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Chapitre
5. Cubes
et autres puissances
641.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On additionne 3.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 3.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On additionne 1.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 + 3 = 10, 10 ×
7 = 70, 70 + 3 = 73, 73 × 7 = 511 et 511 +
1 = 512. Le nombre 512 est un cube, celui de 8.
642.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (2)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On le multiplie par lui-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On divise par 2. On note le résultat.
• On soustrait l’un de l’autre les
deux premiers résultats.
• On divise par 2. On note le résultat.
• On élève au carré chacun des deux résultats notés.
• On soustrait l’un de l’autre les
deux carrés.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 ×
7 = 49, 49 + 7 = 56, 56 ÷ 2 = 28, 49 – 7 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. On fait :
282 = 784, 212 = 441 et 784 – 441 = 343. Le nombre
343 est un cube, celui de 7.
643.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (3)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par son successeur.
• On divise par 2.
• On soustrait le nombre choisi.
• On élève au carré chacun des deux résultats précédents.
• On soustrait l’un de l’autre les
deux carrés.
Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 ×
10 = 90, 90 ÷ 2 = 45 et 45 – 9 = 36. On fait : 452 =
2025, 362 = 1296, 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est un cube,
celui de 9.
644.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (4)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par son prédécesseur.
• On additionne 1.
• On écrit une quantité de nombres impairs consécutifs
correspondant au nombre choisi et en commençant par le dernier résultat.
• On additionne ces nombres.
Soit 5 le nombre choisi. On fait : 5 × 4 = 20 et 20 + 1 = 21. On écrit 21, 23, 25, 27, 29. La somme est
125. Le nombre 125 est un cube.
645.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (5)
Étapes
• On choisit deux nombres consécutifs.
• On multiplie chaque nombre par son successeur
et on divise par 2.
• On élève au carré chaque résultat.
• On soustrait l’un de l’autre les deux carrés.
Soit 11 et 12 les nombres choisis. On fait :
(11 × 12)/2 = 66,
(12 × 13)/2 = 78,
782
– 662 = 1728. Le nombre 1728 est un cube, celui de 12.
646.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (6)
Étapes
• On choisit trois nombres consécutifs.
• On multiplie les trois nombres.
• On additionne le nombre du milieu.
Soit 7, 8 et 9 les nombres choisis. On fait : 7 × 8 × 9 =
504 et 504 + 8 = 512. Le nombre 512 est un cube, celui de 8.
647.
Cube d’un nombre
Comment trouver un cube sans élever au cube ? (7)
Étapes
•
On écrit à la suite les nombres impairs consécutifs
en ayant soin de changer de ligne après avoir écrit successivement 1, 2,
3, 4, 5, … nombres.
•
On additionne les nombres de chaque ligne.
Voici ce que cela
donne pour les cinq premiers cubes :
1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125
648.
Cube d’un nombre
Comment trouver le cube d’un nombre sans élever au
cube ? (1)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie par son prédécesseur.
• On additionne le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit 11 le nombre choisi. On fait : 11 ×
10 = 110, 110 + 11 = 121 et 121 × 11 = 1331. Le nombre 1331 est le
cube de 11.
649.
Cube d’un nombre
Comment trouver le cube d’un nombre sans élever au
cube ? (2)
Étapes
• On choisit un choisit un nombre.
• On prend le triangulaire de ce nombre.
• On élève le triangulaire au carré. On note
le résultat.
• On prend le triangulaire inférieur au premier.
• On élève ce triangulaire au carré.
• Du résultat noté, on soustrait le dernier résultat.
Soit 9 le nombre choisi. Le triangulaire est 45. On
fait : 452 = 2025. On prend le triangulaire 36. On fait :
362 = 1296 et 2025 – 1296 = 729. Le nombre 729 est le cube de
9.
650.
Cube d’un nombre
Comment
trouver le cube d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, qu’il y a de 9 dans le nombre à élever
au cube.
•
On écrit un 7.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, qu’il y a de 9 dans le nombre à élever
au cube.
•
On écrit un 2.
•
On écrit 9 autant de fois qu’il y a de 9 dans le nombre à élever au
cube.
Soit
à élever 9999 au cube. On écrit trois 9, un 7, trois 0, un 2 et quatre 9.
Le résultat est 999 700 029 999.
651. Double addition
Comment trouver
deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs cubes ?
Étapes
• On divise la
somme des cubes par la somme des deux nombres.
• Du carré de
la somme des nombres, on soustrait le résultat précédent.
• On divise par
3 : c’est le produit des deux nombres cherchés.
• On cherche deux diviseurs du produit dont la somme est celle
donnée.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme est 8 et dont la somme des cubes est 152. On fait :
152 ÷ 8 = 19, 64 – 19 = 45 et 45 ÷ 3 = 15. Les diviseurs possibles sont
3 et 5. Les nombres sont 3 et 5.
652.
Double addition
Comment
trouver la somme d’un nombre et de son cube sans élever au cube ?
Étapes
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On additionne 1.
• On multiplie par le nombre donné.
Soit à trouver la somme
de 12 et du cube de 12. On fait : 12 × 12 = 144, 144 + 1 = 145
et 145 × 12 = 1740. La somme est 1740.
653. Double addition
Comment trouver la somme du carré et du cube d’un nombre sans élever
à une puissance ? (1)
Étapes
• On choisit une base.
• On multiplie par 2.
• On multiplie par la base choisie.
• On multiplie par la moitié du successeur de la base choisie.
Soit à calculer 142 + 143. On fait : 14
× 2 = 28, 28 × 14 = 392 et 392 × 7,5 = 2940. La somme est 2940.
654.
Double addition
Comment trouver la somme du carré et du cube d’un nombre sans élever
à une puissance ? (2)
Étapes
• On choisit une base.
• On additionne 1. On note le résultat.
• On multiplie la base choisie par son successeur.
• On soustrait la base choisie.
• On multiplie par le résultat noté.
Soit à calculer 152 + 153. On fait : 15
+ 1 = 16, 15 × 16 = 240, 240 – 15 = 225 et 225 × 16 = 3600. La somme est
3600.
655.
Double addition
Comment trouver des nombres dont la somme de leurs
cubes est égale au carré de leur somme ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On cherche ses diviseurs
•
On détermine la quantité de diviseurs de
chaque diviseur.
•
On élève au cube chaque nombre représentant
la quantité de diviseurs : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On élève au carré la somme de ces nombres :
c’est le deuxième membre de l’égalité.
Soit 51 le nombre choisi. Les diviseurs sont 1, 3,
17, 51. Un a un diviseur, 3 deux diviseurs, 17 deux diviseurs et 51 quatre
diviseurs. L’égalité est : 13 + 23 + 23
+ 43 = (1 + 2 + 2 + 4)2 = 81.
656.
Triple addition
Comment
trouver la somme d’un nombre, de son carré et de son cube sans élever à
une puissance ?
Étapes
•
On multiplie le nombre par son successeur.
•
On additionne 1.
•
On multiplie le nombre choisi.
Soit à calculer 6 + 62 + 63.
On fait : 6 × 7 = 42, 42 + 1 = 43 et 43 × 6 = 258. La somme est 258.
657.
Quadruple addition
Comment
trouver la somme de deux nombres et de leurs cubes sans élever au cube ?
Étapes
•
On multiplie le premier nombre par lui-même.
•
On additionne 1.
•
On multiplie par le premier nombre choisi. On note le résultat.
•
On multiplie le deuxième nombre par lui-même.
•
On additionne 1.
•
On multiplie par le deuxième nombre choisi.
•
On additionne le résultat noté.
Soit à calculer 5 + 8 + 53 + 83. On
fait : 5 × 5 = 25, 25 + 1 = 26 et 26 × 5 = 130. On fait : 8 × 8
= 64, 64 + 1 = 65, 65 × 8 = 520 et 520 + 130 = 650. La somme est 650.
658.
Quadruple addition
Comment
trouver la somme de deux nombres élevés au carré et au cube sans élever
à une puissance ?
Étapes
•
On multiplie le premier nombre par lui-même.
•
On multiplie par le successeur du premier nombre choisi. On note le résultat.
•
On multiplie le deuxième nombre par lui-même.
•
On multiplie par le successeur du deuxième nombre choisi.
•
On additionne le résultat noté.
Soit à calculer 52 + 83 + 53 + 83.
On
fait : 5 × 5 = 25, 25 × 6 = 150, 8 × 8 = 64, 64 × 9 = 576 et 576 +
150 = 726. La somme est 726.
659.
Addition de
deux cubes
Comment
trouver la somme de deux cubes dont la différence des bases est 2 sans élever
au cube ?
Étapes
• On
multiplie la petite base par 2.
• On
additionne 6.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 12.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 8.
