Chapitre 3. Division de nombres  

287. Division de deux nombres

Comment trouver le quotient et le reste de deux nombres rapprochés sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie successivement le diviseur par 1, 2, 3, 4, etc.

• Quand on a dépassé le dividende, on compte le nombre de produits inférieur à celui-ci : c’est le quotient.

• Du dividende, on soustrait le produit placé avant celui qui a été exclu : c’est le reste.

Soit à trouver le quotient de 140 par 52. On fait : 1 × 52 = 52, 2 × 52 = 104, 3 × 52 = 156. Il y a 2 produits avant 156 : c’est le quotient. On fait : 140 – 104 = 36 : c’est le reste. Le quotient est 2 reste 36.

288. Division par 2

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 2 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5.

• On additionne la moitié de l’unité.

Soit 156 le nombre choisi. On conserve 15. On fait : 15 × 5 = 75 et 75 + 3 = 78. Le quotient est 78.

Soit 167 le nombre choisi. On conserve 16. On fait : 16 × 5 = 80 et 80 + 3,5 = 83,5. Le quotient est 83,5.

289. Division par 2

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 2 et dont l’unité est 2 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5 le nombre qui reste.

• On additionne 1.

Soit 1032 le nombre choisi. On conserve 103. On fait : 103 × 5 = 515 et 515 + 1 = 516. Le quotient est 516.

290. Division par 2

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 2 et dont l’unité est 4 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5 le nombre qui reste.

• On additionne 2.

Soit 354 le nombre choisi. On conserve 35. On fait : 35 × 5 = 175 et 175 + 2 = 177. Le quotient est 177.

291. Division par 2

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 2 et dont l’unité est 6 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5 le nombre qui reste.

• On additionne 3.

Soit 1156 le nombre choisi. On conserve 115. On fait : 115 × 5 = 575 et 575 + 3 = 578. Le quotient est 578.

292. Division par 2

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 2 et dont l’unité est 8 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5 le nombre qui reste.

• On additionne 4.

Soit 358 le nombre choisi. On conserve 35. On fait : 35 × 5 = 175 et 175 + 4 = 179. Le quotient est 179.

293. Division par 3

Un nombre formé de 1 étant donné, comment trouver le quotient et le reste quand on divise ce nombre par 3 sans effectuer la division ?

Étapes

• On compte le nombre de 1 du nombre choisi.

• On soustrait 1 : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 370 370 370 … : c’est le quotient.

• Du nombre de 1 du nombre choisi, on soustrait le multiple de 3 qui est égal ou immédiatement inférieur au résultat de la première ligne : c’est le reste.

Soit 11 111 111 le nombre choisi. On compte huit 1. On fait : 8 – 1 = 7. D’où, n = 7. On écrit 3 703 703. Le multiple de 3 immédiatement inférieur à 8 est 6. On fait : 8 – 6 = 2. Le reste est 2. Le quotient est 3 703 703 reste 2.

294. Division par 3

Un nombre formé de 8 étant donné, comment trouver le quotient et le reste quand on divise ce nombre par 3 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On compte le nombre de 8 du nombre choisi : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit les n premiers chiffres de 296 296 296 … : c’est le quotient.

• Du multiple de 3 qui est égal ou immédiatement supérieur à n, on soustrait n : c’est le reste.

Soit 88 888 888 le nombre choisi. On compte huit 8. On écrit 29 629 629. Le multiple de 3 qui est égal ou immédiatement supérieur à 8 est 9. On fait : 9 – 8 = 1. Le reste est 1. Le quotient est 29 629 629 reste 1.

295. Division par 4

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 4 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 5.

• On divise par 2.

• On additionne le quart de l’unité.

Soit 134 le nombre choisi. On fait : 13 × 5 = 65 et 65 ÷ 2 = 32,5. Le quart de l’unité 4 est 1. On fait : 32,5 + 1 = 33,5. Le quotient est 33,5.

Soit 177 le nombre choisi. On fait : 17 × 5 = 85, 85 ÷ 2 = 42,5 et 42,5 + 1,75 = 44,25. Le quotient est 44,25.

296. Division par 5

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 5 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On additionne le nombre à lui-même.

• On place une virgule avant l’unité.

Soit 631 le nombre choisi. On fait : 631 + 631 = 1262. Le quotient est 126,2.

297. Division par 5

Comment trouver le quotient entier d’un nombre divisé par 5 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ampute l’unité.

• On multiplie par 2 le nombre qui reste.

• Si l’unité du nombre choisi est supérieure à 4, on additionne 1.

Soit 649 le nombre choisi. On conserve 64. On fait : 64 × 2 = 128 et 128 + 1 = 129. Le quotient entier est 129.

298. Division par 5

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 5 et dont l’unité est 0 sans en effectuer leur division ?

Étapes

• On ampute l’unité.

• On additionne le nombre qui reste à lui-même.

Soit 640 le nombre choisi. On conserve 64. On fait : 64 + 64 = 128. Le quotient est 128.

299. Division par 5

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 5 et dont l’unité est 5 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On ampute l’unité 5.

• On additionne le nombre qui reste à lui-même.

• On additionne 1.

Soit 1345 le nombre choisi. On fait : 134 + 134 = 268 et 268 + 1 = 269. Le quotient est 269.

300. Division par 8

Un nombre dont le premier chiffre est 9 et dont les autres sont en ordre décroissant étant donné, comment trouver le quotient et le reste de ce nombre quand on le divise par 8 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On compte le nombre de chiffres du nombre choisi : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit n chiffres à partir de 1 en ordre croissant : c’est le quotient.

• Le reste est la valeur de n.

Soit 987 654 le nombre choisi. On compte 6 chiffres. On écrit 123 456. Le reste est 6. Le quotient est 123 456 reste 6.

301. Division par 9

Comment trouver le quotient entier d’un nombre de trois chiffres qui est divisé par 9 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On écrit un nombre.

• On biffe l’unité du nombre.

• On biffe l’unité du dernier nombre.

• On additionne les trois nombres : les deux premiers chiffres sont le quotient entier.

Soit 768 le nombre choisi. On fait : 768 + 76 + 7 = 851. Le quotient entier est 85.

302. Division par 9

Comment trouver le quotient entier d’un nombre de quatre chiffres qui est divisé par 9 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On écrit un nombre.

• On biffe l’unité du nombre.

• On biffe l’unité du dernier nombre.

• On biffe l’unité du dernier nombre.

• On additionne les quatre nombres : les trois premiers chiffres sont le quotient entier.

Soit 4562 le nombre choisi. On fait : 4562 + 456 + 45 + 4 = 5067. Le quotient entier est 506.

303. Division par 9

Un nombre formé de 1 étant donné, comment trouver le quotient et le reste de ce nombre quand on le divise par 9 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On compte le nombre de 1 du nombre choisi.

• On soustrait 1 : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit n chiffres à partir de 1 en ordre croissant : c’est le quotient.

• Le reste est le résultat de la première ligne.

Soit 111 111 le nombre choisi. On compte six 1. On fait : 6 – 1 = 5. Le quotient a 5 chiffres. On écrit 12 345. Le reste est 6. Le quotient est 12 345 reste 6.

304. Division par 9

Un nombre formé de 8 étant donné, comment trouver le quotient et le reste de ce nombre quand on le divise par 9 sans en effectuer leur division ?

Étapes

• On compte le nombre de 8 du nombre choisi.

• On soustrait 1 : c’est le nombre n de chiffres du quotient.

• On écrit n chiffres à partir de 9 en ordre décroissant : c’est le quotient.

• Du multiple de 9 immédiatement supérieur au nombre de 8 du nombre choisi, on soustrait le résultat de la première ligne : c’est le reste.

