pintes et l'autre de cinq.
Que doit-il faire pour avoir les
six pintes dans la bouteille de sept pintes ? (p. 168)
Récréation posée par Alcuin
(735-804), reprise par Tartaglia (1500-1557) et par Ozanam (1640-1717)
Solution 10. Lacombe a donné le
tableau suivant.
|
12 |
D |
12 |
7 |
7 |
2 |
2 |
9 |
4 |
11 |
6 |
|
7 |
S |
0 |
0 |
5 |
5 |
7 |
3 |
7 |
1 |
6 |
|
5 |
C |
0 |
5 |
0 |
5 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Problème 11
Distribuez entre
trois personnes 21 tonneaux, dont sept pleins, sept vides et sept
demi-pleins, en sorte que chacune ait la même quantité de vin et de
tonneaux. (p. 170)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 11. Ce problème admet
deux solutions.
I. A : 2 pleins, 2 vides, 3
demi-pleins
B : 2 pleins, 2 vides, 3
demi-pleins
C : 3 pleins, 3 vides, 1
demi-plein
II. A : 3 pleins, 3 vides, 1
demi-plein
B : 3 pleins, 3 vides, 1
demi-plein
C : 1 plein, 1 vide, 5
demi-pleins
Il est évident que dans ces deux
combinaisons chaque personne aura 7 tonneaux dont 3 tonneaux et demi de
vin. Il est au reste facile de voir qu’il est nécessaire que le nombre
total des tonneaux soit indivisible par le nombre des personnes car
autrement la chose demandée serait impossible.
Problème 12
Un père de famille
ordonne, par son testament, que l’aîné de ses enfants prendra sur tous
ses biens 10 000 livres et la septième partie de ce qui restera, le
second 20 000 livres et la septième partie de ce qui restera, le
troisième 30 000 livres et la septième partie du surplus ; et ainsi
jusqu'au dernier, en augmentant toujours de 10 000 livres. Ses enfants
ayant suivi la disposition du testament, il se trouve qu'ils ont été
également partagés.
On demande combien il y avait
d'enfants, quel était le bien de ce père et quelle a été la part de
chacun des enfants. (p. 171)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 12. On trouve, par
l'analyse, que le bien du père était de 360 000 livres, qu'il y avait
six enfants et qu'ils ont eu chacun 60 000 livres. En effet, le premier
prenant 10 000, le restant du bien est 350 000 livres, dont la septième
partie est 50 000 qui, avec 10 000, font 60 000 livres. Le premier enfant
ayant pris sa portion, il reste 300 000 livres ; sur laquelle somme,
le second prenant 20 000 livres, le restant est 280 000. Donc, la
septième partie est 40 000 qui, avec les 20 000 ci-dessus,
font encore 60 000 livres et ainsi de suite.
Problème 13
Un homme rencontre,
en sortant de sa maison, un certain nombre de pauvres. Il veut leur
distribuer l’argent qu'il a sur lui. Il trouve qu'en donnant à chacun
neuf sous, il en a 32 de moins qu'il ne faut ; mais qu'en en donnant a
chacun sept, il lui en reste 24.
Quels étaient le nombre des
pauvres et la somme que cet homme avait dans sa bourse ? (p. 171)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 13. Il y avait 28 pauvres
et cet homme avait dans sa bourse 11 livres. Car, en multipliant 28 par 9,
on trouve 252 dont ôtant 32, puisqu'il manquait 32 sous, le restant est
220 sous qui valent 11 livres. Mais, en donnant à chacun des pauvres 7
sous, il n'en fallait que 196 ou 7 fois 28. Par conséquent, il restait 1
livre et 4 sous.
Note : Une livre vaut 20 sous.
Problème 14
Un particulier a
acheté pour la somme de 100 livres un lot de bouteilles de vin, composé
de 100 bouteilles de vin de Bourgogne et 80 de vin de Champagne. Un autre
a pareillement acheté au même prix, pour la somme de 95 livres, 85
bouteilles du premier et 70 du second.
On demande combien leur ont
coûté l'une et l'autre espèce de vin. (p. 171)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 14. On trouvera que le
vin de Bourgogne leur a coûté 10 sous la bouteille et celui de Champagne
15. Il est aisé de le prouver.
Note : Une livre vaut 20 sous.