Soit
à calculer 103
+ 123. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 6 = 26 et 26 ×
10 = 260. On fait : 260 + 12 = 272, 272 × 10 = 2720 et 2720 + 8 =
2728. La somme est 2728.
660.
Addition de
deux cubes
Comment
trouver la somme de deux cubes dont la différence des bases est 3 sans élever
au cube ?
Étapes
• On
multiplie la petite base par 2.
• On
additionne 9.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 27.
• On
multiplie par la petite base.
• On
additionne 27.
Soit
à calculer 103
+ 133. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 9 = 29 et 29 ×
10 = 290. On fait : 290 + 27 = 317, 317 × 10 = 3170 et 3170 + 27 =
3197. La somme est 3197.
661.
Addition de deux cubes
Comment
trouver la somme de deux cubes dont on connaît les bases sans élever au
cube ?
Étapes
• On
additionne les deux bases choisies. On note le résultat.
• On
additionne les carrés des deux bases choisies.
• On
multiplie l’un par l’autre les deux bases choisies.
• On
soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.
• On
multiplie par le résultat noté.
Soit
à calculer 123
+ 73. On fait : 12 + 7 = 19, 122 + 72
= 193, 12 × 7 = 84, 193 – 84 = 109 et
109 × 19 = 2071. La somme est 2071.
662. Addition de deux cubes consécutifs
Comment trouver
la somme de deux cubes consécutifs sans élever au
cube ? (1)
Étapes
· On additionne les bases. On note le résultat.
· On multiplie l’une par l’autre les bases.
· On additionne 1.
· On multiplie par le résultat noté.
Soit
à calculer 123
+ 133. On fait : 12
+ 13 = 25, 12 × 13 = 156, 156 + 1 = 157 et 157 × 25 = 3925. La somme est
3925.
663.
Addition de deux cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (2)
Étapes
•
On additionne les bases.
•
On multiplie les bases et on additionne 1.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux résultats.
Soit
à calculer 113
+ 123. On fait : 11 + 12 = 23, 11 × 12 + 1 =
133 et 23 × 133 = 3059. La somme est 3059.
664. Addition
de deux cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de deux cubes consécutifs sans
élever au cube ?
(3)
Étapes
• On
multiplie la plus petite base par 2.
• On
additionne 3.
• On
multiplie par la plus petite base.
• On
additionne 3.
• On
multiplie par la plus petite base.
• On
additionne 1.
Soit
à calculer 103
+ 113. On fait : 10 × 2 = 20, 20 + 3 = 23 et 23 ×
10 = 230. On fait : 230 + 3 = 233, 233 × 10 = 2330 et 2330 + 1 = 2331.
La somme est 2331.
665. Addition de deux cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de deux cubes consécutifs sans
élever au cube ? (4)
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 3. On note le résultat.
• On multiplie la
plus petite base par elle-même.
• On multiplie par
2.
• On additionne le résultat
noté.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 1.
Soit
à calculer 53
+ 63. On fait : 6
× 3 = 18, 5 × 5 = 25 et 25 × 2 = 50. On fait : 50 + 18 = 68, 68 × 5
= 340 et 340 + 1 = 341. La somme est 341.
666.
Addition de deux cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (5)
Étapes
•
On multiplie la plus grande base par son successeur et on divise par 2.
•
On élève au carré.
•
On multiplie la plus petite base par son prédécesseur et on divise par 2.
•
On élève au carré.
•
On soustrait l’un de l’autre les deux carrés.
Soit
à calculer 83
+ 93. On fait : 9 × 10 ÷ 2 = 45, 452 = 2025, 8 × 7 ÷ 2 = 28, 282
= 784, puis 2025 – 784 = 1241. La somme est 1241.
667.
Addition de deux cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de deux cubes consécutifs sans élever au cube ? (6)
Étapes
•
On prend le triangulaire de la plus grande base.
•
On élève au carré.
•
On prend le triangulaire du prédécesseur de la plus petite base.
•
On élève au carré.
•
On soustrait l’un de l’autre les deux carrés.
Soit
à calculer 53
+ 63. On fait : 6D = 21, 212 = 441, 4D = 10, 102 = 100 et 441 – 100 = 341. La somme est
341.
668.
Addition de cubes consécutifs
Comment trouver la somme de cubes consécutifs dont
la première base est 1 sans élever au
cube ? (1)
Étapes
•
On multiplie le nombre donné de cubes par son successeur.
•
On divise par 2.
•
On élève au carré.
Soit
à calculer la somme des neuf premiers cubes. On fait : 9 × 10 = 90,
90 ÷ 2 = 45 et 452 = 2025. La somme est 2025.
669.
Addition de cubes consécutifs
Comment trouver la somme de cubes consécutifs dont
la première base est 1 sans élever au
cube ? (2)
Étapes
•
On prend le triangulaire du nombre donné de cubes.
•
On élève au carré.
Soit
à calculer la somme des 10 premiers cubes. On fait : 10D = 55 et 552
= 3025. La somme est 3025.
670.
Addition de cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de cubes consécutifs dont la première base est 1 sans élever
au cube ? (3)
Étapes
•
On additionne les bases.
•
On élève le résultat au carré.
Soit
à calculer 13 + 23 + 33 + 43.
On fait : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 et 102 = 100. La somme est 100.
671.
Addition de cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de cubes consécutifs dont la première base est 1 sans élever
au cube ? (4)
Étapes
•
On multiplie par la plus grande base par son successeur.
•
On divise par 2.
•
On élève le résultat au carré.
Soit
à calculer 13 + 23 + 33 + 43 +
53. On fait : 5 ×
6 = 30, 30 ÷
2 = 15 et 152 = 225. La somme est 225.
672.
Addition de cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de cubes consécutifs impairs dont la première base est 1
sans élever au cube ?
Étapes
•
On compte le nombre de cubes.
•
On élève au carré.
•
On multiplie par 2 et on soustrait 1.
•
On multiplie l’un par l’autre les résultats des deux dernières lignes.
Soit
à calculer 13 + 33 + 53 + 73 +
93 + 113. Il y a 6 cubes. On fait : 62 = 36, 36 ×
2 = 72, 72 – 1 = 71 et 36 × 71 = 2556. La somme est 2556.
673.
Addition de cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de cubes consécutifs pairs dont la première base est 2
sans élever au cube ?
Étapes
•
On compte le nombre de cubes.
•
On élève au carré.
•
On élève au carré le successeur du nombre de cubes.
•
On multiplie l’un par l’autre les deux derniers résultats.
•
On multiplie par 2.
Soit
à calculer 23 + 43 + 63 + 83 +
103 + 123. Il y a 6 cubes. On fait : 62
×
72 = 1764 et 1764 ×
2 = 3528. La
somme est 3528.
674.
Addition de cubes consécutifs
Comment
trouver la somme de cubes consécutifs sans élever au cube ?
Étapes
•
On multiplie la plus grande base par son successeur.
•
On divise par 2.
•
On élève le quotient au carré. On note le résultat.
•
On multiplie la plus petite base par son prédécesseur.
•
On divise par 2.
•
On élève le quotient au carré.
•
Du résultat noté, on soustrait le dernier carré.
Soit
à calculer 53 + 63 + 73. On fait : 7 ×
8 = 56, 56 ÷
2 = 28 et 282 = 784. On fait : 5 × 4 = 20, 20 ÷
2 = 10 et 102 = 100. On fait : 784 – 100 = 684. La somme
est 684.
675.
Addition de trois cubes
Comment
trouver la somme de trois cubes consécutifs dont on connaît les bases sans
élever au cube ? (1)
Étapes
•
On additionne les bases.
•
On élève au carré la base du milieu et on additionne 2.
•
On multiplie l’un par l’autre les résultats des deux lignes.
Soit
à calculer 93 + 103 + 113. La somme des
bases est 30. On fait : 102 + 2 = 102 et 30 ×
102 = 3060. La
somme est 3060.
676.
Addition de trois cubes
Comment
trouver la somme de trois cubes consécutifs dont on connaît les bases sans
élever au cube ? (2)
Étapes
•
On élève au carré la base du milieu.
•
On additionne 2.
•
On multiplie par la base du milieu.
•
On multiplie par 3.
Soit
à calculer 103 + 113 + 123. On fait :
112 = 121, 121 + 2 = 123, 123 × 11 = 1353 et 1353 × 3 = 4059. La somme est 4059.
677.
Addition de quatre cubes
Comment
trouver la somme de quatre cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par 4 et on additionne 6.
•
On multiplie l’une par l’autre les deux bases du milieu et on additionne
4.
•
On multiplie l’un par l’autre les résultats des deux lignes.
Soit
à calculer 83 + 93 + 103 + 113.
On fait : 8 ×
4 + 6 = 38, 9
×
10 + 4 = 94 et 38 ×
94 = 3572.
La somme est
3572.
678.