Soit 888 888 le nombre choisi. On compte six 8. On fait : 6 – 1 = 5. Le quotient a 5 chiffres. On écrit 98 765. On fait : 9 – 6 = 3. Le reste est 3. Le quotient est 98 765 reste 3.

305. Division par 11

Comment trouver le quotient et le reste d’un nombre de trois chiffres quand on le divise par 11 sans en effectuer leur division ?

Étapes

• Du nombre choisi, on soustrait 99. On note 9.

• On soustrait successivement 99 jusqu’à obtenir un nombre inférieur à 100. Au fur et à mesure, on note 9.

• On soustrait le nombre de deux chiffres identiques égal ou immédiatement inférieur au dernier résultat : c’est le reste.

• On note le chiffre identique du dernier terme soustrait.

• On additionne les chiffres notés : c’est le quotient.

Soit 375 le nombre choisi. On fait : 375 – 99 = 276. On note 9. On fait : 276 – 99 = 177. On note 9. On fait : 177 – 99 = 78. On note 9. On fait : 78 – 77 = 1. On note 7. On fait : 9 + 9 + 9 + 7 = 34. Le quotient est 34 reste 1.

306. Division par 11

Comment trouver un nombre de sept chiffres qui, divisé par 11, donne un quotient constitué de trois groupes identiques de deux chiffres ?

Étapes

• On choisit un nombre de deux chiffres qui est inférieur à 89 qu’on écrit trois fois à la suite.

• On écrit 0 devant ce nombre.

• On compose un nombre, de droite à gauche, en retenant d’abord l’unité, puis en additionnant successivement les deux chiffres voisins.

• Lorsque la somme est plus grande que 9, on place 1 comme retenue sur le chiffre de gauche et on conserve l’unité.

Soit 23 le nombre choisi. On écrit 0232323. On retient le dernier 3, puis on fait : 3 + 2 = 5, 2 + 3 = 5, jusqu’à 2 + 0 = 2. Le dividende est 2 555 553 : c’est le nombre cherché. Si on le divise par 11, le quotient est 232 323.

Soit 78 le nombre choisi. On écrit 0787878. On retient le dernier 8, puis on fait : 8 + 7 = 15, 1 + 7 + 8 = 16, 1 + 8 + 7 = 16 jusqu’à 1 + 7 + 0  = 8. Le dividende est 8 666 658 : c’est le nombre cherché. Si on le divise par 11, le quotient est 787 878.

307. Division par 25

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 25 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie le nombre choisi par 4.

• On place une virgule avant la dizaine.

Soit 246 le nombre choisi. On fait : 246 × 4 = 984. Le quotient est 9,84.

308. Division par 25

Comment trouver le quotient et le reste d’un nombre de quatre chiffres qui est divisé par 25 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On biffe les deux derniers chiffres.

• On multiplie le nombre qui reste par 4.

• On additionne 1 si les deux derniers chiffres du nombre à diviser sont de 25 à 49, 2 si les deux derniers chiffres sont de 50 à 74, 3 si les deux derniers chiffres sont de 75 à 99 : c’est le quotient.

• Du nombre biffé, on soustrait 0, 25, 50 ou 75 en choisissant le nombre immédiatement inférieur au nombre biffé : c’est le reste.

Soit 2368 le nombre choisi. On retient 23. On fait : 23 × 4 = 92. Comme 68 est dans l’intervalle 50 à 74, on fait : 92 + 2 = 94 : c’est le quotient. On fait : 68 – 50 = 18 : c’est le reste. Le quotient est 94 reste 18.

309. Division par 37

Comment trouver le quotient d’un nombre de trois chiffres identiques qui est divisé par 37 sans effectuer leur division ?

Étape

• On multiplie le chiffre commun par 3.

Soit 444 le nombre choisi. On fait : 4 × 3 = 12. Le quotient est 12.

310. Division par 49

Connaissant un nombre divisible par 49, comment trouver le quotient de ce nombre sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie le nombre choisi par 2.

• On additionne un nombre tel que la somme du produit se termine par deux 0.

• On divise chaque résultat par 2.

• On choisit le nombre dont le ou les premiers chiffres sont proches du double du dividende.

Soit 5782 le nombre choisi. On fait : 5782 × 2 = 11 564. On peut additionner 36, 136, 236, 336, ... pour obtenir une somme qui se termine par deux 0. La moitié de ces nombres est 18, 68, 118, 168, … À cause de 11 564 dont les premiers chiffres sont 115, on choisit 118. Le quotient est 118.

311. Division par 99

Connaissant un nombre de cinq chiffres qui est divisible par 99, comment trouver le quotient de ce nombre sans effectuer leur division ?

Étapes

• Si l’unité du nombre choisi est 0, l’unité du quotient est 0.

• On additionne 1 aux deux premiers chiffres du nombre choisi.

• On ajoute un 0 à la fin.

• Si l’unité du nombre choisi n’est pas 0, de 10 on soustrait l’unité du nombre choisi : c’est l’unité du quotient.

• On place les deux premiers chiffres du nombre choisi devant l’unité du quotient.

Soit 51 480 le nombre choisi. L’unité du quotient est 0. On fait : 51 + 1 = 52. Le quotient est 520.

Soit 54 252 le nombre choisi. On fait : 10 – 2 = 8 : c’est l’unité du quotient. Les deux premiers chiffres du dividende sont 54. Le quotient est 548.

312. Division par 99

Comment trouver le quotient entier d’un nombre de six chiffres qui est divisé par 99 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On biffe les deux derniers chiffres du nombre.

• On biffe les deux derniers chiffres du dernier nombre.

• On additionne les trois nombres : les quatre premiers chiffres dans l’ordre forment le quotient entier.

Soit 734 682 le nombre choisi. On fait : 734 682 + 7346 + 73 = 742 101. Le quotient entier est 7421.

313. Division par 125

Comment trouver le quotient d’un nombre divisé par 125 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie le nombre choisi par 8.

• On place une virgule avant la centaine.

Soit 3246 le nombre choisi. On fait : 3246 × 8 = 25 968. Le quotient est 25,968.

314. Nombre de diviseurs

Comment trouver la quantité de diviseurs d’un nombre donné ?

Étapes

• On décompose le nombre en ses facteurs premiers.

• On additionne 1 à chacun des exposants, considérant que l’absence d’exposant correspond à l’exposant 1.

• On multiplie les résultats.

Soit à trouver la quantité de diviseurs de 720. On écrit : 720 = 2⁴ × 3² × 5. On fait : 4 + 1 = 5, 2 + 1 = 3, 1 + 1 = 2 et 5 × 3 × 2 = 30. Le nombre 720 a 30 diviseurs. Ce sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720.

315. Plus grand diviseur

Un diviseur d’un nombre pair étant donné, comment savoir si ce diviseur est le plus grand ?

Étapes

• On multiplie le diviseur par 2.

• Si le résultat est égal au nombre qui est divisé, ce diviseur est le plus grand. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 15 est le plus grand diviseur de 30. On fait : 15 × 2 = 30. Le nombre 15 est le plus grand diviseur.

Soit à savoir si 48 est le plus grand diviseur de 144. On fait : 48 × 2 = 96. Le nombre 48 n’est pas le plus grand diviseur.

316. Plus grand diviseur

Comment trouver le plus grand diviseur d’un nombre ?

Étapes

• On trouve le plus petit diviseur sauf 1.

• On divise le nombre donné par le plus petit diviseur : c’est le plus grand diviseur.

Soit à trouver le plus grand diviseur de 135. Le plus petit diviseur est 3. On fait : 135 ÷ 3 = 45. Le plus grand diviseur est 45.