Problème 15
Un père en mourant
laisse sa femme enceinte. II ordonne par son testament que, si elle
accouche d'un mâle, il héritera des deux tiers de son bien et sa femme
de l'autre tiers ; mais si elle accouche d'une fille, la mère héritera
des deux tiers et la fille d'un tiers. Cette femme accouche de deux
enfants, un garçon et une fille.
Quelle sera la part de
chacun ? (p. 171)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 15. Ce problème n'a de
difficulté que celle de reconnaître la volonté du testateur. Or, on a
coutume de l'interpréter ainsi : Puisque ce testateur a ordonné que,
dans le cas où sa femme accoucherait d'un garçon, cet enfant aura les
deux tiers de son bien et la mère un tiers, il s'ensuit que son dessein a
été de faire à son fils un avantage double de celui de la mère.
Puisque dans le cas où celle-ci accouchera d'une fille, il a voulu que la
mère eût les deux tiers de son bien et la fille l'autre tiers, on en
doit conclure que son dessein a été que la part de la mère fut double
de celle de la fille. Pour allier donc ces deux conditions, il faut
partager la succession de manière que le fils ait deux fois autant que la
mère et la mère deux fois autant que la fille. Ainsi, en supposant le
bien à partager de 30 000 livres, la part du fils serait de 17 142 livres
6/7, celle de la mère de 8571 3/7 et celle de la fille de 4285 5/7.
Problème 16
Un lion de bronze
placé sur le bassin d'une fontaine peut jeter l’eau par la gueule, par
les yeux et par le pied droit. S'il jette l’eau par la gueule, il
remplira le bassin en six heures. S'il la jette par l'oeil droit, il le
remplira en deux jours et la jetant par l’oeil gauche, il le remplirait
en trois jours. Enfin, en la jetant par le pied, il la remplira en quatre
jours.
En combien de temps le bassin
sera-t-il rempli, lorsque l'eau sortira à la fois par toutes ces
ouvertures ? (p. 172)
Récréation posée Ozanam
(1640-1717)
Solution 16. Pour résoudre ce
problème, on observera que le lion, jetant l'eau par la gueule, remplit
le bassin dans 6 heures, il en remplira un sixième dans une heure.
Puisque, la jetant par l'oeil droit, il le remplit en deux jours, dans une
heure il en remplira 1/48. On trouvera de même qu'il en remplira 1/72
dans une heure en jetant l'eau par l'oeil gauche et 1/96 en la jetant par
le pied. Donc, la jetant par les quatre ouvertures à la fois, il en
fournira dans une heure 1/6 + 1/48 + 1/72 + 1/96 c'est-à-dire, en
ajoutant toutes ces fractions, les 61/288. Qu'on fasse donc cette
proportion : Si les 61/288 ont été fournies en une heure ou 60 minutes,
combien la totalité du bassin exigera-t-elle de minutes ? L'on trouvera 4
heures 43 minutes et 16 secondes.
Problème 17
Un mulet et un âne
faisant voyage ensemble, l’âne se plaignait du fardeau dont il était
chargé. Le mulet lui dit :
- Animal paresseux, de quoi te plains-tu ? Si tu me donnais un des
sacs que tu portes, j'en aurais le double des tiens ; mais si je t'en
donnais un des miens, nous en aurions seulement autant l'un que l'autre.
On demande quel était le nombre
de sacs dont l'un et l'autre étaient chargés. (p.
172)
Récréation tirée de l’Anthologie
grecque (9e siècle) et reprise par Ozanam (1640-1717)
Solution 17. Puisque le mulet
donne une de ses mesures à l'ânesse, ils se trouvent également
chargés. Il est évident que la différence des mesures qu'ils portent
est égale à 2. Maintenant, si le mulet en reçoit une de celles de
l'ânesse, la différence sera 4. Mais alors, le mulet aura le double du
nombre des mesures de l'ânesse. Conséquemment, le mulet en aura huit et
l'ânesse quatre. Que le mulet en rende donc une à l'ânesse et celle-ci
en aura cinq et le premier en aura sept. Ce sont les nombres de mesures
dont ils étaient chargés et la réponse à la question.