Addition de cinq cubes
Comment
trouver la somme de cinq cubes consécutifs dont on connaît les bases sans
élever au cube ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par 5 et on additionne 10.
•
On multiplie l’une par l’autre les deux bases extrêmes et on additionne
10.
•
On multiplie l’un par l’autre les résultats des deux lignes.
Soit
à calculer 73 + 83 + 93 + 103 +
113. On fait : 7
× 5 + 10 =
45, 7
×
11 + 10 = 87 et 45 ×
87 = 3915.
La somme est
3915.
679.
Quatre cubes
Comment
décomposer un cube en une somme de trois cubes ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement le nombre choisi par 1, 6, 8 et 9 : ce sont
les bases. La plus grande base est placée dans le premier membre de l’égalité,
les autres dans le deuxième.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les produits sont 4, 24, 32 et 36. L’égalité est
: 363 = 43 + 243 + 323 = 46 656.
680.
Quatre cubes
Comment
trouver deux carrés dont la différence est la somme de quatre cubes consécutifs
?
Étapes
•
On choisit quatre bases.
•
On multiplie la plus grande base par son successeur.
•
On divise par 2 : c’est la base du plus grand carré.
•
On multiplie la plus petite base par son prédécesseur.
•
On divise par 2 : c’est la base du plus petit carré.
Soit
6, 7, 8 et 9 les bases des quatre cubes. On fait : 9 ×
10 = 90 et 90 ÷
2 = 45. On fait : 5 ×
6 = 30 et 30 ÷
2 = 15. L’égalité est : 452 – 152
= 63 + 73 + 83 + 93 =
1800.
681.
Cinq cubes
Comment
trouver deux cubes dont la somme est égale à celle de trois cubes ? (1)
Étapes
•
On décompose 576 en trois facteurs a, b et c.
•
On remplace chaque variable par le facteur choisi : a + b + c, a – b
– c, b – a – c, c – a – b.
•
On place les résultats positifs dans un membre de l’égalité, les négatifs
sans signe dans l’autre membre.
•
On écrit 24 dans le membre des négatifs sans signe.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
a = 4, b = 9 et c = 16. On obtient successivement 29, -21, -11 et 3. L’égalité est
: 293 + 33 = 113 + 213 + 243
= 24 416.
682.
Cinq cubes
Comment
trouver deux cubes dont la somme est égale à celle de trois cubes ? (2)
Étapes
•
On donne des valeurs à a, b et c telles que 3abc est un cube.
•
On remplace chaque variable par le facteur choisi : a + b + c, a + b
– c, a – b + c, b + c – a.
•
On place le plus grand résultat dans le premier membre de l’égalité,
les autres dans l’autre membre. Si un résultat est négatif, on le place
dans le premier membre.
•
On extrait la racine cubique de 24abc. On place le résultat dans le second
membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
a = 3, b = 4 et c = 6. On obtient successivement 13, 1, 5 et 7. La racine
cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 133 = 13
+ 53 + 73 + 123 = 2197.
Soit
a = 2, b = 3 et c = 12. On obtient successivement 17, -7, 11 et 13. La
racine cubique de 24abc est 12. L’égalité est : 173 + 73
= 113 + 123 + 133 = 5256.
683.
Cinq cubes
Comment
trouver deux cubes dont la somme est égale à celle de trois cubes ? (3)
Étapes
•
On trouve une valeur de m telle que 6m est un cube.
•
On extrait la racine cubique de 6m. On note le résultat.
•
On remplace la variable m par la valeur choisie : (m – 1), -m, -m et
(m + 1).
•
On place les résultats positifs dans le premier membre de l’égalité,
les négatifs sans signe et le résultat noté dans l’autre membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
m = 36. La racine cubique de 6m est 6. On obtient successivement 35, -36,
-36 et 37. L’égalité est : 353 + 373 = 63
+ 363 + 363 = 93 528.
684.
Sept
cubes
Comment trouver trois
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ?
Étapes
•
On prend 0.
•
On additionne successivement 11, 5, 11 au résultat précédent : ce sont
les bases du premier membre de l’égalité.
•
On écrit 2 et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat précédent
: ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
On écrit 11, 16, 27,
puis 2, 6, 21, 25. L’égalité est : 113 + 163 + 273
= 23 + 63 + 213 + 253 = 25 110.
685.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne 0, 6, 7 et 13 au nombre choisi : ce sont les bases d’un
premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1, 3, 10 et 12 au nombre choisi : ce sont les bases du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 11, 12, 18, puis 6, 8, 15, 17. L’égalité
est : 53 + 113 + 123 + 183
= 63 + 83 + 153 + 173 = 9016.
686.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne 1, 7, 8, 14 au nombre choisi : ce sont les bases d’un
premier membre de l’égalité.
•
On additionne 2, 4, 11, 13 au nombre choisi : ce sont les bases du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
6 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité
est : 73 + 133 + 143 + 203
= 83 + 103 + 173 + 193 = 13 284.
687.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie 1, 7, 8, 14 par le nombre choisi : ce sont les bases
d’un premier membre de l’égalité.
•
On multiplie 2, 4, 11, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du
deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
7 le nombre choisi. Les produits sont 7, 49, 56, 98, puis 14, 28, 77, 91.
L’égalité est : 73 + 493 + 563 +
983 = 143 + 283 + 773 + 913
= 1 234 800.
688.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 3, 4 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 7, 1 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 15 le nombre choisi.
On écrit 15, 19, 22, 26, puis 16, 17, 24, 25. L’égalité est : 153
+ 193 + 223 + 263 = 163 + 173
+ 243 + 253 = 38 458.
689.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 5, 5 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 9, 2 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi.
On écrit 4, 9, 14, 19, puis 5, 7, 16, 18. L’égalité est : 43
+ 93 + 143 + 193 = 53 + 73
+ 163 + 183 = 10 396.
690.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 1, 6 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 7, 2 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 8 le nombre choisi.
On écrit 8, 14, 15, 21, puis 9, 11, 18, 20. L’égalité est : 83
+ 143 + 153 + 213 = 93 + 113
+ 183 + 203 = 15 892.
691.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 11, 5, 11 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 2 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 3 le nombre choisi.
On écrit 3, 14, 19, 30, puis 5, 9, 24, 28. L’égalité est : 33
+ 143 + 193 + 303 = 53 + 93
+ 243 + 283 = 36 630.
692.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (6)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On ajoute successivement ce nombre devant 11, 17, 18, 24 : ce sont les bases
du premier membre de l’égalité.
•
On ajoute successivement ce nombre devant 12, 14, 21, 23 : ce sont les bases
du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
1 le nombre choisi. On ajoute 1 devant chaque nombre. L’égalité est :
1113 + 1173 + 1183 + 1243 = 1123
+ 1143 + 1213 + 1233 = 6 518 900.
693. Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (7)
Étapes
•
On choisit un triplet de Pythagore.
•
On ajoute + 02 comme deuxième élément du deuxième membre de
l’égalité.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
32 + 42 = 52 le triplet choisi. On écrit :
32 + 42 = 52 + 02. On choisit 9
comme opérateur. On fait : 9 – 3 = 6, 9 + 3 = 12, 9 – 4 = 5 et 9 +
4 = 13. On fait : 9 – 5 = 4, 9 + 5 = 14, 9 – 0 = 9 et 9 + 0 = 9.
L’égalité est : 53 + 63 + 123 + 133
= 43 + 93 + 93 + 143 = 4266.
694.
Huit cubes
Comment
trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (8)
Étapes
•
On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale
à la somme de deux carrés.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chaque base, on soustrait et on additionne l’opérateur.
•
On place les quatre premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
42 + 172 = 72 + 162 l’égalité
choisie. On choisit 18 comme opérateur. On fait : 18 – 4 = 14, 18 +
4 = 22, 18 – 17 = 1 et 18 + 17 = 35. On fait : 18 – 7 = 11, 18 + 7
= 25, 18 – 16 = 2 et 18 + 16 = 34. L’égalité est : 13
+ 143 + 223 + 353 = 23 + 113
+ 253 + 343 = 56 268.
695.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (9)
Étapes
•
On écrit deux quadruplets : 2, 8, 9, 15 et 3, 5, 12, 14.
•
On choisit un polynôme en n du premier degré.
•
On attribue à n les valeurs des quadruplets : les quatre premiers résultats
sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du
deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit le polynôme (2a –
1). On obtient : 3, 15, 17, 29, puis 5, 9, 23, 27. L’égalité est :
33 + 153 + 173 + 293 = 53
+ 93 + 233 + 273 = 32 704.
696.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (10)
Étapes
•
On écrit une suite de 16 termes.
•
On prend les termes de rangs 2, 8, 9, 15 : ce sont les bases du premier
membre de l’égalité.