317. Plus grand diviseur

Comment trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres ?

Étapes

• On divise les deux nombres l’un par l’autre en retenant le reste. Si le reste est 0, le plus petit nombre est le plus grand commun diviseur. Sinon, on continue.

• On divise le plus petit nombre par le reste précédent. Si le reste est 0, le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur. Sinon, on continue.

• On opère de même jusqu’à ce que le reste soit 0. Le plus petit diviseur est le plus grand commun diviseur.

Soit à trouver le plus grand commun diviseur de 442 et de 170. On fait : 442 ÷ 170 = 2 reste 102 et 170 ÷ 102 = 1 reste 68. On fait : 102 ÷ 68 = 1 reste 34 et 68 ÷ 34 = 2 reste 0. Le plus grand commun diviseur est 34.

318. Diviseurs communs

Comment trouver un ou des diviseurs communs à deux nombres ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les deux nombres.

• Si la différence est plus petite que le plus petit nombre, on soustrait successivement le résultat de la première ligne au dernier résultat.

• Si la différence est plus grande que le plus petit nombre, on soustrait le plus petit nombre à cette différence et on soustrait successivement cette différence au dernier résultat.

• Lorsqu’on aboutit à un nombre premier, c’est un diviseur.

• Lorsque le même résultat revient une seconde fois, c’est un diviseur.

• On peut au besoin le décomposer et retenir le ou les diviseurs communs.

Soit à trouver un diviseur commun de 221 et de 272. On fait : 272 – 221 = 51, 221 – 51 = 170, 170 – 51 = 119, 119 – 51 = 68 et 68 – 51 = 17. Un diviseur commun est 17.

Soit à trouver un diviseur commun de 130 et de 312. On fait : 312 – 130 = 182, 182 – 130 = 52, 130 – 52 = 78, 78 – 52 = 26 et 52 – 26 = 26. Or, 2 × 13 = 26. Les nombres 2 et 13 de même que 26 sont des diviseurs communs.

319. Plus petit nombre

Comment trouver le plus petit nombre qui est supérieur à un dividende et dont on connaît le diviseur ?

Étapes

• On divise le dividende par le diviseur.

• On retient la partie entière.

• On additionne 1.

• On multiplie par le diviseur donné.

Soit à trouver le plus petit nombre supérieur à 269 qui est divisible par 7. On fait : 269 ÷ 7 = 38,43. On retient 38. On fait : 38 + 1 = 39 et 39 × 7 = 273. Le plus petit nombre est 273.

320. Plus grand nombre

Comment trouver le plus grand nombre qui est inférieur à un dividende et dont on connaît le diviseur ?

Étapes

• On divise le dividende par le diviseur.

• On retient la partie entière.

• On multiplie par le diviseur donné.

Soit à trouver le plus grand nombre inférieur à 265 qui est divisible par 9. On fait : 265 ÷ 9 = 29,44 et 29 × 9 = 261. Le plus grand nombre est 261.

321. Diviseurs avec reste

Comment trouver le plus petit nombre qui est divisé successivement par des nombres donnés avec un même reste ?

Étapes

• On trouve le plus petit commun multiple des diviseurs.

• On additionne le reste donné.

Soit à trouver le plus petit nombre qu’on divise successivement par 4, 5 et 6 avec un reste de 2. Le plus petit commun multiple est 60. On fait : 60 + 2 = 62. Le plus petit nombre est 62.

322. Divisibilité par 3

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On vérifie si la somme est un multiple de 3.

• Si oui, le nombre est divisible par 3. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 457 302 le nombre choisi. La somme des chiffres est 21. Or, 21 est un multiple de 3. Le nombre 457 302 est divisible par 3.

Soit 56 722 le nombre choisi. La somme des chiffres est 22. Or, 22 n’est pas un multiple de 3. Le nombre 56 722 n’est pas divisible par 3.

323. Divisibilité par 3

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• S’ils sont présents, on biffe les chiffres 0, 3, 6 et 9 du nombre donné.

• On biffe les nombres dont la somme est un multiple de 3.

• S’il ne reste pas de nombre, le nombre donné est divisible par 3.

• Dans le cas contraire, au besoin, on additionne les chiffres qui restent.

• Si le résultat final est un multiple de 3, le nombre donné est divisible par 3. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 43 682 le nombre choisi. On biffe 3 et 6. On conserve 482. On biffe 4 et 8, car 4 + 8 = 12, un multiple de 3. Il reste 2. Le nombre 43 682 n’est pas divisible par 3.

Soit 405 675 le nombre choisi. On biffe 0 et 6. On conserve 4575. On biffe 4 et 5, car 4 + 5 = 9. On biffe 7 et 5, car 7 + 5 = 12. Il ne reste rien. Le nombre 405 675 est divisible par 3.

324. Divisibilité par 3

Comment ajouter des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 3 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres.

• Si la somme est divisible par 3, on ajoute des chiffres dont la somme est divisible par 3.

• Si la somme n’est pas divisible par 3, on ajoute des chiffres pour que la nouvelle somme soit divisible par 3.

Soit 492 le nombre choisi. La somme des chiffres est 15. Dans l’ordre que l’on veut, on ajoute 3, 1, 8 dont la somme est 12. La somme totale est 27. Le nombre 492 831 est divisible par 3.

Soit 539 le nombre choisi. La somme des chiffres est 17. Dans l’ordre que l’on veut, on ajoute 6 et 7 dont la somme est 13. La somme totale est 30. Le nombre 53 976 est divisible par 3.

325. Divisibilité par 4

Comment savoir si un nombre d’au moins trois chiffres est divisible par 4 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres du nombre choisi.

• On vérifie si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4.

• Si oui, le nombre est un multiple de 4. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 457 556 le nombre choisi. On prend 56. Or, 56 est un multiple de 4. Le nombre 457 556 est divisible par 4.

Soit 35 842 le nombre choisi. On prend 42. Or, 42 n’est pas un multiple de 4. Le nombre 35 842 n’est pas divisible par 4.

326. Divisibilité par 4

Comment savoir si un nombre d’au moins trois chiffres est divisible par 4 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On prend les deux derniers chiffres du nombre choisi.

• Si la dizaine est impaire et qu’en même temps l’unité est 2 ou 6, le nombre est divisible par 4.

• Si la dizaine est paire et qu’en même temps l’unité est 0, 4 ou 8, le nombre est divisible par 4.

• Autrement, le nombre n’est pas divisible par 4.

Soit 815 552 le nombre choisi. On prend 52. La dizaine est impaire et l’unité est 2. Le nombre 815 552 est divisible par 4.

Soit 913 826 le nombre choisi. On prend 26. La dizaine est paire, mais l’unité n’est pas 0, 4 ou 8. Le nombre 913 826 n’est pas divisible par 4.

327. Divisibilité par 4

Comment ajouter des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 4 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute un chiffre impair comme dizaine et 2 ou 6 comme unité.

• Ou encore, on ajoute un chiffre pair comme dizaine et 0, 4 ou 8 comme unité.

Soit 795 le nombre choisi. On ajoute 5 comme dizaine et 6 comme unité. Le nombre 79 556 est divisible par 4.

Soit 795 le nombre choisi. On ajoute 2 comme dizaine et 8 comme unité. Le nombre 79 528 est divisible par 4.

328. Divisibilité par 5

Comment ajouter un ou des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 5 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On ajoute les chiffres que l’on veut à la fin du nombre donné.

• On termine par 0 ou 5.

Soit 437 le nombre choisi. Par exemple, on ajoute 2 et 6, puis 0 comme unité. Le nombre 437 260 est divisible par 5.

