° Nombre centré heptagonal. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des heptagones. Les nombres centrés heptagonaux de dimension inférieure ou égale à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré heptagonal D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un heptagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 7. Les dix plus petits nombres de cette classe sont : 1, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 et 63. Le terme général de rang n, en excluant 1, est 7(n - 1). Pour trouver le rang d’un centré heptagonal D1, on divise le nombre par 7 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 7. Par exemple, 63 est de rang 10 car 63 ÷ 7 = 9. Son successeur est 70. 

Voici quelques propriétés concernant cette classe de nombres :

Si on excepte 1, la période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres tous différents : 7 418 529 630.

La somme des n plus petits centrés heptagonaux D1 est un centré heptagonal D2 de rang n.

La somme de deux centrés heptagonaux D1 successifs, en excluant 1, est égale à 14 fois le rang du plus petit moins 7.

Tout centré heptagonal D1 est la différence de deux centrés heptagonaux D2 successifs.

Les nombres centrés heptagonaux D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré heptagonal D2

Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles d’heptagones réguliers, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés heptagonaux D1. Le terme général est (7n² - 7n + 2)/2. Les 39 plus petits centrés heptagonaux D2 sont :

Un nombre est de cette classe si, lui ayant soustrait 1 et ayant divisé le résultat par 7, le quotient est un triangulaire. Le rang du centré heptagonal D2 est supérieur de 1 à celui du triangulaire. Pour trouver son successeur, on lui additionne sept fois son rang. Par exemple, 197 est un centré heptagonal D2 car (197 - 1)/7 = 28 qui est le triangulaire de rang 7. Aussi, 197 est au rang 8. Son successeur est 197 + (8 × 7) = 253. 

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 18 231 687 366 378 613 281.

Les unités sont 1, 2, 3, 6, 7 et 8.

La somme des n plus petits centrés heptagonaux D2 est un centré heptagonal D3 de rang n.

La différence de deux centrés heptagonaux D2 successifs est sept fois le rang du plus petit.

Tout centré heptagonal D2 est la différence de deux centrés heptagonaux D3 successifs.

Les nombres centrés heptagonaux D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

n Nombre centré heptagonal D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un heptagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés heptagonaux D2. Le terme général est n(7n² - 1)/6. Les 29 plus petits centrés heptagonaux D3 sont :

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son sextuple en deux facteurs : un entier et sept fois le même entier élevé au carré moins 1. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le centré heptagonal D2 de rang suivant. Par exemple, 145 est un centré heptagonal D3 car 145 × 6 = 5 × (7 × 5² - 1). Il est au rang 5. Son successeur est 145 + 106 = 251. 

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres : 19 145 196 951 419 569 190.

Les chiffres des unités sont 0, 1, 4, 5, 6 et 9.

La somme des n plus petits centrés heptagonaux D3 est un centré heptagonal D4 de rang n.

La différence de deux centrés heptagonaux D3 successifs est un centré heptagonal D2.

Tout centré heptagonal D3 est la différence de deux centrés heptagonaux D4 successifs.

Les nombres centrés heptagonaux D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré heptagonal D4
Nombre centré  hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un heptagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés heptagonaux D3. Le terme général est n(n + 1)(7n² + 7n - 2)/24. Les 29 plus petits centrés heptagonaux D4 sont :

© Charles-É. Jean

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