Problème 18
Les trois Grâces
portant des oranges dont elles ont chacune un égal nombre sont
rencontrées par les neuf Muses qui leur en demandent. Elles leur en
donnent chacune le même nombre. Après cela chaque Muse et chaque Grâce
se trouvent également partagées.
Combien en avaient les premières
? (p. 173)
Récréation posée dans l’Anthologie
grecque (9e siècle) et reprise par Ozanam (1640-1717)
Solution 18. Le moindre nombre qui
satisfait à la question est 12 ; car, en supposant que chaque Grâce en
eût donné une à chaque Muse, elles se trouveront en avoir chacune 3 et
il en restera 3 à chaque Grâce. Les nombres 24, 36, ... satisferont
également à la question. Après la distribution faite, chacune des
Grâces et des Muses en aura eu 6, 9, etc.
Problème
19
Dis-moi illustre
Pythagore combien de disciples fréquentent ton école ?
- Je vais te le dire, répond le
philosophe. Une moitié étudie les mathématiques, un quart la physique,
un septième garde le silence et il y a de plus trois femmes. (p. 173)
Récréation tirée de l’Anthologie
grecque (9e siècle) et reprise par Ozanam (1640-1717)
Solution 19.
Il
s'agit de trouver un nombre dont une moitié, un quart et un septième en
y ajoutant 3 fassent ce nombre lui même. Il est aisé de répondre que ce
nombre est 28.
Problème 20
La somme de 500
livres ayant été partagée entre quatre personnes, il se trouve que les
deux premières ensemble ont eu 285 livres, la seconde et la troisième
220 livres, enfin la troisième et la quatrième 215 livres. De plus, le
rapport de la part de la première à celle de la dernière est de 4 à 3.
On demande combien chacune a eu.
(p. 174)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 20. La solution de ce
problème est des plus faciles. La première a eu 160 livres, la seconde
125, la troisième 95 et la quatrième 120. Il faut remarquer que, sans la
dernière condition, ou une quatrième quelconque, le problème serait
indéterminé, c'est-à-dire qu'on pourrait y satisfaire d'une infinité
de manières. C'est cette dernière condition qui limite la solution à
une seule.
Problème 21
Un ouvrier se loue
à ces conditions qu'on lui donnera 30 sous par jour lorsqu'il
travaillera, mais que chaque jour qu'il chômera il rendra 15 sous. Après
40 jours, son décompte monte à 33 livres.
On demande combien de jours il a
travaillé et combien il en a chômé. (p. 174)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Note : Une livre vaut 20
sous.
Solution 21. Il a travaillé 28
jours des 40 et il en a chômé 12.
Problème 22
Un homme a perdu sa
bourse, et ne sait pas précisément le compte de l’argent qu'il y
avait. Il se rappelle seulement qu'en le comptant deux à deux pièces, ou
trois à trois, ou cinq à cinq, il restait toujours une pièce ; mais, en
les comptant sept à sept il ne restait rien.
[Combien l’homme avait-il dans
sa bourse ?] (p. 174)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 22. On voit aisément
que, pour résoudre ce problème, il est question de trouver un nombre qui
divisé par 7, ne laisse aucun reste et étant divisé par 2, par 3, ou
par 5, laisse toujours 1. Plusieurs méthodes plus ou moins savantes
peuvent y conduire, mais voici la plus simple.
Puisque le nombre des pièces
étant compté 7 à 7, il ne reste rien, ce nombre est évidemment quelque
multiple de 7. Puisqu'en les comptant deux à deux il reste 1, ce nombre
est un multiple impair. Il est donc quelqu'un des nombres de la suite 7,
21, 35, 49, 63, 77, 91, 105, etc. De plus, ce nombre doit, étant divisé
par 3, laisser l'unité. Or, dans la suite des nombres ci-dessus, je
trouve 7, 49, 91, ... qui croissent arithmétiquement et dont la
différence est 42, ont la propriété demandée. Je trouve de plus que le
nombre 91 étant divisé par 5, il reste 1. D'où, je conclus que le
premier nombre qui satisfait à la question est 91, car il est multiple de
7 et étant divisé par 2, par 3 et par 5, il reste toujours 1. Je
dis que 91 est le premier nombre qui satisfait à la question ; car
il y en a plusieurs autres.
