Chapitre 7. Nombres figurés

832. Nombre triangulaire

Comment savoir si un nombre est triangulaire ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est triangulaire. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 40 est triangulaire. On fait : 40 × 8 = 320, 320 + 1 = 321 et √321 = 17,9. Le nombre 40 n’est pas triangulaire.

Soit à savoir si 91 est triangulaire. On fait : 91 × 8 = 728, 728 + 1 = 729 et √729 = 27. Le nombre 91 est triangulaire.

833. Nombre triangulaire

Comment savoir si un nombre est triangulaire ? (2)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double plus 1 ou moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est triangulaire. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 105 est triangulaire. Le couple de facteurs possible est (7, 15). Le nombre 105 est triangulaire puisque 7 × 2 + 1 = 15.

Soit à savoir si 176 est triangulaire. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 176  n’est pas triangulaire.

834. Nombre triangulaire

Comment trouver un nombre triangulaire ?

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs.

• On les élève au cube.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats.

• On soustrait 1.

• On divise par 6.

Soit 13 et 14 les nombres choisis. On fait : 14³ = 2744, 13³ = 2197, 2744 – 2197 = 547, 547 – 1 = 546 et 546 ¸ 6 = 91. Le nombre 91 est triangulaire.

835. Nombre triangulaire

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On additionne le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver le triangulaire de rang 11. On fait : 11 × 11 = 121, 121 + 11 = 132 et 132 ÷ 2 = 66. Le triangulaire de rang 11 est 66.

836. Nombre triangulaire

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang donné par le rang suivant.

• On divise par 2.

Soit à trouver le triangulaire de rang 10. On fait : 10 × 11 = 110 et 110 ÷ 2 = 55. Le triangulaire de rang 10 est 55.

837. Triangulaire d’un nombre

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (3)

Étapes

• On écrit une quantité de nombres consécutifs correspondant au rang donné à partir de 1.

• On additionne ces nombres.

Soit 8 le rang donné. On écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. La somme est 36. Le triangulaire de rang 8 est 36.

838. Triangulaire d’un nombre

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (4)

Étapes

• Pour chaque triangulaire de rang n, on écrit à la suite les nombres consécutifs à partir de 1 jusqu’à n.

• On additionne les nombres de chaque ligne.

Voici ce que cela donne pour les cinq premiers triangulaires :

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

839. Triangulaire d’un nombre

Comment trouver le triangulaire d’un rang donné ? (5)

Étapes

• On trace une grille carrée ou rectangulaire.

• On colore en escalier les cases qui correspondent au rang d’un triangulaire.

• On compte les cases colorées.

Soit à trouver le triangulaire de rang 5. On trace une grille 5 × 6.

On colore successivement 1, 2, 3, 4, 5 cases. On compte 15 cases colorées. Le triangulaire de rang 5 est 15.

840. Triangulaire d’un nombre

Comment trouver un triangulaire dont on connaît le prédécesseur et le successeur ?

Étapes

• On choisit deux triangulaires dont la différence des bases est 2.

• On additionne l’un à l’autre les deux triangulaires.

• On soustrait 1.

• On divise par 2.

Soit 21 et 36 les triangulaires choisis. On fait : 21 + 36 = 57, 57 – 1 = 56 et 56 ¸ 2 = 28. Le triangulaire du milieu est 28.

841. Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ? (1)

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• On additionne le carré.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 81. On fait : √81 = 9, 9 + 81 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Le nombre 45 est triangulaire. Il est de rang 9.

842. Triangulaires et carrés

Comment trouver un triangulaire à partir d’un carré ? (2)

Étapes

• On choisit un carré.

• On calcule sa racine.

• Du carré, on soustrait sa racine.

• On divise par 2.

Soit à trouver un triangulaire à partir du carré 64. On fait : √64 = 8, 64 – 8 = 56 et 56 ÷ 2 = 28. Le nombre 28 est triangulaire. Il est de rang 7.

