Ennéagonal
° Nombre centré ennéagonal. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des ennéagones. Les nombres centrés ennéagonaux de dimension inférieure ou égale à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré ennéagonal D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un ennéagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 9. Les dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 et 81. Le terme général, en excluant 1, est 9(n - 1). Pour trouver le rang d’un centré ennéagonal D1, on divise le nombre par 9 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 9. Par exemple, 54 est de rang 7 car 54 ÷ 9 = 6. Son successeur est 63. 

Voici trois propriétés concernant cette classe de nombres :

La somme des n plus petits centrés ennéagonaux D1 est un centré ennéagonal D2 de rang n.

La somme de deux centrés ennéagonaux D1 successifs est égale à 18 fois le rang du plus petit moins 9.

Les nombres centrés ennéagonaux D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré ennéagonal D2
Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles d’ennéagones réguliers, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés ennéagonaux D1. Le terme général est (3n - 1)(3n - 2)/2. Les 39 plus petits centrés ennéagonaux D2 sont :

Un nombre est de cette classe si, lui ayant soustrait 1 et ayant divisé le résultat par 9, le quotient est un triangulaire. Le rang du centré ennéagonal est supérieur de 1 à celui du triangulaire qui lui correspond. Pour trouver son successeur, on lui additionne neuf fois son rang. Par exemple, 595 est un centré ennéagonal D2 car (595 - 1)/9 = 66 qui est le triangulaire de rang 11. Ce nombre est au rang 12. Son successeur est 595 + (9 × 12) = 703. 

Voici sept propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 10 851 603 566 530 615 801.

Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n plus petits centrés ennéagonaux D2 est un centré ennéagonal D3 de rang n.

La différence de deux centrés ennéagonaux D2 successifs est neuf fois le rang du plus petit.

Tout centré ennéagonal D2 est la différence de deux centrés ennéagonaux D3 successifs.

Tout centré ennéagonal D2 de rang n est un triangulaire de rang (3n - 2).

Les nombres centrés ennéagonaux D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

n Nombre centré ennéagonal D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un ennéagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés ennéagonaux D2. Le terme général est n(3n² - 1)/2. Les 29 plus petits centrés ennéagonaux D3 sont :

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son double en deux facteurs : un entier et le triple du même entier élevé au carré moins 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le triangulaire dont le rang est le triple plus 1 de celui du centré ennéagonal. Par exemple, 764 est un centré ennéagonal D3 car 764 × 2 = 8 × (3 × 8² - 1). Il est au rang 8. On additionne le triangulaire de rang 25. Son successeur est 764 + 325 = 1089. Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 11 945 114 951 699 561 990.

Les unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n plus petits centrés ennéagonaux D3 est un centré ennéagonal D4 de rang n.

La différence de deux centrés ennéagonaux D3 successifs est un centré ennéagonal D2.

Tout centré ennéagonal D3 est la différence de deux centrés ennéagonaux D4 successifs.

Les nombres centrés ennéagonaux D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré ennéagonal D4
Nombre centré hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un ennéagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés ennéagonaux D3. Le terme général est n(n + 1)(3n² + 3n - 2)/8. Les 29 plus petits centrés ennéagonaux D4 sont :

© Charles-É. Jean

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