329. Divisibilité par 6

Comment savoir si un nombre est divisible par 6 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On additionne les chiffres autres que l’unité du nombre choisi.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité du nombre choisi.

• Si le résultat est un multiple de 6, le nombre est divisible par 6. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 32 708 le nombre choisi. On fait : 3 + 2 + 7 + 0 = 12, 12 × 4 = 48 et 48 + 8 = 56. Comme 56 n’est pas un multiple de 6, le nombre 32 708 n’est pas divisible par 6.

Soit 55 284 le nombre choisi. On fait : 5 + 5 + 2 + 8 = 20, 20 × 4 = 80 et 80 + 4 = 84. Or, 84 est un multiple de 6. Le nombre 55 284 est divisible par 6.

330. Divisibilité par 6

Comment savoir si un nombre est divisible par 6 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 6.

• On additionne les chiffres qui composent le nombre.

• Si résultat est un multiple de 3, le nombre est divisible par 6. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 248 le nombre choisi. On fait : 2 + 4 + 8 = 14. Or, 14 n’est pas un multiple de 3. Le nombre 248 n’est pas divisible par 6.

331. Divisibilité par 6

Comment ajouter un chiffre à un nombre impair pour que le nouveau nombre soit divisible par 6 ?

Étapes

• On choisit un nombre impair ayant au moins un chiffre pair.

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On additionne un chiffre pour que le résultat soit divisible par 3.

• On prend un chiffre pair qu’on écrit à la fin du nombre choisi.

Soit 7685 le nombre choisi. La somme des chiffres est 26. On peut y additionner 1, 4 ou 7 pour avoir une somme divisible par 3. On retient 4. Le nombre 76 854 est divisible par 6.

332. Divisibilité par 7

Comment savoir si un nombre est divisible par 7 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 2.

• Du nombre amputé de l’unité, on soustrait le produit.

• On refait successivement les deux mêmes opérations.

• Si le résultat est 0 ou un multiple de 7 même négatif, le nombre donné est divisible par 7. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 2347 le nombre choisi. On fait : 7 × 2 = 14 et 234 – 14 = 220. On fait : 0 × 2 = 0 et 22 – 0 = 22. On fait : 2 × 2 = 4 et 2 – 4 = -2. Le nombre 2347 n’est pas divisible par 7.

Soit 3787 le nombre choisi. On fait : 7 × 2 = 14 et 378 – 14 = 364. On fait : 4 × 2 = 8 et 36 – 8 = 28. On fait : 8 × 2 = 16 et 2 – 16 = -14. Or, 14 est un multiple de 7. Le nombre 2347 est divisible par 7.

333. Divisibilité par 7

Comment savoir si un nombre est divisible par 7 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• De droite à gauche, on multiplie chaque chiffre successivement par 3⁰, 3¹, 3², 3³, 3⁴, etc.

• On additionne les résultats.

• On répète les mêmes opérations au besoin.

• Si la somme est un multiple de 7, le nombre donné est divisible par 7. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 25 319 le nombre choisi. On fait : 2 × 3⁴ + 5 × 3³ + 3 × 3² + 1 × 3¹ + 9 × 3⁰ = 336 et 3 × 3² + 3 × 3¹ + 6 × 3⁰ = 42. Or, 42 est un multiple de 7. Le nombre 25 319 est divisible par 7.

334. Divisibilité par 7

Comment savoir si un nombre de six chiffres est divisible par 7 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On partage le nombre choisi en deux tranches ayant chacune trois chiffres.

• On soustrait les deux tranches l’une de l’autre.

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 2.

• Du nombre amputé de l’unité, on soustrait le résultat précédent.

• Si le résultat un multiple de 7, le nombre donné est divisible par 7. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 862 231 le nombre choisi. On fait : 862 – 231 = 631, 1 × 2 = 2 et 63 – 2 = 61. Or, 61 n’est pas un multiple de 7. Le nombre 862 231 n’est pas divisible par 7.

Soit 864 206 le nombre choisi. On fait : 864 – 206 = 658, 8 × 2 = 16 et 65 – 16 = 49. Or, 49 est un multiple de 7. Le nombre 864 206 est divisible par 7.

335. Divisibilité par 7

Comment savoir si un nombre de six chiffres est divisible par 7 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On partage le nombre choisi en deux tranches ayant chacune trois chiffres.

• On soustrait les deux tranches l’une de l’autre.

• On multiplie la centaine par 2.

• On additionne le nombre amputé de la centaine.

• Si le résultat est un multiple de 7, le nombre donné est divisible par 7. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 742 360 le nombre choisi. On fait : 742 – 360 = 382, 3 × 2 = 6 et 6 + 82 = 88. Or, 88 n’est pas un multiple de 7. Le nombre 742 360 n’est pas divisible par 7.

Soit 864 283 le nombre choisi. On fait : 864 – 283 = 581, 5 × 2 = 10 et 10 + 81 = 91. Or, 91 est un multiple de 7. Le nombre 864 283 est divisible par 7.

336. Divisibilité par 7

Comment ajouter un ou des chiffres à un nombre de trois chiffres pour que le nouveau nombre soit divisible par 7 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le même nombre au début ou à la fin du nombre donné.

Soit 538 le nombre choisi. On ajoute 538. Le nombre 538 538 est divisible par 7.

337. Divisibilité par 8

Comment savoir si un nombre est divisible par 8 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 8.

• On retient les trois derniers chiffres du nombre choisi.

• On multiplie la centaine par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats précédents et l’unité.

• Si la somme est un multiple de 8, le nombre est divisible par 8. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 57 814 le nombre choisi. On retient 814. On fait : 8 × 4 = 32, 1 × 2 = 2 et 32 + 2 + 4 = 38. Or, 38 n’est pas un multiple de 8. Le nombre 57 814 n’est pas divisible par 8.

338. Divisibilité par 8

Comment savoir si un nombre est divisible par 8 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 8.

• On retient les trois derniers chiffres du nombre choisi.

• On divise l’unité par 2.

• On additionne le nombre formé par les deux premiers chiffres du nombre de trois chiffres qui est amputé de l’unité.

• Si le résultat est un multiple de 4, le nombre donné est divisible par 8. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 235 376 le nombre choisi. On retient 376. On fait : 6 ÷ 2 = 3 et 3 + 37 = 40. Or, 40 est un multiple de 4. Le nombre 235 376 est divisible par 8.

339. Divisibilité par 8

Comment savoir si un nombre est divisible par 8 sans effectuer la division ? (3)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 8.

• On vérifie si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4. S’il ne l’est pas, le nombre n’est pas divisible par 8.

• Si la centaine du nombre choisi est paire et si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 8, le nombre est divisible par 8. Sinon il ne l’est pas.

• Si la centaine du nombre choisi est impaire et si le nombre formé par les deux derniers chiffres n’est pas divisible par 8, le nombre est divisible par 8. Sinon il ne l’est pas.

Soit 52 798 le nombre choisi. Le nombre 98 n’est pas divisible par 4. Le nombre 52 798 n’est pas divisible par 8.

Soit 54 936 le nombre choisi. La centaine du nombre donné, soit 9, est impaire, et 36 n’est pas divisible par 8. Le nombre 54 936 est divisible par 8.

340. Divisibilité par 8

Comment ajouter des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 8 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 4 un chiffre choisi : le chiffre choisi est la centaine du nombre ajouté.

• On multiplie par 2 un autre chiffre choisi : le chiffre choisi est la dizaine du nombre ajouté.

• On choisit un chiffre tel que la somme des deux résultats et de ce chiffre est un multiple de  8 : c’est l’unité du nombre ajouté.