•
On prend les termes de rangs 3, 5, 12, 14 : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit la suite 4, 7, 10,
13, 18, 21, 24, 27, 32, 35, 38, 41, 46, 49, 52, 55. L’égalité est : 73
+ 273 + 323 + 523 = 103 + 183
+ 413 + 493 = 193 402.
697.
Huit
cubes
Comment trouver quatre
cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ? (11)
Étapes
•
On prend quatre variables a, b, c, d et on leur donne chacune une valeur.
•
On trouve la valeur de chaque expression, ad – bc, bd + ac, ad + bc et bd
– ac : les deux premières serviront à former les bases du premier
membre de l’égalité et les deux autres, les bases du deuxième membre.
•
On choisit un nombre qu’on appelle opérateur et qui est supérieur au
plus grand des quatre nombres trouvés.
•
De l’opérateur, on soustrait et on additionne chacun des quatre
nombres trouvés.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit a = 5, b = 3, c = 2
et d = 4. Pour le premier membre, on a 14 et 22. Pour le second membre, on a
26 et 2. On choisit 27. On fait : 27 – 14 = 13, 27 + 14 = 41, 27 –
22 = 5, 27 + 22 = 49. On fait : 27 – 26 = 1, 27 + 26 = 53, 27 – 2 =
25, 27 + 2 = 29. L’égalité est : 53 + 133
+ 413 + 493 = 13 + 253 + 293
+ 533 = 188 892.
698.
Dix cubes
Comment
trouver cinq cubes dont la somme est égale à celle de cinq cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 4, 12, 13 et 20 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3, 10, 16 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 5, 8, 16, 17, 24, puis 6, 7, 14, 20, 23.
L’égalité est : 53 + 83 + 163
+ 173 + 243 = 63 + 73 + 143
+ 203 + 233 = 23 470.
699.
Dix
cubes
Comment trouver cinq
cubes dont la somme est égale à celle de cinq cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 4, 8, 1 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 4, 4 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 10 le nombre choisi. On écrit 10, 14, 18, 26,
27, puis 11, 12, 20, 24, 28. L’égalité est : 103 + 143
+ 183 + 263 + 273 = 113 + 123
+ 203 + 243 + 283 = 46 835.
700.
Douze cubes
Comment
trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre A qu’on additionne successivement à 0, 5 et 7 :
ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
•
On choisit un autre nombre B qu’on additionne à chaque résultat précédent :
ce sont des bases du deuxième membre.
•
On additionne A successivement à 1, 3 et 8 : ce sont des bases du
deuxième membre.
•
On additionne B à chaque résultat précédent : ce sont des bases du
premier membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
A = 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 12 et 14. On choisit B = 9. Les
sommes sont 16, 21 et 23. On additionne A. Les sommes sont 8, 10 et 15. On
additionne B. Les sommes sont 17, 19 et 24. L’égalité est : 73
+ 123 + 143 + 173 + 193 + 243
= 83 + 103 + 153 + 163 + 213
+ 233 = 30 411.
701.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 1, 14, 1, 4 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 4, 12, 4, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi.
On écrit 4, 8, 9, 23, 24, 28, puis 5, 6, 10, 22, 26, 27. L’égalité est
: 43 + 83 + 93 + 233 + 243
+ 283 = 53 + 63 + 103 + 223
+ 263 + 273 = 49 248.
702.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 8, 5, 4 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 10, 2, 10, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 5, 10, 18, 23, 27, puis 2, 3, 13, 15, 25, 26. L’égalité est
: 13 + 53 + 103 + 183 + 233
+ 273 = 23 + 33 + 133 + 153
+ 253 + 263 = 38 808.
703.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 1, 10, 1, 5 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 2, 8, 1 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 10, 11, 21, 22, 27, puis 6, 7, 15, 17, 25, 26. L’égalité
est : 53 + 103 + 113 + 213 + 223
+ 273 = 63 + 73 + 153 + 173
+ 253 + 263 = 42 048.
704.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 2, 3, 2, 5 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 5, 1, 5, 2 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 11 le nombre choisi.
On écrit 11, 16, 18, 21, 23, 28, puis 12, 14, 19, 20, 25, 27. L’égalité
est : 113 + 163 + 183 + 213 + 233
+ 283 = 123 + 143 + 193 + 203
+ 253 + 273 = 54 639.
705.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (6)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 3, 3, 3, 6 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 3, 6, 1, 6, 3 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi.
On écrit 4, 10, 13, 16, 19, 25, puis 5, 8, 14, 15, 21, 24. L’égalité
est : 43 + 103
+ 133 + 163
+ 193 + 253
= 53 + 83
+ 143 + 153
+ 213 + 243
= 29 841.
706.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (7)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 8, 3, 16, 3, 8 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 2 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 15, 2, 15, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 13, 16, 32, 35, 43, puis 7, 8, 23, 25, 40, 41. L’égalité
est : 53 + 133 + 163 + 323 + 353
+ 433 = 73 + 83 + 233 + 253
+ 403 + 413 = 161 568.
707.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (8)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 26, 15, 52, 15,
26 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 8 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 57, 2, 57, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 27, 42, 94, 109, 135, puis 9, 10, 67, 69, 126, 127. L’égalité
est : 13 + 273 + 423 + 943 + 1093
+ 1353 = 93 + 103 + 673 + 693
+ 1263 + 1273 = 4 679 760.
708.
Douze cubes
Comment trouver six cubes
dont la somme est égale à celle de six cubes ? (9)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 1, 2, 2, 2, 1, 1,
1, 2, 2, 2, 1 au résultat précédent.
•
On prend les termes
de rangs 1, 4, 5, 8, 9, 12 : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On prend les autres termes :
ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 10 le nombre choisi.
On écrit la suite : 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27.
L’égalité est : 103 + 153 + 173 + 203
+ 223 + 273 = 113 + 133 + 183
+ 193 + 243 + 263 = 47 619.
709. Douze cubes
Comment
trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six cubes ? (10)
Étapes
•
On choisit une égalité dans laquelle la somme de trois carrés est égale
à la somme de trois carrés.
•
On choisit un nombre supérieur à la plus grande base : c’est l’opérateur.
•
Pour chacune des bases de l’égalité, on soustrait et on additionne
l’opérateur.
•
On place les six premiers résultats dans le premier membre de l’égalité
et les autres, dans le deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
62 + 72 + 112 = 52 + 92
+ 102 l’égalité choisie. On choisit 12 comme opérateur. On
fait : 12 – 6 = 6, 12 + 6 = 18, 12 – 7 = 5, 12 + 7 = 19, 12 – 11
= 1 et 12 + 11 = 23. On fait de même pour le deuxième membre. On
obtient 7, 17, 3, 21, 2 et 22. L’égalité est : 13 + 53
+ 63 + 183 + 193 + 233 = 23
+ 33 + 73 + 174 + 213 + 223
= 25 200.
710.
Douze cubes
Comment
trouver six cubes dont la somme est égale à celle de six cubes ? (11)
Étapes
•
On choisit un polynôme en n du premier degré.
•
On attribue à n les valeurs 1, 6, 8.
•
On attribue à n les valeurs 2, 4, 9.
•
On choisit un nombre supérieur au plus grand nombre trouvé.
•
De ce nombre, on soustrait chacun des résultats de la deuxième ligne :
ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
•
Du même nombre, on soustrait chacun des résultats de la troisième ligne :
ce sont des bases du second membre de l’égalité.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
On
choisit (2n + 1). Avec 1, 6, 8, on a 3, 13, 17. Avec 2, 4, 9, on a 5, 9, 19.
On choisit 21. Les différences sont 18, 8, 4, puis 16, 12, 2. En respectant
l’ordre numérique, l’égalité
est : 33
+ 43 + 83 + 133 + 173 + 183
= 23 + 53 + 93 + 123 + 163
+ 193 = 13 545.
711. Douze
cubes
Comment trouver six cubes dont la somme est égale
à celle de six cubes ? (12)
Étapes
• On choisit un polynôme en n du premier degré.
• On attribue à n les valeurs 1, 7 et 10.
• On attribue à n les valeurs 2, 5 et 11.
• On choisit un nombre supérieur au plus grand
nombre trouvé.
• De ce nombre, on soustrait chacun des résultats
de la deuxième ligne : ce sont des bases du premier membre de l’égalité.
• Du même nombre, on soustrait chacun des résultats
de la troisième ligne : ce sont des bases du second membre de l’égalité.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
On
choisit (3n – 1). Avec 1, 7, 10, on a 2, 20, 29. Avec 2, 5, 11, on a 5,
14, 32. On choisit 33. Les différences sont 31, 13, 4, puis 28, 19, 1. En
respectant l’ordre numérique, l’égalité
est :
23 + 43 + 133 + 203 + 293
+ 313 = 13 + 53 + 143 + 193
+ 283 + 323 = 64 449.