Lacombe explique comment on peut
trouver les autres nombres qui satisfont à la question en suivant la
même démarche. Il conclut que les nombres de la suite 91, 301, 511, 721,
931, 1141, ... remplissent les conditions du problème.
Problème 23
Supposons
présentement que l'homme à qui appartient la bourse eût dit que,
comptant son argent deux à deux pièces, il restait l'unité ; qu'en
les comptant trois à trois, il en restait deux ; que comptées quatre à
quatre, il restait trois ; que comptées cinq à cinq, il en restait
quatre ; que comptées six à six, il en restait cinq ; enfin, que les
comptant sept à sept, il ne restait rien.
On demande ce nombre. (p. 174)
Solution 23. Lacombe présente la
même démarche que celle du problème précédent. Il conclut que les
réponses possibles sont : 119, 959, 1799, etc., soit en additionnant
toujours 840.
Il ajoute : Si donc le
maître de la bourse perdue dit qu'il y avait environ 100 pièces, le
nombre cherché sera 119. S'il disait qu'il y en avait à peu près 1000,
ce serait 959, etc.
Problème 24
Une femme a vendu 10
perdrix au marché ; une seconde en a vendu 25, une troisième en a
vendu 30, et toutes au même prix. Au sortir du marché, elles se
questionnent sur l’argent qu'elles en rapportent et il se trouve que
chacune rapporte la même somme.
On demande à quel prix et comment
elles ont vendu. (p. 175)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 24. II est évident que,
afin que la chose soit possible, il faut que ces femmes vendent au moins
à deux différentes fois et à différents prix quoiqu'à chaque fois
elles vendent toutes ensemble au même prix. Car, si celle qui avait le
moins de perdrix en a vendu un très petit nombre au prix le plus bas et
qu'elle ait vendu le surplus au plus haut prix ; tandis que celle qui
en avait le plus grand nombre en avait vendu la plus grande partie au plus
bas prix, et n'a pu en vendre qu’un petit nombre au plus haut, il est
clair qu'elles auraient pu faire des sommes égales. II s'agit donc de
diviser chacun des nombres 10, 25, 30, en deux parties telles, que
multipliant la première partie de chacune par le premier prix, et la
seconde par le second, la somme des deux produits soit partout la même.
Ce problème est indéterminé et
susceptible de 10 solutions différentes. Il est d'abord nécessaire que
la différence des prix de la première et de la seconde vente soit un
diviseur exact des différences 15, 20, 5 des trois nombres donnés. Or,
le moindre diviseur de ces trois nombres est 5. C'est pourquoi, les prix
doivent être 6 et 1, ou 7 et 2, ou 8 et 3, etc.
Lacombe démontre que les
solutions existent seulement pour (6, 1) et (7, 2). Il donne les 10
solutions. En voici une pour un total de 40 francs chacune :
1ère
femme :
6
perdrix à 6 francs : 36 francs
4
perdrix à 1 franc : 4 francs
2e
femme
3
perdrix à 6 francs : 18 francs
22
perdrix à 1 franc : 22 francs
3e
femme
2
perdrix à 6 francs : 12 francs
28
perdrix à 1 franc : 28 francs
Problème 25
Une femme de
campagne porte des œufs au marché dans une ville de guerre où il y a
trois corps de garde à passer. Au premier, elle laisse la moitié de ses
œufs et la moitié d'un ; au second, la moitié de ce qui lui
restait et la moitié d'un ; au troisième, la moitié de ce qui lui
restait et la moitié d'un ; enfin, elle arrive au marché avec trois
douzaines.
Comment cela se peut-il faire sans
rompre aucun œuf ? (p. 178)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 25. II semble, du premier
abord, que ce problème soit impossible. Car comment donner une moitié d'œuf
sans en casser aucun ? Cependant on en verra la possibilité, quand on
considérera que, lorsqu'on prend la grande moitié d'un nombre impair, on
en prend la moitié exacte plus 1/2. Ainsi on trouvera qu'avant le passage
du dernier guichet, il restait à la femme 73 œufs. Car, en ayant donné
37, qui est la moitié plus la moitié d'un, il lui en restera 36. De
même, avant le deuxième guichet, elle en avait 147 et avant le premier
295.