Soit 391 le nombre choisi et successivement 5, 7, 6. On fait : 5 × 4 = 20, 7 × 2 = 14. La somme est 34. On choisit 6 car la somme est alors 40 qui est un multiple de 8. Le nombre 391 576 est divisible par 8.

341. Divisibilité par 9

Comment savoir si un nombre est divisible par 9 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres.

• Si la somme est égale ou supérieure à 9, on soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

• Si le résultat est 0, le nombre est divisible par 9. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 46 287 le nombre choisi. La somme des chiffres est 27. On fait : 27 – 27 = 0. Le nombre 46 287 est divisible par 9.

Soit 31 254 le nombre choisi. La somme des chiffres est 15. On fait : 15 – 9 = 6. Le nombre 31 254 n’est pas divisible par 9.

342. Divisibilité par 9

Comment ajouter des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 9 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres du nombre.

• Si la somme est divisible par 9, on ajoute des chiffres dont la somme est divisible par 9.

• Si la somme n’est pas divisible par 9, dans l’ordre que l’on veut, on ajoute des chiffres qui rendent la nouvelle somme divisible par 9.

Soir 432 le nombre choisi. La somme des chiffres est 9. On ajoute, par exemple, 2, 7, 9 dont la somme est 18. La somme totale est 27. Le nombre 432 927 est divisible par 9.

Soir 519 le nombre choisi. La somme des chiffres est 15. On ajoute 0, 1 et 2 dont la somme est 3. La somme totale est 18. Le nombre 519 102 est divisible par 9.

343. Divisibilité par 11

Comment savoir si un nombre est divisible par 11 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• Du nombre choisi amputé de l’unité, on soustrait ce chiffre.

• On refait successivement la même opération jusqu’à ce que le résultat soit formé d’un seul chiffre.

• Si le chiffre est 0, le nombre donné est divisible par 11. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 2893 le nombre choisi. On fait : 289 – 3 = 286, 28 – 6 = 22 et 2 – 2 = 0. Le nombre 2893 est divisible par 11.

Soit 5832 le nombre choisi. On fait : 583 – 2 = 581, 58 – 1 = 57 et 7 – 5 = 2. Le nombre 5832 n’est pas divisible par 11.

344. Divisibilité par 11

Comment savoir si un nombre est divisible par 11 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On additionne les chiffres de rang impair du nombre choisi de droite à gauche.

• On additionne les chiffres de rang pair.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats.

• Si la différence est 0 ou un multiple de 11, le nombre est divisible par 11. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 94 182 le nombre choisi. On fait : 2 + 1 + 9 = 12, 8 + 4 = 12 et 12 – 12 = 0. Le nombre 94 182 est divisible par 11.

Soit 98 273 le nombre choisi. On fait : 3 + 2 + 9 = 14, 7 + 8 = 15 et 15 – 14 = 1. Le nombre 98 723 n’est pas divisible par 11.

345. Divisibilité par 11

Comment ajouter un chiffre à un nombre de deux chiffres pour que le nouveau nombre soit divisible par 11 ?

Étapes

• On choisit un nombre dont la dizaine est plus petite que l’unité.

• De l’unité, on soustrait la dizaine.

• On ajoute le résultat à la fin du nombre choisi.

Soit 39 le nombre choisi. On fait : 9 – 3 = 6. Le nombre 396 est divisible par 11.

346. Divisibilité par 11

Comment ajouter un chiffre à un nombre de deux chiffres pour que le nouveau nombre soit divisible par 11 ?

Étapes

• On choisit un nombre de deux chiffres.

• On additionne les deux chiffres.

• Si la somme est formée d’un seul chiffre, on l’insère entre les deux chiffres choisis.

• Si la somme est formée deux chiffres, on insère l’unité de la somme entre les deux chiffres choisis et on additionne 1 à la dizaine.

Soit 49 le nombre choisi. On fait : 4 + 9 = 13. On conserve 3 et on fait : 4 + 1 = 5. Le nombre 539 est divisible par 11.

347. Divisibilité par 12

Comment savoir si un nombre est divisible par 12 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On vérifie si la somme est un multiple de 3.

• On vérifie si le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4.

• Si ces deux conditions sont réalisées, le nombre est divisible par 12. S’il manque une condition, il ne l’est pas.

Soit 56 864 le nombre choisi. La somme des chiffres est 29, laquelle n’est pas un multiple de 3. Cette condition étant non réalisée, 56 864 n’est pas divisible par 12.

Soit 67 836 le nombre choisi. La somme des chiffres est 30, laquelle est un multiple de 3. Les deux derniers chiffres forment 36 qui est un multiple de 4. Le nombre 56 864 est divisible par 12.

348. Divisibilité par 12

Comment ajouter des chiffres à un nombre donné pour que le nouveau nombre soit divisible par 12 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne les chiffres du nombre.

• Si la somme est divisible par 3, on ajoute des chiffres dont la somme est un multiple de 3 à la fin du nombre choisi.

• Si la somme n’est pas divisible par 3, à la fin du nombre choisi, on ajoute des chiffres qui rendent la somme divisible par 3.

• Dans les deux cas, on doit choisir un chiffre impair comme dizaine et 2 ou 6 comme unité ou encore, un chiffre pair comme dizaine et 0, 4 ou 8 comme unité.

Soit 675 le nombre choisi. La somme des chiffres est 18. On ajoute 4 comme dizaine et 8 comme unité. Le nombre 67 548 est divisible par 12.

Soit 649 le nombre choisi. La somme des chiffres est 19. On peut ajouter deux chiffres dont la somme est 5, soit 3 et 2. Le nombre 64 932 est divisible par 12.

349. Divisibilité par 13

Comment savoir si un nombre est divisible par 13 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 4.

• On additionne le nombre amputé de l’unité.

• On refait successivement les mêmes opérations.

• Si le résultat est 0 ou un multiple de 13, le nombre est divisible par 13. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 3367 le nombre choisi. On fait : 7 × 4 = 28 et 28 + 336 = 364. On continue en faisant : 4 × 4 = 16 et 16 + 36 = 52. Comme 52 est un multiple de 13, le nombre 3367 est divisible par 13.

350. Divisibilité par 13

Comment savoir si un nombre est divisible par 13 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On divise par 4 le nombre choisi amputé de son unité en retenant le reste.

• On multiplie le reste par 3.

• De 13, on soustrait le résultat précédent, sauf si le résultat est 0.

• On additionne le quotient entier.

• Si le résultat est égal ou supérieur à 13, on soustrait le multiple de 13 qui est égal ou inférieur au résultat.

• On additionne l’unité du nombre donné.

• Si le résultat est égal ou supérieur à 13, on soustrait le multiple de 13 qui est égal ou inférieur au résultat.

• Si le résultat est 0, le nombre donné est divisible par 13. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 1467 le nombre choisi. On fait : 146 ÷ 4 = 36 reste 2, 2 × 3 = 6 et 13 – 6 = 7. On fait : 7 + 36 = 43, 43 – 39 = 4 et 4 + 7 = 11. Comme le résultat n’est pas 0, le nombre 1467 n’est pas divisible par 13.

Soit 5668 le nombre choisi. On fait : 566 ÷ 4 = 141 reste 2, 2 × 3 = 6 et 13 – 6 = 7. On fait : 7 + 141 = 148, 148 – 143 = 5, 5 + 8 = 13 et 13 – 13 = 0. Comme le résultat est 0, le nombre 5668 est divisible par 13.

351. Divisibilité par 15

Comment savoir si un nombre est divisible par 15 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par 0 ou par 5. Sinon, il n’est pas divisible par 15.

• On additionne les chiffres du nombre.

• Si la somme est un multiple de 3, le nombre est divisible par 15. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 4570 le nombre choisi. Il se termine par 0. La somme des chiffres est 16, qui n’est pas divisible par 3. D’où, 4570 n’est pas divisible par 15.