712.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement le nombre choisi à 1, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 17
: ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement le nombre choisi à 2, 3, 5, 8, 10, 13, 15, 16
: ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. On écrit 6, 9, 11, 12, 16, 17, 19, 22, puis 7, 8, 10,
13, 15, 18, 20, 21. L’égalité est : 63
+ 93 + 113 + 123 + 163 + 173
+ 193 + 223 = 73 + 83 + 103
+ 133 + 153 + 183 + 203 + 213
=
30 520.
713.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie successivement le nombre choisi par 1, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 17
: ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On multiplie successivement le nombre choisi par 2, 3, 5, 8, 10, 13, 15, 16
: ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. On écrit 3, 12, 18, 21, 33, 36, 42, 51, puis 6, 9, 15,
24, 30, 39, 45, 48. L’égalité est : 33
+ 123 + 183 + 213 + 333 + 363
+ 423 + 513 = 63 + 93 + 153
+ 243 + 303 + 393 + 453 + 483
=
306 180.
714.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 3, 1, 3, 1, 3,
3 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 3, 3, 1, 3,
3, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 4 le nombre choisi. On écrit 4, 7, 10, 11, 14,
15, 18, 21, puis 5, 6, 9, 12, 13, 16, 19, 20. L’égalité est : 43
+ 73 + 103 + 113 + 143 + 153
+ 183 + 213 = 53 + 63 + 93
+ 123 + 133 + 163 + 193 + 203
= 23 950.
715.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 2, 1, 4, 1, 2,
3 au résultat précédent.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 1, 2, 3, 2, 3, 2,
1 au résultat précédent.
•
On choisit les termes de rangs 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 : ce sont les
bases du premier membre de l’égalité.
•
On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 13 le nombre choisi.
On écrit 13, 16, 18, 19, 23, 24, 26, 29, puis 14, 15, 17, 20, 22, 25, 27,
28. L’égalité est : 133 + 163 + 183 +
193 + 233 + 243 + 263 + 293
= 143 + 153 + 173 + 203 + 223
+ 253 + 273 + 283 = 86 940.
716.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 14, 4, 14,
5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 9, 9, 10, 9,
9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54.
L’égalité est : 53 + 93 + 143 + 283
+ 323 + 463 + 513 + 553 = 63
+ 73 + 163 + 253 + 353 + 443
+ 533 + 543 = 454 680.
717.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (6)
Étapes
•
On écrit une suite de huit termes.
•
On choisit un nombre.
•
On additionne ce nombre à chacun des termes de la suite.
•
On choisit les termes de rangs 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 : ce sont les
bases du premier membre de l’égalité.
•
On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
la suite : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. On choisit 25. On a 26, 29, 32, 35,
38, 41, 44, 47. L’égalité est : 13
+ 103 + 163 + 193 + 293 + 323
+ 383 + 473 = 43 + 73 + 133
+ 223 + 263 + 353 + 413 + 443
=
227 808.
718.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (7)
Étapes
•
On écrit une suite de 17 termes.
•
On biffe le terme du milieu.
•
On choisit les termes de rangs 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 : ce sont les
bases du premier membre de l’égalité.
•
On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
la suite dont le premier terme est 2 et dont la raison est 3. On écrit 2,
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50. L’égalité
est : 23
+ 113 + 173 + 203 + 323 + 353
+ 413 + 503 = 53 + 83 + 143
+ 233 + 293 + 383 + 443 + 473
=
283 816.
719.
Seize cubes
Comment trouver huit
cubes dont la somme est égale à celle de huit cubes ? (8)
Étapes
•
On écrit une suite de 18 termes.
•
On biffe le 5e et le 14e terme.
•
On choisit les termes de rangs 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
la suite dont le premier terme est 2 et dont la raison est 3. On écrit 2,
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50,
53. L’égalité est : 23
+ 113 + 203 + 233 + 323 + 353
+ 443 + 533 = 53 + 83 + 173
+ 263 + 293 + 383 + 473 + 503
=
331 210.
720.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont on connaît les bases sans élever
au cube ? (1)
Étapes
• On
soustrait l’une de l’autre les deux bases. On note le résultat.
• On
multiplie chaque base par elle-même.
• On
additionne les deux derniers résultats.
• On
multiplie les deux bases l’une par l’autre.
• On
additionne les deux résultats précédents.
• On
multiplie par le résultat noté.
Soit
à calculer 123
– 73.
On fait : 12 – 7 = 5, 12 × 12 = 144, 7 × 7 = 49, 144 + 49 = 193 et
12 × 7 = 84. On fait : 193 + 84 = 277
et 277 × 5 = 1385. La différence est
1385.
721.
Soustraction
de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont on connaît les bases sans élever
au cube ? (2)
Étapes
• On soustrait l’une
de l’autre les deux bases.
On note le résultat.
• On additionne les
deux bases l’une à l’autre.
• On multiplie la
somme par elle-même.
• On multiplie
l’une par l’autre les deux bases.
• On soustrait
l’un de l’autre les deux résultats précédents.
• On multiplie par le résultat noté.
Soit
à calculer 133
– 73.
On fait : 13 – 7 = 6, 13 + 7 = 20 et 20
× 20 = 400. On fait : 13 × 7 = 91, 400 – 91 = 309 et 309 × 6 =
1854. La différence est 1854.
722.
Soustraction
de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 2
sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 6.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 8.
Soit
à calculer 113
– 93.
On fait : 11 × 6 = 66, 66 × 9 = 594 et
594 + 8 = 602. La différence est 602.
723.
Soustraction de cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 2
sans élever au cube ? (2)
Étapes
•
On multiple l’une par
l’autre les deux
bases.
•
On additionne la somme des carrés des deux bases.
•
On multiplie par 2.
Soit
à calculer 153
– 133. On fait : 15 ×
13 = 195, 195 + 152 + 132 = 589 et 589 ×
2 = 1178. La
différence est 1178.
724.
Soustraction de cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 3
sans élever au cube ? (1)
Étapes
•
On multiple les deux bases l’une par
l’autre.
•
On additionne 3.
•
On multiplie par 9.
Soit
à calculer 143
– 113. On fait : 14 ×
11 = 154, 154 + 3 = 157, 157 ×
9 = 1413. La différence est 1413.
725.
Soustraction de deux cubes
Comment
trouver la différence de deux cubes dont la différence des bases est 3
sans élever au cube ? (2)
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 9.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 27.
Soit
à calculer 113
– 83.
On fait : 11 × 9 = 99, 99 × 8 = 792 et
792 + 27 = 819. La différence est 819.
726.
Soustraction
de deux cubes
Comment trouver la
différence de deux cubes dont la différence des bases est 4 sans élever
au cube ?
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 12.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 64.
Soit
à calculer 93
– 53.
On fait : 9 × 12 = 108, 108 × 5 = 540
et 540 + 64 = 604. La différence est 604.
727.
Soustraction de
cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (1)
Étapes
• On additionne l’une à
l’autre les deux bases.
• On soustrait 1.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne le résultat de la deuxième ligne.
• On divise par 2.
• On multiplie la plus grande base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit
à calculer 83
– 73.
On fait : 8 + 7 = 15, 15 – 1 = 14 et 14 ×
14 = 196. On fait : 196 + 14 = 210, 210 ÷ 2 = 105, 8 × 8 = 64 et 105
+ 64 = 169. La différence est 169.
728.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (2)
Étapes
•
On additionne l’une à
l’autre les deux
bases.
•
On multiplie le résultat par l’entier suivant.
•
On divise par 2.
•
On additionne le carré de la plus petite base.
Soit
à calculer 93
– 83.
On fait : 8 + 9 = 17, 17 ×
18 = 306, 306 ÷
2 = 153, 153 + 64 = 217. La différence est 217.
729.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (3)
Étapes
• On additionne les deux bases l’une à l’autre.
• On multiplie par la plus grande.
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit
à calculer 63
– 53.
On fait : 6 + 5 = 11, 11 × 6 = 66, 5 × 5 =
25 et 66 + 25 = 91. La différence est 91.
730.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (4)
Étapes
• On additionne les
deux bases l’une à l’autre.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On multiplie l’une
par l’autre les deux bases.
• On soustrait l’un de
l’autre les deux résultats précédents.
Soit
à calculer 123
– 113. On fait : 12
+ 11 = 23, 23 × 23 = 529, 12 × 11 = 132 et 529 – 132 = 397. La différence
est 397.
731.
Soustraction
de cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (5)
Étapes
• On additionne les deux bases l’une à l’autre.
• On multiplie le résultat par lui-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
• On divise par 2.
• On multiplie la plus petite base par elle-même.
• On additionne les deux résultats précédents.
Soit
à calculer 73
– 63.