Problème 26
On peut proposer le
problème autrement. Un homme est sorti de chez lui avec une certaine
quantité de louis pour faire des emplettes. A la première emplette, il
dépense la moitié de ses louis et la moitié d'un ; à la seconde, il
dépense aussi la moitié de ses louis et la moitié d'un ; à la
troisième, pareillement ; et il rentre chez lui ayant dépensé tout son
argent, sans avoir jamais changé de l'or pour de l'argent.
[Combien l’homme avait-il dans
sa bourse ?] (p. 168)
Solution 26. II avait 7 louis. À
la première emplette, il en a dépensé 4, à la seconde 2, à la
troisième 1 ; car 4 est la moitié de 7 et de plus il y a un demi. Le
restant étant 3, sa moitié est 1/2 et conséquemment 2 excède
cette moitié de 1/2. Le restant est enfin 1. Or, la moitié de 1 plus 1/2
est égale à 1. Conséquemment, il ne reste plus rien. Si le nombre
d'emplettes après lesquelles notre homme a dépensé tout son argent
était plus grand, il n'y aurait qu'à faire une puissance de 2 dont
l'exposant fut égal au nombre des emplettes et la diminuer de l'unité.
Ainsi, s'il y en avait 4, la quatrième puissance de 2 étant 16, le
nombre cherché serait 15 : s'il y en avait 5, la cinquième puissante de
2 étant 32, le nombre cherché serait 31.
Problème 27
Trois personnes ont
un certain nombre d'écus chacune. Il est tel que la première en donnant
aux deux autres autant qu'elles en ont chacune, la seconde pareillement en
donnant à chacune des deux autres autant qu'elle en a, enfin la
troisième faisant la même chose, elles se trouvent en avoir autant l'une
que l'autre, à savoir 8.
Quelle est la somme qu'a chacune
de ces personnes ? (p. 179)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 27. La première en avait
13, la seconde 7, et la troisième 4 : ce qui est aisé à démontrer, en
distribuant les écus de chaque personne suivant l’énoncé du
problème.
Problème 28
Un marchand de vin
n'a que deux sortes de vin, qu'il vend l'un 10 sous, l'autre 5 sous la
bouteille. On lui demande du vin à 8 sous.
Combien faut-il de bouteilles de
chaque espèce pour en former une qui revienne à 8 sous la
bouteille ? (p. 179)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 28. La différence du
plus haut prix, 10 sous, au prix moyen demandé est 2. Celle de ce prix
moyen au prix le plus bas est 3 : ce qui montre qu'il faut qu'il prenne
trois bouteilles du vin du plus haut prix et deux du moindre. Avec ce
mélange il fera cinq bouteilles qui lui reviendront à 8 sous chacune.
Problème 29
Un sommelier
infidèle, à chaque fois qu'il va à la cave, vole une pinte d'un tonneau
particulier qui contient 100 pintes, et la remplace par une égale
quantité d'eau. Après un certain temps, par exemple 30 jours, on
s'aperçoit de sa friponnerie et on le chasse.
Mais on demande quelle est la
quantité de vin qu'il a prise, et celle qui reste dans le tonneau. (p.
180)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 29. Il est aisé de voir
qu'il n'a pas pris 30 pintes. Car, dès la seconde fois qu'il puise dans
le tonneau et qu'il prend un centième de ce qu'il contient, il y avait
déjà une pinte d'eau. Comme chaque jour il substitue à ce qu'il prend
une pinte d'eau, chaque jour aussi il vole moins d'une pinte de vin. Il
est donc question, pour résoudre le problème, de déterminer dans quelle
progression décroît le vin qu'il vole à chaque fois. Pour y parvenir,
je remarque qu'après l’extraction de la première pinte de vin, il n'en
reste dans le tonneau que 99, et la pinte d'eau qui y a été versée.
Donc, lorsqu'on tire une pinte du mélange, on ne tire en effet que les
99/100 d'une pinte de vin. Mais, il y avait auparavant 99 pintes de vin.