352. Divisibilité par 15

Comment savoir si un nombre est divisible par 15 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par 0 ou par 5. Sinon, il n’est pas divisible par 15.

• On additionne les chiffres sauf le dernier.

• On ajoute le dernier chiffre à la fin de la somme.

• Au besoin, on refait les mêmes opérations jusqu’à ce que le résultat final soit un nombre de deux chiffres.

• Si le nombre trouvé est un multiple de 15, le nombre est divisible par 15. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 1325 le nombre choisi. On fait : 1 + 3 + 2 = 6. On écrit 65. Comme 65 n’est pas un multiple de 15, le nombre 1325 n’est pas divisible par 15.

Soit 38 145 le nombre choisi. On fait : 3 + 8 + 1 + 4 = 16. On écrit 165. On refait les mêmes opérations. On fait : 1 + 6 = 7. On écrit 75. Comme 75 est un multiple de 15, le nombre 38 145 est divisible par 15.

353. Divisibilité par 17

Comment savoir si un nombre est divisible par 17 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 5.

• Du nombre amputé de l’unité, on soustrait le résultat précédent.

• On refait successivement les mêmes opérations.

• Si le résultat est 0 ou un multiple de 17, le nombre est divisible par 17. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 6273 est divisible par 17. On fait : 3 × 5 = 15 et 627 – 15 = 612. On fait : 2 × 5 = 10 et 61 – 10 = 51. On fait : 1 × 5 = 5 et 5 – 5 = 0. Le nombre 6273 est divisible par 17.

Soit 8732 le nombre choisi. On fait : 2 × 5 = 10 et 873 – 10 = 863. On fait : 3 × 5 = 15 et 86 – 15 = 71. On fait : 1 × 5 = 5 et 7 – 5 = 2. Le nombre 8732 n’est pas divisible par 17.

354. Divisibilité par 18

Comment savoir si un nombre est divisible par 18 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 18.

• On additionne les chiffres du nombre donné.

• Si la somme est un multiple de 9, le nombre est divisible par 18. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 5684 le nombre choisi. La somme des chiffres est 23. Or, 23 n’est pas un multiple de 9. Le nombre 5684 n’est pas divisible par 18.

355. Divisibilité par 18

Comment savoir si un nombre est divisible par 18 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• Si la somme est un multiple de 6, le nombre est divisible par 18. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 12 604 le nombre choisi. On fait : 1 + 2 + 6 + 0 = 9, 9 × 4 = 36 et 36 + 4 = 40. Or, 40 n’est pas un multiple de 6. Le nombre 12 604 n’est pas divisible par 18.

356. Divisibilité par 19

Comment savoir si un nombre est divisible par 19 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 2.

• On additionne le nombre amputé de l’unité.

• On refait successivement les mêmes opérations.

• Si le résultat est 0 ou un multiple de 19, le nombre est divisible par 19. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 4579 le nombre choisi. On fait : 9 × 2 = 18 et 457 + 18 = 475. On fait : 5 × 2 = 10 et 10 + 47 = 57. Or, 57 est un multiple de 19. Le nombre 4579 est divisible par 19.

357. Divisibilité par 23

Comment savoir si un nombre est divisible par 23 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On multiplie l’unité du nombre choisi par 7.

• On additionne le nombre amputé de l’unité.

• On refait successivement les mêmes opérations.

• Si le résultat est 0 ou un multiple de 23, le nombre est divisible par 23. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 4301 le nombre choisi. On fait : 1 × 7 = 7 et 430 + 7 = 437. On fait : 7 × 7 = 49 et 49 + 43 = 92. On fait : 2 × 7 = 14 et 14 + 9 = 23. Le nombre 4301 est divisible par 23.

358. Divisibilité par 24

Comment savoir si un nombre est divisible par 24 sans effectuer leur division ?

Étapes

• Le nombre choisi doit se terminer par un chiffre pair. Sinon, il n’est pas divisible par 24.

• On additionne les chiffres du nombre.

• Si la somme est un multiple de 3, le nombre peut être divisible par 24. Sinon, il ne l’est pas.

• On retient les trois derniers chiffres du nombre.

• On multiplie la centaine par 4 et la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats précédents et l’unité.

• Si la somme est un multiple de 8, le nombre est divisible par 24. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 67 920 le nombre choisi. La somme des chiffres est 24. Le nombre 67 920 est un multiple de 3. On retient 920. On fait : 9 × 4 = 36, 6 × 2 = 12 et 36 + 12 + 0 = 48. Or, 48 est un multiple de 8. Le nombre 67 920 est divisible par 24.

359. Divisibilité par 24

Comment savoir si un carré, auquel on soustrait 1, est divisible par 24 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On extrait la racine du carré.

• On vérifie si le résultat est un multiple de 2.

• On vérifie si le résultat est un multiple de 3.

• Si la réponse est non dans les deux cas, le carré diminué de 1 est divisible par 24.

• Si la réponse est non dans au moins un cas, le carré diminué de 1 n’est pas divisible par 24.

Soit 441 le carré choisi. La racine carrée est 21. Or, 21 n’est pas un multiple de 2. D’où, 440 n’est pas divisible par 24.

Soit 529 le carré choisi. La racine carrée est 23. Or, 23 n’est ni un multiple de 2 ni un multiple de 3. D’où, 528 est divisible par 24.

360. Divisibilité par 37

Comment savoir si un nombre est divisible par 37 sans effectuer leur division ?

Étapes

• On choisit un nombre d’au moins quatre chiffres.

• On partage le nombre en tranches de trois chiffres de droite à gauche.

• On additionne les tranches.

• On répète les mêmes opérations au besoin.

• Si la somme est divisible par 37, le nombre est un multiple de 37. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 3 545 821 le nombre choisi. On fait : 821 + 545 + 3 = 1369 et 369 + 1 = 370. Comme 370 est un multiple de 37, le nombre 3 545 821 est divisible par 37.

361. Divisibilité par 45

Comment savoir si un nombre est divisible par 45 sans effectuer leur division ?

Étapes

• Le nombre choisit doit se terminer par 0 ou par 5. Sinon, il n’est pas divisible par 45.

• On additionne les chiffres.

• Si la somme est un multiple de 9, le nombre est divisible par 45. Sinon, il ne l’est pas.

Soit 2385 le nombre choisi. On fait : 2 + 3 + 8 + 5 = 18. La somme est un multiple de 9. Le nombre 2385 est divisible par 45.

362. Reste d’une division

Comment trouver le reste d’une division d’un nombre sans effectuer la division ?

Étapes

• On estime le quotient.

• On multiplie par le diviseur.

• Du nombre à diviser, on soustrait le résultat précédent.

• On soustrait le diviseur ou le multiple du diviseur qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 2743 par 21. On estime que le quotient est 125. On fait : 125 × 21 = 2625, 2743 – 2625 = 118 et 118 – 105 = 13. Le reste est 13.

363. Reste d’une division

Comment trouver le reste d’une division avec une calculatrice ?

Étapes

• On divise les deux nombres choisis.

• On soustrait la partie entière.

• On multiplie le résultat par le diviseur.

• On arrondit au besoin.

Soit à trouver le reste de la division de 3754 par 15. On fait la division sur la calculatrice. Le résultat est 250,2666... On soustrait 250. On multiplie par 15. Le reste est 4.

364. Reste de la division par 3

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 3 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi en omettant 0, 3, 6 et 9.

• On soustrait le multiple de 3 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 795 620 par 3. On fait : 7 + 5 + 2 = 14 et 14 – 12 = 2. Le reste est 2.