On fait : 7 + 6 = 13, 13 × 13 = 169, 169 +
13 = 182, 182 ÷ 2 = 91, 6 × 6 = 36 et 91 + 36 = 127. La différence est
127.
732.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (6)
Étapes
•
On additionne l’une à
l’autre les deux
bases.
•
On prend le triangulaire.
•
On élève au carré la plus petite base.
•
On additionne les deux derniers résultats.
Soit
à calculer 113
– 103. On fait : 11 + 10 = 21, 21D
= 231, 102 = 100 et 231 +
100 = 331. La différence
est 331.
733.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (7)
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par 2.
•
On multiplie par le suivant et on divise par 2.
•
On élève au carré la plus grande base.
•
On additionne les deux derniers résultats.
Soit
à calculer 93
– 83.
On fait : 8 ×
2 = 16, 16 ×
17 ÷
2 = 136, 92 = 81, puis 136 + 81 = 217. La différence est 217.
734.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (8)
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par l’entier suivant et on divise par 2.
•
On multiplie la plus grande base par l’entier suivant et on divise par 2.
•
On multiplie par 2 la plus petite base.
•
On multiplie par l’entier suivant et on divise par 2.
•
On additionne trois résultats, sauf celui de la troisième ligne.
Soit
à calculer 93
– 83.
On fait : 8 ×
9 ÷
2 = 36, 9 ×
10 ÷
2 = 45, 8 ×
2 = 16, 16 ×
17 ÷
2 = 136, puis 36 + 45 + 136 = 217. La différence 217.
735.
Soustraction
de cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (9)
Étapes
• On multiplie la
plus grande base par 3.
• On multiplie par
la plus petite base.
• On additionne 1.
Soit
à calculer 113
– 103. On fait : 3
× 11 = 33, 33 × 10 = 330 et 330 + 1 = 331. La différence est 331.
736.
Soustraction
de cubes consécutifs
Comment trouver la
différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases sans élever au cube ? (10)
Étapes
·
On multiplie la plus grande base par elle-même.
·
On multiplie par 3.
·
On multiplie la plus grande base par 3.
·
On soustrait l’un de l’autre les deux résultats
précédents.
·
On additionne 1.
Soit
à calculer 143
– 133. Soit à trouver la
différence du
cube de 14 et du cube de 13. On fait :
14 × 14 = 196, 196 × 3 = 588, 14 × 3 = 42, 588 – 42 = 546 et 546 + 1 =
547. La différence est 547.
737.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (11)
Étapes
•
On divise par 2 la base paire.
•
On multiplie par la base impaire.
•
On multiplie par 6.
•
On additionne 1.
Soit
à calculer 123 – 113. On fait : 12 ¸ 2 = 6, 6 ×
11 = 66, 66 ×
6 = 396,
puis 396 + 1 = 397. La différence est 397.
738.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (12)
Étapes
•
On élève la plus grande base au carré. On note le résultat.
•
On multiplie la plus petite base par 2.
•
On prend le triangulaire.
•
On additionne le résultat noté.
Soit
à calculer 123
– 113. On fait : 122 = 144, 11 ×
2 = 22, 22D
= 253 et 253 + 144 = 397. La
différence est 397.
739.
Soustraction de cubes consécutifs
Comment
trouver la différence de deux cubes consécutifs dont on connaît les bases
sans élever au cube ? (13)
Étapes
•
On prend le triangulaire de la plus grande base.
•
On prend le triangulaire de la plus petite base.
•
On prend le triangulaire du double de la plus petite base.
•
On additionne les trois résultats.
Soit
à calculer 153
– 143. On fait : 15D
= 120, 14D = 105, 28D
= 406 et 120 + 105 + 406 = 631. La différence est 631.
740.
Facteurs de cubes
Comment
trouver les facteurs de la somme de deux cubes consécutifs dont la plus
petite base est (3n – 2) et cela sans élever au cube ?
Étapes
•
On choisit une valeur pour n : la plus petite base est (3n – 2).
•
On choisit 9 comme premier facteur.
•
On remplace n par sa valeur dans (2n – 1) : c’est un deuxième
facteur.
•
On remplace n par sa valeur dans (3n2 – 3n + 1) : c’est
un troisième facteur.
Soit
à trouver les facteurs lorsque n = 6 : ce qui correspond à 163
+ 173. Le premier facteur est 9, le second 11, le troisième 91.
L’égalité est : 163 + 173 = 9 × 11 × 91 =
9009.
741. Double opération
Comment trouver
deux nombres dont on connaît la somme de leurs cubes et la différence de
leurs cubes ?
Étapes
• On additionne
la somme et la différence de leurs cubes.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine cubique : c’est un premier nombre.
• De la somme de
leurs cubes, on soustrait leur différence.
• On divise par
2.
• On extrait la
racine cubique : c’est un deuxième nombre.
Soit à trouver
deux nombres dont la somme des cubes est 468 et dont la différence des
cubes est 218. On fait : 468 + 218 = 686 et 686 ÷ 2 = 343. La racine
cubique de 343 est 7. On fait : 468 – 218 = 250 et 250 ÷ 2 = 125. La
racine cubique de 125 est 5. Les nombres sont 5 et 7.
742.
Cube et base
Comment
trouver la différence du cube d’un nombre et de sa base sans élever au
cube ?
Étapes
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On soustrait 1.
• On multiplie par le nombre donné.
Soit à trouver la différence
du
cube de 12 et de 12. On fait : 12 × 12 =
144, 144 – 1 = 143 et 143 × 12 = 1716. La différence est 1716.
743. Cube et carré
Comment trouver la différence du cube d’un nombre et du carré
de ce nombre sans élever au cube ?
Étapes
• On soustrait 1 au nombre choisi.
• On multiplie le nombre donné par lui-même.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats.
Soit à trouver la différence
du
cube de 15 et du carré de 15. On fait : 15
– 1 = 14, 15 × 15 = 225 et 225 × 14 = 3150. La différence est 3150.
744.
Soustraction de sommes
Comment
trouver la différence de deux sommes dont l’une est celle de deux nombres
élevés au cube et dont l’autre est celle des deux mêmes nombres ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par elle-même.
•
On soustrait 1.
•
On multiplie par la plus petite base. On note le résultat.
•
On multiplie la plus grande base par elle-même.
•
On soustrait 1.
•
On multiplie par la plus grande base.
•
On additionne le résultat noté.
Soit
à soustraire la somme de 33 et de 73 et la somme de 3
et de 7. On fait : 3 × 3 = 9, 9 – 1 = 8 et 8 × 3 = 24. On fait :
7 × 7 = 49, 49 – 1 = 48, 48 × 7 = 336 et 336 + 24 = 360. La différence
est 360.
745.
Cubes et carrés
Comment
trouver la différence de deux sommes dont l’une est celle de deux nombres
élevés au cube et dont l’autre est celle des deux mêmes nombres élevés
au carré ?
Étapes
•
On multiplie la plus petite base par elle-même.
•
On multiplie par le prédécesseur de la plus petite base.
•
On multiplie la plus grande base par elle-même.
•
On multiplie par le prédécesseur de la plus grande base.
•
On additionne le résultat de la deuxième ligne.
Soit
à soustraire la somme de 73 et de 33 et la somme de 72
et de 32. On fait : 3 × 3 = 9 et 9 × 2 = 18. On fait :
7 × 7 = 49, 49 × 6 = 294 et 294 + 18 = 312. La différence est 312.
746.
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette
puissance ? (1)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par lui-même.
• On additionne 1.
• On multiplie par le nombre choisi.
• On soustrait le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 ×
7 = 49, 49 + 1 = 50, 50 × 7 = 350, 350 – 7 = 343 et 343 × 7 = 2401. Le
nombre 2401 est la puissance 4 de 7.
747.
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette
puissance ? (2)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie ce nombre par son prédécesseur.
• On additionne le nombre choisi. On note le résultat.
• On multiplie ce nombre par son prédécesseur.
• On additionne le nombre noté.
Soit 9 le nombre choisi. On fait : 9 ×
8 = 72, 72 + 9 = 81, 81 × 80 = 6480 et 6480 + 81 = 6561. Le nombre 6561 est
la puissance 4 de 9.
748.
Puissance 4 d’un nombre
Comment trouver la puissance 4 d’un nombre sans élever à cette
puissance ? (3)
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie ce nombre par son prédécesseur et son
successeur.
• On additionne le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit 8 le nombre choisi. On fait : 7 × 8 × 9 = 504, 504 + 8
= 512 et 512 × 8 = 4096. Le nombre 4096 est la puissance 4 de 8.
749. Puissance 4
d’un nombre
Comment
trouver la puissance 4 d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 6.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 5.
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 6.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 1.
Soit
à élever 9999 à la puissance 4. On écrit trois 9, un 6, trois 0, un 5,
trois 9, un 6, trois 0 et un 1. Le résultat est 9 996 000 599 960
001.
