° Nombre pentagonal. – Nombre polygonal qui est engendré par un pentagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n premiers gnomoniques pentagonaux. Le terme général est n(3n - 1)/2. Les quatre plus petits pentagonaux peuvent être représentés ainsi :

Un pentagonal de rang n peut aussi être représenté comme un trapézoïdal formé de n lignes de points et dont la base contient (2n - 1) points. Un nombre est pentagonal si on peut décomposer son double en deux facteurs : un entier et le triple de cet entier moins 1. Le plus petit facteur est le rang du pentagonal. 

Pour trouver son successeur, on lui additionne trois fois son rang et 1. Par exemple, 247 est un pentagonal car 247 × 2 = 13 × 38. Il est de rang 13. Son successeur est 247 + (3 × 13) + 1 = 287. Les 59 plus petits pentagonaux sont :

Voici quelques propriétés des pentagonaux :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 20 chiffres qui peut être décomposé en deux palindromes : 152 251 et 02 756 077 065 720.

Les unités sont 0, 1, 2, 5, 6 et 7.

La somme des n premiers pentagonaux est un pyramidal pentagonal de rang n.

La différence de deux pentagonaux successifs est un gnomonique pentagonal.

Tout pentagonal est la différence de deux pyramidaux pentagonaux successifs.

Tout pentagonal de rang n est la somme de n et de trois fois le triangulaire de rang (n - 1).

Tout pentagonal de rang n est la somme du triangulaire de rang n et du double du triangulaire de rang (n - 1).

Tout entier est pentagonal ou est la somme d’au moins deux et d’au plus cinq pentagonaux. (Fermat)

Vingt-quatre fois un pentagonal plus 1 est un carré dont le rang est le sextuple moins un de celui du pentagonal

Le triple d’un pentagonal est un triangulaire dont le rang est le triple moins un de celui du pentagonal.

L’ensemble des pentagonaux forme une suite arithmétique de degré 2.

Soit P(n) un pentagonal de rang n, P(13) + P(2) + P(9) = P(7) + P(14) + P(3) = 369 ; de même, P(13) + P(4) + P(7) = P(9) + P(12) + P(3) = 339. De ces égalités, on peut déduire, par exemple, que P(2) + P(9) - [P(4) + P(7)] = 30. Pour écrire un pentagonal, on peut adopter un exposant qui pourrait être c (cinq) et la base serait le rang du pentagonal. Par exemple, 13^c serait égal à 247. Par rapport aux égalités précédentes, on peut écrire entre autres : 13^c + 2^c + 9^c = 7^c + 14^c + 3^c.

Dans une figure composée de deux rangées horizontales de rectangles, le nombre de rectangles de toute grandeur, autres que les rectangles de base, est donné par un nombre pentagonal.

Cette suite de nombres est formée par des trapézoïdaux successifs : 1, 2 + 3, 3 + 4 + 5, 4 + 5 + 6 + 7. Si on compte les rectangles de base, on a la suite : 3, 9, 18, 30, ... qui est aussi formée par des trapézoïdaux successifs : 1 + 2, 2 + 3 + 4, 3 + 4 + 5 + 6, 4 + 5 + 6 + 7 + 8. 

Les pentagonaux sont des nombres figurés.

© Charles-É. Jean

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