365. Reste de la division par 4

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 4 sans effectuer la division ? (1)

Étapes

• On retient les deux derniers chiffres du nombre choisi.

• Lorsque la dizaine est impaire, on additionne 2 à l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait le multiple de 4 qui est égal ou inférieur au résultat.

• Lorsque la dizaine est paire, on choisit l’unité. Si le résultat est 4 ou supérieur à 4, on soustrait le multiple de 4 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 65 479 par 4. On retient 79. La dizaine est impaire. On fait : 9 + 2 = 11 et 11 – 8 = 3. Le reste de la division est 3.

Soit à trouver le reste de la division de 65 489 par 4. On retient 89. La dizaine est paire. On fait : 9 – 8 = 1. Le reste est 1.

366. Reste de la division par 4

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 4 sans effectuer la division ? (2)

Étapes

• On multiplie la centaine du nombre choisi par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux premiers résultats et l’unité du nombre.

• On soustrait le multiple de 4 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 6589 par 4. On fait : 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16, 20 + 16 + 9 = 45 et 45 – 44 = 1. Le reste est 1.

367. Reste de la division par 5

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 5 sans effectuer la division ?

Étapes

• On prend l’unité du nombre.

• Si l’unité est inférieure à 5, c’est le reste.

• Si l’unité est égale ou supérieure à 5, on soustrait 5.

Soit à trouver le reste de la division de 63 464 par 5. L’unité est 4. Le reste est 4.

Soit à trouver le reste de la division de 63 468 par 5. On fait : 8 – 5 = 3. Le reste est 3.

368. Reste de la division par 6

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 6 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi, sauf l’unité.

• On multiplie par 4.

• On additionne l’unité.

• On soustrait le multiple de 6 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 6539 par 6. On fait : 6 + 5 + 3 = 14, 14 × 4 = 56, 56 + 9 = 65 et 65 – 60 = 5. Le reste est 5.

369. Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 7 sans effectuer la division ?

Étapes

• Du nombre formé par le ou les deux premiers chiffres du nombre choisi, on soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur à ce nombre.

• Le résultat prend la place du ou des deux premiers chiffres. On conserve les autres chiffres dans l’ordre.

• On refait les mêmes opérations jusqu’à ce que le résultat soit un nombre inférieur au diviseur.

Soit à trouver le reste de la division de 48 593 par 7. On fait : 48 – 42 = 6. Le nombre est 6593. On fait : 65 – 63 = 2. Le nombre est 293. On fait : 29 – 28 = 1. Le nombre est 13. On fait : 13 – 7 = 6. Le reste est 6.

Soit à trouver le reste de la division de 95 361 par 7. On fait : 9 – 7 = 2. Le nombre est 25 361. On fait : 25 – 21 = 4. Le nombre est 4361. On fait : 43 – 42 = 1. Le nombre est 161. On fait : 16 – 14 = 2. Le nombre est 21. On fait : 21 – 21 = 0. Le reste est 0.

370. Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division par 7 d’un nombre de trois chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On multiplie la centaine du nombre choisi par 2.

• On biffe la centaine.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 478 par 7. On fait : 4 × 2 = 8. On retient 78. On fait : 8 + 78 = 86 et 86 – 84 = 2. Le reste est 2.

371. Reste de la division par 7

Comment obtenir le reste de la division par 7 d’un nombre de quatre chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On multiplie l’unité de mille du nombre choisi par 6.

• On multiplie la centaine par 2.

• On multiplie la dizaine par 3.

• On additionne les trois résultats et l’unité.

• On soustrait le multiple de 7 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 5479 par 7. On fait : 5 × 6 = 30, 4 × 2 = 8 et 7 × 3 = 21. On fait : 30 + 8 + 21 + 9 = 68 et 68 – 63 = 5. Le reste est 5.

372. Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 8 sans effectuer la division ? (1)

Étapes

• On multiplie la centaine du nombre choisi par 4.

• On multiplie la dizaine par 2.

• On additionne les deux résultats et l’unité.

• On soustrait le multiple de 8 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 6589 par 8. On fait : 5 × 4 = 20, 8 × 2 = 16, 20 + 16 + 9 = 45 et 45 – 40 = 5. Le reste est 5.

373. Reste de la division par 8

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 8 sans effectuer la division ? (2)

Étapes

• Si la centaine du nombre choisi est impaire, on retient 4. Sinon, on retient 0.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 8 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 93 577 par 8. Comme la centaine est impaire, on retient 4. On fait : 4 + 77 = 81 et 81 – 80 = 1. Le reste est 1.

374. Reste de la division par 9

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 9 sans effectuer leur division ? (1)

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• On soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 8235 par 9. On fait : 8 + 2 + 3 + 5 = 18 et 18 – 18 = 0. Le reste est 0.

Soit à trouver le reste de la division de 8749 par 9. On fait : 8 + 7 + 4 + 9 = 28 et 28 – 27 = 1. Le reste est 1.

375. Reste de la division par 9

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 9 sans effectuer leur division ? (2)

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi.

• Si le résultat est supérieur à 8, on refait la même opération jusqu’à ce que le résultat soit inférieur à 9.

Soit à trouver le reste de la division de  89 471 par 9. La somme des chiffres est 29. On fait : 2 + 9 = 11 et 1 + 1 = 2. Le reste est 2.

376. Reste de la division par 9

Comment trouver le reste de la division par 9 du produit de deux nombres sans effectuer la multiplication ?

Étapes

• Pour chacun des deux nombres choisis, on additionne les chiffres.

• Dans chaque cas, on soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

• On multiplie l’une par l’autre les deux différences.

• On soustrait le multiple de 9 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division par 9 de 785 × 197. On fait : 7 + 8 + 5 = 20 et 20 – 18 = 2. On fait : 1 + 9 + 7 = 17 et 17 – 9 = 8. On fait : 2 × 8 = 16 et 16 – 9 = 7. Le reste est 7.

377. Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 11 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres de rang impair du nombre choisi à partir de la droite.

• On additionne les chiffres de rang pair.

• On soustrait l’une de l’autre les deux sommes.

• Si le résultat est négatif, on additionne 11 ou le plus petit multiple de 11 qui rendra le résultat de 0 à 11.

Soit à trouver le reste de la division de 87 469 par 11. On fait : 9 + 4 + 8 = 21, 6 + 7 = 13 et 21 – 13 = 8. Le reste est 8.

Soit à trouver le reste de la division de 27 164 par 11. On fait : 4 + 1 + 2 = 7, 6 + 7 = 13 et 7 – 13 = -6. On fait : -6 + 11 = 5. Le reste est 5.

378. Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division par 11 d’un nombre de trois chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On soustrait successivement un nombre ayant deux chiffres identiques et inférieur au dernier résultat.

• Le reste est la dernière différence.

Soit à trouver le reste de la division de 375 par 11. On fait : 375 – 99 = 276, 276 – 99 = 177, 177 – 99 = 78 et 78 – 77 = 1. Le reste est 1.

379. Reste de la division par 11

Comment trouver le reste de la division par 11 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On renverse les deux premiers chiffres du nombre choisi.

• On additionne le résultat, la centaine et le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 11 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 82 519 par 11. On renverse 82 : ce qui donne 28. On fait : 28 + 5 + 19 = 52 et 52 – 44 = 8. Le reste est 8.

380. Reste de la division par 12

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 12 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi, sauf les deux derniers.

• On multiplie par 4.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 12 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 23 501 par 12. On fait : 2 + 3 + 5 = 10, 10 × 4 = 40, 40 + 01 = 41 et 41 – 36 = 5. Le reste est 5.

381. Reste de la division par 13

Comment trouver le reste de la division par 13 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On écrit la dizaine de mille du nombre choisi.