750.
Addition de puissances
Comment
trouver la somme d’un nombre et de ses puissances 2 et 3
sans élever à une puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On multiplie par son successeur.
•
On additionne 1.
•
On multiplie par le nombre choisi.
Soit
à calculer 9 + 92 + 93. On fait : 9 × 10 = 90,
90 + 1 = 91 et 91 × 9 = 819. La somme est 819.
751.
Addition de puissances
Comment
trouver la somme d’un nombre et de ses puissances 2, 3 et 4 sans élever
à une puissance ?
Étapes
•
On additionne 1 au nombre choisi. On note le résultat.
•
On multiplie le prédécesseur et le successeur du nombre choisi.
•
On additionne 2.
•
On multiplie par le résultat noté.
•
On multiplie par le nombre choisi.
Soit
à calculer 7 + 72 + 73 + 74. On fait :
7 + 1 = 8, 6 × 8 = 48, 48 + 2 = 50, 50 × 8 = 400 et 400 × 7 = 2800. La
somme est 2800.
752.
Six puissances 4
Comment trouver trois
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de
trois nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre qui deviendra la valeur de la variable n.
•
On écrit d’abord 1, puis (7n + 2) et la
somme des deux derniers nombres : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On écrit (3n + 2), (5n + 1) et la somme des deux derniers
nombres :
ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 8 la valeur de n. On
écrit 1, 58, 59, puis 26, 41, 67. L’égalité est : 14 + 584
+ 594 = 264 + 414 + 674 = 23 433
858.
753.
Six puissances 4
Comment
trouver trois nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de trois nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit 1 : c’est une base du premier membre de l’égalité.
•
On multiplie le nombre choisi par 7.
•
On additionne 2 : c’est une base du premier membre.
•
On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du
premier membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 3.
•
On additionne 2 : c’est une base du deuxième membre.
•
On multiplie le nombre choisi par 5.
•
On additionne 1 : c’est une base du deuxième membre.
•
On additionne les deux bases précédentes : c’est une base du deuxième
membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité tout en
plaçant les éléments en ordre numérique.
Soit
3 le nombre choisi. On écrit 1. On fait : 3 × 7 = 21, 21 + 2 = 23 et
1 + 23 = 24. On fait : 3 × 3 = 9, 9 + 2 = 11, 3 × 5 = 15, 15 + 1 = 16
et 11 + 16 = 27. L’égalité est : 14 + 234 +
244 = 114 + 164 + 274 = 611 618.
754.
Dix puissances 4
Comment
trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de cinq nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 1, 5, 9, 17 et 18 au nombre choisi : ce
sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 2, 3, 11, 15 et 19 au nombre choisi : ce
sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 10, 14, 22, 23, puis 7, 8, 16, 20,
24. L’égalité est : 64 + 104
+ 144 + 224 + 234 = 74 + 84
+ 164 + 204 + 244 = 563 809.
755.
Dix puissances 4
Comment
trouver cinq nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de cinq nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On ajoute successivement ce nombre après 1, 5, 9, 17 et 18 : ce sont les
bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On ajoute successivement ce nombre après 2, 3, 11, 15 et 19 : ce sont les
bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
9 le nombre choisi. On obtient 19, 59, 99, 179 et 189, puis 29, 39, 119, 159
et 199. L’égalité est : 194 + 594
+ 994 + 1794 + 1894 = 294 + 394
+ 1194 + 1594 + 1994 = 2 410 922 805.
756.
Dix puissances 4
Comment trouver cinq
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de cinq
nombres élevés à
la même puissance ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 4, 8, 1 au résultat
précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 4, 4 au résultat
précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 10 le nombre choisi. On écrit 10, 14, 18, 26,
27, puis 11, 12, 20, 24, 28. L’égalité est : 104 + 144
+ 184 + 264 + 274 = 114 + 124
+ 204 + 244 + 284 = 1 141 809.
757.
Douze puissances 4
Comment
trouver six nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à
celle de six nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi :
ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 8, 9, 19, 20, 25, puis 4, 5, 13, 15,
23, 24. On écrit 34 + 84 + 94 +
194 + 204 + 254 = 44 + 54
+ 134 + 154 + 234 + 244 = 691
684.
758.
Douze puissances 4
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six
autres nombres élevés à
la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 3, 4, 6, 1 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 6, 4, 3, 4 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 12, 16, 22, 23, puis 6, 7, 13, 17, 20, 24. L’égalité est
: 54 + 94 + 124 + 164 + 224
+ 234 = 64 + 74 + 134 + 174
+ 204 + 244 = 607 555.
759.
Douze puissances 4
Comment trouver six
puissances 4 dont la somme est égale à celle de puissances 4 ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 8, 5, 4 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 10, 2, 10, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 5, 10, 18, 23, 27, puis 2, 3, 13, 15, 25, 26. L’égalité est
: 14 + 54 + 104 + 184 + 234
+ 274 = 24 + 34 + 134 + 154
+ 254 + 264 = 926 884.
760.
Douze puissances 4
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six
nombres à
la même puissance ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 1, 10, 1, 5 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 2, 8, 1 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 10, 11, 21, 22, 27, puis 6, 7, 15, 17, 25, 26. L’égalité
est : 54 + 104 + 114 + 214 + 224
+ 274 = 64 + 74 + 154 + 174
+ 254 + 264 = 985 444.
761.
Douze puissances 4
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six
nombres élevés à
la même puissance ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 8, 3, 16, 3, 8 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 2 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 15, 2, 15, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 13, 16, 32, 35, 43, puis 7, 8, 23, 25, 40, 41. L’égalité
est : 54 + 134 + 164 + 324 + 354
+ 434 = 74 + 84 + 234 + 254
+ 404 + 414 = 6 062 724.
762.
Douze puissances 4
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de six
nombres élevés à
la même puissance ? (6)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 26, 15, 52, 15,
26 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 8 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 57, 2, 57, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 27, 42, 94, 109, 135, puis 9, 10, 67, 69, 126, 127. L’égalité
est : 14 + 274 + 424 + 944 + 1094
+ 1354 = 94 + 104 + 674 + 694
+ 1264 + 1274 = 555 026 820.
763.
Seize puissances 4
Comment trouver huit élevés
à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de huit nombres élevés
à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 14, 4, 14,
5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 9, 9, 10, 9,
9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54.
L’égalité est : 54 + 94 + 144 + 284
+ 324 + 464 + 514 + 554 = 64
+ 74 + 164 + 254 + 354 + 444
+ 534 + 544 = 22 102 116.
764.
Seize puissances 4
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 4 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47,
24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47,
3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 4 à
chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi. On écrit 1,
25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175,
199. L’égalité est : 14 + 254 + 314
+ 844 + 874 + 1344 + 1584 + 1824
+ 1984 = 24 + 184 + 424 + 664
+ 1134 + 1164 + 1694 + 1754 +
1994 = 3 688 163 268.
765. Soustraction de puissances 4
Comment trouver la
différence de deux nombres consécutifs à la puissance à 4 sans élever
à cette puissance ?
Étapes
• On multiplie chacune des bases par elle-même.
• On additionne les deux résultats.
• On additionne les deux bases.
• On multiplie l’un par l’autre les
deux résultats précédents.
Soit à trouver la
différence de 94 et de 84. On fait : 9 × 9 = 81, 8 × 8 = 64, 81 + 64 = 145, 9 + 8 = 17 et 145
× 17 = 2465. La différence est 2465.
766.
Puissance 5 d’un nombre
Comment trouver la puissance 5 d’un nombre sans élever à cette
puissance ?
Étapes
• On choisit un nombre.
• On multiplie le nombre par son successeur.
• On multiplie le nombre choisi par son prédécesseur.
• On additionne 1.
• On multiplie par le résultat de la deuxième ligne.
• On soustrait le nombre choisi.
• On multiplie par le nombre choisi.
Soit à élever 4 à la puissance 5. On fait : 4 ×
5 = 20, 4 × 3 = 12, 12 + 1 = 13, 13 × 20
= 260, 260 – 4 = 256 et 256 × 4 = 1024. Le nombre 1024 est la puissance 5
de 4.
767. Puissance 5
d’un nombre
Comment
trouver la puissance 5 d’un nombre formé de 9 ?
Étapes
•
On écrit 9 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 5.
•
On écrit 0 autant de fois, moins 1, que le nombre contient de 9.
•
On écrit 9 autant de fois que le nombre contient de 9.
•
On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.
•
On écrit un 4.
•
On écrit 0 autant de fois que le nombre contient de 9.
Soit
à élever 9999 à la puissance 5. On écrit trois 9, un 5, trois 0, quatre
9, quatre 0, un 4, quatre 9. Le résultat est 99 950 009 999 000 049 999.
768.