Donc, après cette extraction, il ne restera que 99 pintes moins 99/100,
c'est-à-dire 98 pintes plus 1/100. A la troisième extraction, la
quantité de vin contenue dans la pinte tirée sera seulement 98/100 +
1/10000 : ce qui, étant ôté de la quantité de vin qu'il y avait, à
savoir 98 1/100, sera 970299/10000 ou 97 pintes et 299/10 000.
On doit présentement remarquer
que 9801/100 est le carré de 99, divisé par 100, et que 970299/10000 est
le cube de 99, divisé par le carré de 100, etc. Conséquemment, après
la seconde extraction, la quantité de vin restante sera le carré de 99,
divisé par la première puissance de 100 ; après la troisième, ce
sera le cube de 99, divisé par le carré de 100, etc. D'où il suit
qu'après la 30e extraction, la quantité de vin restante sera
la 30e puissance de 99, divisée par la 29e de 100.
Or, on trouve, par le moyen des logarithmes, que cette quantité est 73 et
97/100. Conséquemment, la quantité de vin prise est 26 et 3/100.
Problème 30
II y a trois
ouvriers que j'appelle Jacques, Jean et Pierre. Les deux premiers,
travaillant ensemble, ont fait un certain ouvrage en huit jours. Jacques
et Pierre n'ont pu le faire qu'en neuf jours et les deux derniers n'en ont
fait un semblable qu'en dix jours.
Il est question de déterminer
combien chacun d'eux prendrait de jours à faire le même ouvrage. (p.
180)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 30. Le premier le fera en
14 jours et 14/49, le second en 17 et 23/41 et le troisième en 23 jours
et 7/31.
Problème 31
Un Espagnol doit à
un Français 31 livres : mais il n'a, pour s'acquitter, que des piastres
qui valent 5 livres et le Français n'a que des écus de 6 livres.
Comment s'arrangeront-ils,
c'est-à-dire combien l'Espagnol donnera-t-il au Français de piastres et
combien celui-ci lui rendra-t-il d'écus pour que la différence soit
égale à 31 livres, en sorte que cette dette soit acquittée ? (p.
180)
Récréation posée par Ozanam
(1640-1717)
Solution 31. Les nombres les plus
simples qui satisfont à la question sont 11 piastres et 4 écus, car 11
piastres font 55 livres et les quatre écus font 24 livres.
Conséquemment, leur différence dont le Français est avantagé dans
cette espèce d'échange est de 31 livres.
Ce problème est, au reste,
susceptible d'une infinité de solutions. Car on trouve qu'on satisfera
encore au problème avec 17 piastres et 9 écus de 6 livres, avec 23
piastres et 14 écus, en augmentant toujours le nombre de piastres de 6,
et celui des écus de 5.
Lacombe ajoute une solution
algébrique à l’intention des "jeunes analystes".
Problème 32
Un étranger
arrivant à Paris se mit à l'auberge pour 30 jours à raison de 20 francs
par jour. Il n'avait que 5 pièces valant ensemble 30 livres avec
lesquelles il satisfit tous les jours son hôte sans qu'il restât rien de
dû de part ni d'autre.
On demande la valeur de chacune
des 5 pièces. (p. 183)
Problème posé par Panckoucke
Solution 32. Il est facile de voir
que la moindre des pièces doit être de 20 francs ou 1 livre. La
deuxième doit être de 2 1ivres, la troisième de 4 livres, la quatrième
de 8 livres, la cinquième de 15 livres. Le premier jour, il donne la
première pièce 1 livre. Le deuxième jour, il donne 2 livres et retire
la première. Le troisième, il donne 1 livre. Le quatrième, il donne 4
livres, retire 1 livre et 2 livres et ainsi de suite, comme on peut le
vérifier.
Problème 33
Devinez le nombre
que quelqu'un aura pensé.