• On multiplie l’unité de mille par 4.

• On multiplie la centaine par 3.

• On additionne les trois résultats.

• On multiplie par 3.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 13 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 93 520 par 13. On écrit 9. On fait : 3 × 4 = 12, 5 × 3 = 15 et 9 + 12 + 15 = 36. On fait : 36 × 3 = 108, 108 + 20 = 128 et 128 – 117 = 11. Le reste est 11.

382. Reste de la division par 14

Comment trouver le reste de la division par 14 d’un nombre de cinq chiffres sans effectuer la division ?

Étapes

• On multiplie la dizaine de mille du nombre choisi par 2.

• On multiplie l’unité de mille par 3.

• On écrit la centaine.

• On additionne les trois résultats.

• On multiplie par 2.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 14 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 54 721 par 14. On fait : 5 × 2 = 10, 4 × 3 = 12. On écrit 7. On fait : 10 + 12 + 7 = 29, 29 × 2 = 58, 58 + 21 = 79 et 79 – 70 = 9. Le reste est 9.

383. Reste de la division par 15

Comment trouver le reste de la division d’un nombre par 15 sans effectuer la division ?

Étapes

• On additionne les chiffres du nombre choisi, sauf les deux derniers.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le nombre formé par les deux derniers chiffres.

• On soustrait le multiple de 15 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 51 237 par 15. On fait : 5 + 1 + 2 = 8. On écrit 80. On fait : 80 + 37 = 117 et 117 – 105 = 12. Le reste est 12.

384. Reste de la division par 99

Comment obtenir le reste de la division d’un nombre par 99 sans effectuer la division ?

Étapes

• On retient le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre choisi.

• À partir de la droite vers la gauche, en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les chiffres de rangs impairs du nombre donné.

• Toujours en excluant les deux derniers chiffres, on additionne les autres chiffres et on ajoute un 0 à la fin.

• On additionne les trois résultats.

• Si la somme est égale ou supérieure à 99, on soustrait 99 ou le multiple de 99 qui est égal ou inférieur au résultat.

Soit à trouver le reste de la division de 746 823 par 99. On retient 23. On fait : 8 + 4 = 12 et 6 + 7 = 13. On écrit 130. On fait : 23 + 12 + 130 = 165 et 165 – 99 = 66. Le reste est 66.

Soit à trouver le reste de la division de 6 498 127 par 99. On retient 27. On fait : 1 + 9 + 6 = 16, 8 + 4 = 12. On écrit 120. On fait : 27 + 16 + 120 = 163 et 163 – 99 = 64. Le reste est 64.

385. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme et le quotient ?

Étapes

• On additionne 1 au quotient.

• On divise la somme donnée par le résultat : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée, on soustrait le résultat : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 56 et dont le quotient est 6. On fait : 6 + 1 = 7, 56 ÷ 7 = 8 et 56 – 8 = 48. Les deux nombres sont 8 et 48.

386. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence et le quotient ?

Étapes

• On soustrait 1 au quotient.

• On divise la différence donnée par le résultat : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 35 et dont le quotient est 6. On fait : 6 – 1 = 5, 35 ÷ 5 = 7 et 7 + 35 = 42. Les deux nombres sont 7 et 42.

387. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît le produit et le quotient ?

Étapes

• On divise le produit par le quotient.

• On extrait la racine carrée : c’est un premier nombre.

• On divise le produit donné par le résultat : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont le produit est 900 et dont le quotient est 4. On fait : 900 ÷ 4 = 225, √225 = 15 et 900 ÷ 15 = 60. Les deux nombres sont 15 et 60.

388. Nombres premiers

Comment savoir si un petit nombre est premier ?

Étapes

• On élimine tout nombre qui se termine par 0, 2, 4, 5, 6 et 8.

• On extrait la racine carrée du nombre.

• On divise successivement le nombre donné par les nombres premiers inférieurs à ce résultat, sauf 2 et 5.

Soit à savoir si 343 est premier. La racine carrée est 18,5. On divise 343 par 3 et par 7. Le nombre 343 est divisible par 7. Il n’est pas premier.

Soit à savoir si 347 est premier. La racine carrée de 347 est 18,6. On divise 347 par 3, 7, 11, 13 et 17. Le nombre 347 n’est divisible par aucun de ces nombres. Il est premier.

389. Addition de fractions

Comment trouver la somme de deux fractions ordinaires dont le numérateur de chacune est 1 ?

Étapes

• On additionne les deux dénominateurs des fractions : c’est le numérateur.

• On multiplie les deux dénominateurs : c’est le dénominateur.

Soit à calculer 1/3 + 1/7. On fait : 3 + 7 = 10 et 3 × 7 = 21. La somme est 10/21.

390. Soustraction de fractions

Comment trouver la différence de deux fractions ordinaires dont le numérateur de chacune est 1 ?

Étapes

• Du dénominateur le plus grand, on soustrait l’autre : c’est le numérateur.

• On multiplie les deux dénominateurs : c’est le dénominateur.

Soit à calculer 1/3 – 1/7. On fait : 7 – 3 = 4 et 3 × 7 = 21. La différence est 4/21.

391. Simplification d’une fraction

Comment simplifier une fraction ordinaire ?

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre les deux termes choisis.

• On peut soustraire le résultat trouvé et le nombre soustrait autant de fois que l’on veut.

• Quand on cesse de soustraire, on trouve les facteurs du résultat.

• On choisit un facteur possible.

• On divise chacun des termes de la fraction par ce facteur.

Soit à simplifier la fraction 391/667. On fait : 667 – 391 = 276 et 391 – 276 = 115. Deux facteurs sont 5 et 23. On fait : 391 ÷ 23 = 17 et 667 ÷ 23 = 29. La fraction simplifiée est 17/29.

392. Deux fractions

Comment trouver un nombre qu’il faut additionner au numérateur et au dénominateur d’une fraction pour donner une autre fraction ?

Étapes

• On choisit une fraction de départ et une autre d’arrivée.

• Du dénominateur de la fraction d’arrivée, on soustrait son numérateur. On note le résultat.

• On multiplie le dénominateur de la fraction de départ par le numérateur de la fraction d’arrivée.

• On multiplie le numérateur de la fraction de départ par le dénominateur de la fraction d’arrivée.

• On soustrait l’un de l’autre les deux derniers résultats.

• On divise par le résultat noté.

Soit 7/13 la fraction de départ et 11/14 la fraction d’arrivée. On fait : 14 – 11 = 3, 13 × 11 = 143, 7 × 14 = 98, 143 – 98 = 45 et 45 ¸ 3 = 15. Le nombre qu’il faut additionner est 15.

393. Parties proportionnelles

Comment partager un nombre en trois parties proportionnelles qui sont entre elles comme les nombres A, B et C ?

Étapes

• On additionne A, B et C.

• On multiplie le nombre donné par A et on divise par la somme.

• On multiplie le nombre donné par B et on divise par la somme.

• On multiplie le nombre donné par C et on divise par la somme.

Soit à partager 300 en trois parties proportionnelles qui sont entre elles comme 3, 5 et 7. On fait : 3 + 5 + 7 = 15, 300 × 3/15 = 60, 300 × 5/15 = 100 et 300 × 7/15 = 140. Les parties sont 60, 100 et 140.

394. Un pourboire    

Comment calculer un pourboire de 15 % ?

Étapes

• On déplace la virgule du montant dû vers la gauche.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats.

Soit un montant de 22,86 $. On écrit 2,28. On fait : 2,28 ÷ 2 = 1,14 et 2,28 + 1,14 = 3,42. Le pourboire est de 3,42 $.

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