Douze puissances 5
Comment
trouver six nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à
celle de six nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 5, 6, 16, 17 et 22 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 2, 10, 12, 20 et 21 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 4, 9, 10, 20, 21, 26, puis 5, 6, 14, 16,
24, 25. On écrit 45 + 95 + 105
+ 205 + 215 + 265 = 55 + 65
+ 145 + 165 + 245 + 255 = 19 325
550.
769.
Douze puissances 5
Comment trouver six
puissances 5 dont la somme est égale à celle de puissances 5 ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 8, 5, 4 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 10, 2, 10, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 5, 10, 18, 23, 27, puis 2, 3, 13, 15, 25, 26. L’égalité est
: 15 + 55 + 105 + 185 + 235
+ 275 = 25 + 35 + 135 + 155
+ 255 + 265 = 22 777 944.
770.
Douze puissances 5
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de six
nombres élevés à la même puissance ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 1, 10, 1, 5 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 2, 8, 1 au
résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 10, 11, 21, 22, 27, puis 6, 7, 15, 17, 25, 26. L’égalité
est : 55 + 105 + 115 + 215 + 225
+ 275 = 65 + 75 + 155 + 175
+ 255 + 265 = 23 850 816.
771.
Douze puissances 5
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de six
nombres élevés à la même puissance ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 8, 3, 16, 3, 8 au
résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 2 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 15, 2, 15, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 13, 16, 32, 35, 43, puis 7, 8, 23, 25, 40, 41. L’égalité
est : 55 + 135 + 165 + 325 + 355
+ 435 = 75 + 85 + 235 + 255
+ 405 + 415 = 234 507 744.
772.
Douze puissances 5
Comment trouver six
nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de six
nombres élevés à la même puissance ? (5)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 26, 15, 52, 15,
26 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 8 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 57, 2, 57, 1
au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1, 27, 42, 94, 109, 135, puis 9, 10, 67, 69, 126, 127. L’égalité
est : 15 + 275 + 425 + 945 + 1095
+ 1355 = 95 + 105 + 675 + 695
+ 1265 + 1275 = 67 710 654 288.
773.
Seize puissances 5
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 14, 4, 14,
5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 9, 9, 10, 9,
9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 5 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54.
L’égalité est : 55 + 95 + 145 + 285
+ 325 + 465 + 515 + 555 = 65
+ 75 + 165 + 255 + 355 + 445
+ 535 + 545 = 1 105 637 400.
774.
Seize puissances 5
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 5 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47,
24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47,
3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 5 à
chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi. On écrit 1,
25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175,
199. L’égalité est : 15 + 255 + 315
+ 845 + 875 + 1345 + 1585 + 1825
+ 1985 = 25 + 185 + 425 + 665
+ 1135 + 1165 + 1695 + 1755 +
1995 = 654 881 634 000
775. Puissance 6 d’un nombre
Comment trouver un nombre élevé à la puissance 6 sans élever à
cette puissance ?
Étapes
• On choisit un cube.
• On soustrait 1.
• On additionne 1 au nombre choisi.
• On multiplie les deux derniers résultats.
• On additionne 1.
Soit 27 le nombre choisi. On fait : 27 – 1 = 26, 27 + 1 =
28, 26 ×
28 = 728 et 728 + 1 = 729. Le nombre 729 est une puissance 6, soit 36.
776.
Quatorze puissances 6
Comment
trouver sept nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à
celle de sept nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0, 18, 27, 58, 64, 89, 101
au nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1, 13, 38, 44, 75, 84, 102 au
nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. Les sommes sont 4,
22, 31, 62, 68, 93, 105, puis 5,
17, 42, 48, 79, 88, 106. L’égalité est : 46
+ 226 + 316 + 626 + 686 + 936
+ 1056 = 56 + 176 + 426 + 486
+ 796 + 886 + 1066 = 2 143 754 429
963.
777.
Seize puissances 6
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à
celle de huit nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 0,
4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 1,
2, 11, 20, 30, 39, 48, 49 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 7, 12, 26, 30, 44, 49, 53,
puis 4,
5, 14, 23, 33, 42, 51, 52. L’égalité est : 36
+ 76 + 126 + 266 + 306 + 446
+ 496 + 536 = 46 + 56 + 146
+ 236 + 336 + 426 + 516 + 526
= 44 302 982 324.
778.
Seize puissances 6
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 14, 4, 14,
5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 9, 9, 10, 9,
9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 6 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54.
L’égalité est : 56 + 96 + 146 + 286
+ 326 + 466 + 516 + 556 = 66
+ 76 + 166 + 256 + 356 + 446
+ 536 + 546 = 56 314 934 052.
779.
Seize puissances 6
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 6 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47,
24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47,
3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 6 à
chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi. On écrit 1,
25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175,
199. L’égalité est : 16 + 256 + 316
+ 846 + 876 + 1346 + 1586 + 1826
+ 1986 = 26 + 186 + 426 + 666
+ 1136 + 1166 + 1696 + 1756 +
1996 = 1,1873135 × 1014.
780.
Seize puissances 7
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à
celle de huit nombres élevés à la même puissance ? (1)
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
5, 10, 24, 28, 42, 47, 51 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 2,
3, 12, 21, 31, 40, 49, 50 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
4 le nombre choisi. On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55,
puis 6,
7, 16, 25, 35, 44, 53, 54. L’égalité est : 57
+ 97 + 147 + 287 + 327 + 467
+ 517 + 557 = 67 + 77 + 167
+ 257 + 357 + 447 + 537 + 547
= 2 903 626 510 920.
781.
Seize puissances 7
Comment
trouver huit nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à
celle de huit nombres élevés à la même puissance ? (2)
Étapes
•
On choisit un nombre.
• On additionne successivement 1,
13, 28, 70, 82, 124, 139, 151 au nombre choisi :
ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
• On additionne successivement 4,
7, 34, 61, 91, 118, 145, 148 au nombre choisi :
ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
5 le nombre choisi. On écrit 6, 18, 33, 75, 87, 129, 144,
156,
puis 9,
12, 39, 66, 96, 123, 150, 153. L’égalité est : 67
+ 187 + 337
+ 757 + 877
+ 1297 + 1447
+ 1567 =
97
+ 127 + 397
+ 667 + 967
+ 1237 + 1507
+ 1537
= 4 177 895 679 571 212.
782.
Seize puissances 7
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (3)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 14, 4, 14,
5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 9, 9, 10, 9,
9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.
• On ajoute
l’exposant 7 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 5 le nombre choisi.
On écrit 5, 9, 14, 28, 32, 46, 51, 55, puis 6, 7, 16, 25, 35, 44, 53, 54.
L’égalité est : 57 + 97 + 147 + 287
+ 327 + 467 + 517 + 557 = 67
+ 77 + 167 + 257 + 357 + 447
+ 537 + 547 = 2,9036265 × 1012.
783.
Seize puissances 7
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 7 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ? (4)
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47,
24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47,
3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 7 à
chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi. On écrit 1,
25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175,
199. L’égalité est : 17 + 257 + 317
+ 847 + 877 + 1347 + 1587 + 1827
+ 1987 = 27 + 187 + 427 + 667
+ 1137 + 1167 + 1697 + 1757 +
1997 = 2,1846117 × 1016.
784.
Seize puissances 8
Comment trouver huit
nombres élevés à la puissance 8 dont la somme est égale à celle de huit
nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47,
24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de
l’égalité.
•
On additionne 1 au nombre choisi.
•
On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47,
3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième
membre.
• On ajoute
l’exposant 8 à
chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit 1 le nombre choisi.
On écrit 1,
25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175,
199. L’égalité est : 18 + 258 + 318
+ 848 + 878 + 1348 + 1588 + 1828
+ 1988 = 28 + 188 + 428 + 668
+ 1138 + 1168 + 1698 + 1758 +
1998 = 4,064168 × 1018.
785.
Dix-huit puissances 8
Comment
trouver neuf nombres élevés à la puissance 8 dont la somme est égale à
celle de neuf nombres élevés à la même puissance ?
Étapes
•
On choisit un nombre.
•
On additionne successivement 0, 24, 30, 83, 86, 133, 157,
181, 197 au
nombre choisi : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.
•
On additionne successivement 1, 17, 41, 65, 112, 115, 168,
174, 198 au
nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.
•
On ajoute l’exposant 8 à chaque base pour obtenir l’égalité.
Soit
3 le nombre choisi. Les sommes sont 3, 27, 33, 86, 89, 136, 160,
184, 200,
puis 4,
20, 44, 68, 115, 118, 171, 177, 201. On écrit 38 + 278
+ 338 + 868 + 898 + 1368 + 1608
+ 1848 + 2008 = 48 + 208 + 448
+ 688 + 1158 + 1188 + 1718 + 1778
+ 2018 = 4 427 301 291 098 351 172.
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