843. Triangulaires voisins

Comment trouver le triangulaire qui suit un autre triangulaire de rang donné ?

Étapes

• On additionne le rang et le triangulaire.

• On additionne 1.

Soit à trouver le triangulaire qui suit 55, un triangulaire de rang 10. On fait : 55 + 10 = 65 et 65 + 1 = 66. Le triangulaire 66 suit le triangulaire 55.

844. Triangulaires voisins

Comment trouver deux triangulaires voisins ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On soustrait sa racine.

• On divise par 2 : c’est un premier triangulaire.

• On additionne au carré choisi sa racine.

• On divise par 2 : c’est un second triangulaire.

Soit à trouver deux triangulaires voisins à partir du carré 81. La racine carrée de 81 est 9. On fait : 81 – 9 = 72, 72 ÷ 2 = 36, 81 + 9 = 90 et 90 ÷ 2 = 45. Les nombres 36 et 45 sont des triangulaires voisins.

845. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1 et on divise par 2.

Soit à trouver le rang du triangulaire 105. On fait : 105 × 8 = 840, 840 + 1 = 841 et √841 = 29. On fait : 29 – 1 = 28 et 28 ÷ 2 = 14. Le triangulaire 105 est de rang 14.

846. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (2)

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On additionne 0,25.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 0,5.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240 et 240 + 0,25 = 240,25. On fait : √240,25 = 15,5 et 15,5 – 0,5 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

847. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (3)

Étapes

• On multiplie le nombre par 2.

• On extrait la racine carrée.

• La partie entière est le rang du triangulaire.

Soit à trouver le rang du triangulaire 105. On fait : 105 × 2 = 210. La racine carrée de 210 est 14,49. Le triangulaire 105 est de rang 14.

848. Rang d’un triangulaire

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait triangulaire ? (4)

Étapes

• On multiplie le nombre donné par 2.

• On cherche le carré inférieur au produit.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats.

Soit à trouver le rang du triangulaire 120. On fait : 120 × 2 = 240. Le carré inférieur à 240 est 225. On fait : 240 – 225 = 15. Le triangulaire 120 est de rang 15.

849. Triangulaires et carrés

Comment trouver un carré à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• Du résultat de la deuxième ligne, on soustrait la partie entière.

Soit à trouver un carré à partir du triangulaire 28. On fait : 28 × 2 = 56, √56 = 7,48 et 56 – 7 = 49. Le nombre 49 est un carré.

850. Triangulaires et carrés

Comment trouver le carré d’un triangulaire dont on connaît le rang sans élever au carré ?

Étapes

• On multiplie le rang par son successeur.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On divise par 4.

Soit à trouver le carré du triangulaire de rang 4. On fait : 4 × 5 = 20, 20 × 20 = 400 et 400 ÷ 4 = 100. Le carré est 100.

851. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ? (1)

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par son successeur.

• On multiplie le plus grand rang par son successeur.

• On additionne les résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 5 = 20, 10 × 11 = 110, 20 + 110 = 130 et 130 ÷ 2 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55.

852. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires dont on connaît les rangs ? (2)

Étapes

• On multiplie le plus petit rang par lui-même. On note le résultat.

• On soustrait l’un de l’autre les rangs.

• On additionne 1.

• On multiplie par le plus petit rang. On note le résultat.

• On multiplie l’un par l’autre les résultats de la deuxième et de la troisième ligne.

• On divise par 2.

• On additionne les deux résultats notés et le dernier résultat.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 4 et 10. On fait : 4 × 4 = 16, 10 – 4 = 6, 6 + 1 = 7 et 7 × 4 = 28. On fait : 6 × 7 = 42, 42 ÷ 2 = 21 et 16 + 28 + 21 = 65. La somme est 65. Les triangulaires sont 10 et 55.

853. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires consécutifs dont on connaît les bases ? (1)

Étapes

• On choisit deux bases consécutives.

• On élève au carré la plus grande base.