Dites à celui qui a pensé un
nombre de le tripler et ensuite de prendre la moitié exacte de ce triple
s'il est pair ou la plus grande moitié si la division ne peut pas se
faire exactement (ce dont vous vous souviendrez à part). Vous ferez
encore tripler cette moitié, et vous demanderez combien de fois le nombre
9 s'y trouve compris. (p. 156)
Problème posé par Panckoucke
Solution 33. Le nombre pensé sera
le double, si la division ci-dessus par la moitié a pu se faire ; mais si
cette division n’a pu avoir lieu, il faudra ajouter l'unité. Qu'on ait
pensé 5, son triple est 15 qui ne peut se diviser par 2. La plus grande
moitié de 15 est 8. Si on la multiplie encore par 3, on aura 24 où 9 se
trouve deux fois. Le nombre pensé est donc 4 plus 1, ou 5.
Problème 34
Devinez le nombre
que quelqu'un aura pensé.
Dites à celui qui a pensé un
nombre de le multiplier par lui-même. Ensuite, qu'il augmente le nombre
[pensé] de l'unité et qu'il le multiplie encore par lui-même.
Demandez-lui après cela la différence de ces deux nombres. Ce sera
certainement un nombre impair dont la petite moitié sera le nombre
cherché. (p. 156)
Problème posé par Panckoucke
Solution 34. Que le nombre pensé
soit, par exemple, 10, son carré est 100. Que 10 soit augmenté de
1, ce sera 11 dont le carré est 121. La différence des deux carrés est
21 dont la moindre moitié 10 est le nombre cherché.
* * *
Énigme 1
Les rois sont mes sujets, les
vainqueurs mes esclaves ;
Je force les plus forts et dompte les plus braves.
Contre moi les efforts se trouvent superflus,
Je cause du chagrin, les pleurs et le martyre
À ceux que ma puissance à me servir attire,
Et je fais plus de mal à qui m'aime le plus. (p. 62)
Solution de l’énigme 1. L’amour.
Énigme
2
Nous sommes plusieurs sœurs à peu près du même âge,
Dans deux
rangs différents, mais d'un semblable usage ;
Nous avons
en naissant un palais pour maison,
Qu'on
pourrait mieux nommer une étroite prison.
Il faut
nous y forcer pour que quelqu'une en sorte.
Quoique
cent fois le jour on nous ouvre la porte. (p. 62)
Solution de l’énigme 2. Les dents
Énigme
3
Dans le monde je
fais du bruit,
Mon corps est porté par ma mère,
Cependant je porte mon père,
Quoiqu'il soit grand, et moi
petit. (p. 62)
Solution de l’énigme 3. Le sabot
Énigme 4
Souvent on me ravit et toujours je demeure ;
Sans passer dans les mains de celui qui me prend,
Je fuis le plus petit, et je fuis le plus grand,
Et l'on ne peut me voir qu'aussitôt je ne meure. (p. 62)
Solution de l’énigme 4. Le cœur
Énigme
5
Ainsi qu'un long
serpent, je traîne
Mon corps à replis
tortueux ;
Je suis si peu respectueux,
Que j'enchaînerais une reine.
Le jour je me tiens dans mes
trous,
Et la nuit je les quitte tous.
(p. 62)
Solution de l’énigme 5. Le lacet
Énigme
6
Je passe pour
monarque au milieu de la cour.
Toujours autour de moi un vain
peuple criaille.
Mes sujets sont de plume, et
mon trône est de paille,
Et je suis toutefois le
prophète du jour. (p. 62)
Solution de l’énigme 6. Le coq
Énigme 7
Ma mer n'eut jamais d'eau, mes champs sont infertiles,
Je n'ai point de maisons, et j'ai de grandes villes.
Je réduis en un point mille ouvrages divers.
Je ne suis presque rien et je suis l'univers. (p. 62)
Solution de l’énigme 7. La carte de géographie
Conclusion
Certaines autres récréations du dictionnaire
de Lacombe auraient mérité de faire partie de cette
liste. On y retrouve, en effet, des récréations
classiques comme la tortue
d’Achille, le nombre de l’échiquier, l’enjeu
de Méré, l’épitaphe de Diophante, le
stratagème
de Josèphe, les poids
de
Bachet. On y retrouve aussi des problèmes de dés, de cartes, du cavalier aux
échecs, de temps et de disparition d’objets.
Cet ensemble de problèmes nous permet de voir les domaines
occupés par les récréations mathématiques à la fin du 17e
siècle. On peut alors comparer avec la production réalisée dans les siècles
qui ont suivi. ç
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