Soit 6 et 7 les bases choisies. On fait : 7² = 49. La somme des deux triangulaires est 49.

854. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ? (1)

Étapes

• On additionne 1 au rang du plus petit triangulaire.

• On multiplie le résultat par lui-même.

Soit à trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont le rang du plus petit est 5. On fait : 5 + 1 = 6 et 6 × 6 = 36. Leur somme est 36. Les triangulaires sont 15 et 21.

855. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang et dont on connait le rang du plus petit ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 2.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 9. On fait : 8 × 2 = 16, 8 × 8 = 64, 16 + 64 = 80 et 80 + 1 = 81. La somme est 81. Les triangulaires sont 36 et 45.

856. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 3.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 3.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 10. On fait : 8 × 3 = 24, 8 × 8 = 64, 24 + 64 = 88 et 88 + 3 = 91. La somme est 91. Les triangulaires sont 36 et 55.

857. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 4.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 6.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 8 et 11. On fait : 8 × 4 = 32, 8 × 8 = 64, 32 + 64 = 96 et 96 + 6 = 102. La somme est 102. Les triangulaires sont 36 et 66.

858. Addition de deux triangulaires

Comment trouver la somme de deux triangulaires qui diffèrent de quatre rangs et dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit triangulaire par 5.

• On multiplie le rang du plus petit par lui-même.

• On additionne les deux résultats.

• On additionne 10.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 7 et 11. On fait : 7 × 5 = 35, 7 × 7 = 49, 35 + 49 = 84 et 84 + 10 = 94. La somme est 94. Les triangulaires sont 28 et 66.

859. Addition de trois triangulaires

Comment trouver la somme de trois triangulaires consécutifs dont on connaît les bases ?

Étapes

• On choisit trois bases consécutives.

• On multiplie l’une par l’autre les deux plus grandes bases.

• On multiplie par 3.

• On additionne 2.

• On divise par 2.

Soit 5, 6, 7 les bases choisies. On fait : 6 × 7 = 42, 42 × 3 = 126, 126 + 2 = 128 et 128 ¸ 2 = 64. La somme des trois triangulaires est 64.

860. Addition de triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui commencent par 1 quand on connaît le rang du dernier terme ?

Étapes

• On multiplie le rang donné par ses deux successeurs.

• On divise par 6.

Soit à trouver la somme des triangulaires des six premiers rangs. On fait : 6 × 7 × 8 = 336 et 336 ÷ 6 = 56. La somme est 56. Les triangulaires sont 1, 3, 6, 10, 15, 21.

861. Addition de triangulaires

Comment trouver la somme d’une suite de triangulaires qui commencent par 1 et qui diffèrent de deux rangs quand on connaît le rang du dernier terme ?

Étapes

• On additionne 1 au rang donné.

• On additionne 3 au rang donné.

• On multiplie par 2 le rang donné et on additionne 1.

• On multiplie les trois résultats précédents.

• On divise par 24.

Soit à trouver la somme des triangulaires de rangs 1, 3, 5 et 7. On fait : 7 + 1 = 8, 7 + 3 = 10, 7 × 2 = 14 et 14 + 1 = 15. On fait : 8 × 10 × 15 = 1200 et 1200 ÷ 24 = 50. La somme est 50. Les triangulaires sont de 1, 6, 15, 28.

862. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et du carré de même rang sans connaître le triangulaire et le carré ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On divise par 2.

• On multiplie par le rang donné.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 8 et du carré de même rang. On fait : 8 × 3 = 24, 24 + 1 = 25, 25 ÷ 2 = 12,5 et 12,5 × 8 = 100. La somme est 100. Les triangulaires sont 36 et 64.

863. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On multiplie par 2.

• On additionne le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 6 et du cube de même rang. On fait : 6 × 6 = 36, 36 × 2 = 72, 72 + 6 = 78. On fait : 78 + 1 = 79, 79 × 6 = 474 et 474 ÷ 2 = 237. La somme est 237. Le triangulaire est 21 et le cube est 216.

864. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un cube de même rang sans connaître le triangulaire et le cube ? (2)

Étapes

• On multiplie le rang par 2.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme du triangulaire de rang 7 et du cube de même rang. On fait : 7 × 2 = 14, 14 + 1 = 15, 15 × 7 = 105 et 105 + 1 = 106. On fait : 106 × 7 = 742 et 742 ÷ 2 = 371. La somme est 371. Le triangulaire est 28 et le cube est 343.

865. Double addition  

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On élève au carré la somme donnée des deux nombres.

• On soustrait le double de la somme des triangulaires.

• On additionne la somme donnée des deux nombres.

• On divise par 2.

• On cherche un couple de facteurs dont la somme est celle des deux nombres.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 14 et dont la somme des triangulaires est 60. On fait : 14² = 196, 196 – 120 = 76, 76 + 14 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Les deux nombres sont 5 et 9.

866. Double addition  

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la somme de leurs carrés ?

Étapes

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait la somme des carrés. On note le résultat.

• On élève au carré. On note le résultat.

• On soustrait la somme de leurs carrés.

• On multiplie par 2.

• Du second résultat noté, on soustrait le précédent.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne le premier résultat noté.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• Du premier résultat noté, on soustrait le précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 51 et dont la somme des carrés est 89. On fait : 51 × 2 = 102, 102 – 89 = 13, 13² = 169, 169 – 89 = 80 et 80 × 2 = 160. On fait : 169 – 160 = 9, √9 = 3, 3 + 13 = 16, 16 ÷ 2 = 8 et 13 – 8 = 5. Les deux nombres sont 5 et 8.

867. Quatre triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de trois triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre impair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le nombre choisi.

• On additionne 1.

• On divise par 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On soustrait 2 : c’est la troisième base du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On fait : 7 – 1 = 6 et 7 × 7 = 49. On fait : 49 + 1 = 50, 50 ÷ 2 = 25 et 25 – 2 = 23. L’égalité est : 25^D = 6^D + 7^D + 23^D = 325.

868. Cinq triangulaires

Comment trouver deux triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ?

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 2 et on additionne successivement 1, 7 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit : 0, 7, 8, puis 2, 3, 10. L’égalité est : 7^D + 8^D = 2^D + 3^D + 10^D = 64.

869. Six triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de cinq triangulaires ?

Étapes

• On choisit un nombre pair : c’est une base du deuxième membre de l’égalité.

• On additionne 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On multiplie par lui-même le successeur du nombre choisi.

• On soustrait 1 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On soustrait 1 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2.

• On multiplie le résultat par lui-même.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est une autre base du deuxième membre.

• On additionne 2: c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On fait : 4 + 1 = 5, 5 × 5 = 25, 25 – 1 = 24, 24 ÷ 2 = 12, 12 – 1 = 11 et 11 + 2 = 13. On fait : 13 × 13 = 169, 169 – 3 = 166, 166 ÷ 2 = 83 et 83 + 2 = 85. L’égalité est : 85^D = 4^D + 5^D + 11^D + 12^D + 83^D = 3655.

870. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 13 le nombre choisi. On écrit : 13, 17, 18, puis 14, 15, 19. L’égalité est : 13^D + 17^D + 18^D = 14^D + 15^D + 19^D = 415.

871. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On écrit : 10, 15, 17, puis 11, 13, 18. L’égalité est : 10^D + 15^D + 17^D = 11^D + 13^D + 18^D = 328.

872. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 3 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 3, 6 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On écrit : 12, 18, 21, puis 13, 16, 22. L’égalité est : 12^Δ + 18^Δ + 21^Δ = 13^Δ + 16^Δ + 22^Δ = 480.

873. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (4)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 2 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 7 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On écrit : 10, 17, 18, puis 12, 13, 20. L’égalité est : 10^D + 17^D + 18^D = 12^D + 13^D + 20^D = 379.

874. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne les trois nombres et on multiplie par 2/3.

 • Du résultat, on soustrait chacun des nombres de la deuxième ligne : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. On écrit 8, 15, 16. La somme est 39. On fait : 39 × 2/3 = 26, 26 – 8 = 18, 26 – 15 = 11 et 26 – 16 = 10. L’égalité est : 8^D + 15^D + 16^D = 10^D + 11^D + 18^D = 292.

875. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (6)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 14, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 3 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 5, 14 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 10 le nombre choisi. On écrit : 10, 24, 29, puis 13, 18, 32. L’égalité est : 10^D + 24^D + 29^D = 13^D + 18^D + 32^D = 790.

876. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (7)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 17, 8 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 3 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 8, 17 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 9 le nombre choisi. On écrit : 9, 26, 34, puis 12, 20, 37. L’égalité est : 9^D + 26^D + 34^D = 12^D + 20^D + 37^D = 991.

877. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (8)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 6, 8 à ce nombre : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 4, 9 à ce nombre : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On obtient 16, 21, 23, puis 17, 19 et 24. L’égalité est : 16^D + 21^D + 23^D = 17^D + 19^D + 24^D = 643.

878. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (9)

 Étapes

• On écrit une suite de trois termes.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes du triplet précédent.

• On additionne le même nombre choisi à chacun des termes du dernier triplet.

• On choisit les termes de rangs 1, 6, 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On choisit les termes de rangs 2, 4, 9 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Les trois premiers termes sont 2, 5, 8. On choisit 11 qu’on additionne. Les trois termes suivants sont 13, 16, 19. On additionne 11. Les trois derniers termes sont 24, 27, 30. L’égalité est : 2^D + 19^D + 27^D = 5^D + 13^D + 30^D = 571.

879. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (10)

 Étapes

• On écrit une suite de trois termes.

• On choisit un nombre et on l’additionne à chacun des termes du triplet.

• On additionne le même nombre choisi à chacun des termes du dernier triplet.

• On choisit les termes de rangs 2, 6, 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 4, 8 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Les trois premiers termes sont  6, 10, 14. On choisit 9 qu’on additionne. Les trois termes suivants sont 15, 19, 23. On additionne 9. Les trois derniers termes sont  24, 28, 32. L’égalité est : 10^D + 23^D + 24^D = 14^D + 15^D + 28^D = 631.

880. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (11)

 Étapes

• On écrit une suite de sept termes.

• On choisit les termes de rangs 1, 5, 6 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 2, 3, 7 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. L’égalité est : 11^D + 27^D + 31^D = 15^D + 19^D + 35^D = 940.

881. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (12)

 Étapes

• On écrit une suite de huit termes.

• On choisit les termes de rangs 2, 6, 7 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 4, 8 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. L’égalité est : 7^D + 23^D + 27^D = 11^D + 15^D + 31^D = 682.

882. Six triangulaires

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (13)

Étapes

• On choisit une suite de neuf termes.

• On prend le premier, le sixième et le huitième nombre : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend le deuxième, le quatrième et le neuvième nombre : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 la suite choisie. On prend 1, 11, 15, puis 3, 7, 17. L’égalité est : 1^D + 11^D + 15^D = 3^D + 7^D + 17^D = 187.

883. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (14)

 Étapes

• On écrit deux triplets : (2, 6, 7) et (3, 4, 8).

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des triplets : les quatre premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit le polynôme (3a – 2). On obtient : 4, 16, 19, puis 7, 10, 22. L’égalité est : 4^D + 16^D + 19^D = 7^D + 10^D + 22^D = 336.

884. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (15)

 Étapes

• On écrit deux triplets : (1, 6, 8) et (2, 4, 9).

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des triplets : les quatre premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit le polynôme (3a – 2). On obtient : 1, 16, 22, puis 4, 10, 25. L’égalité est : 1^D + 16^D + 22^D = 4^D + 10^D + 25^D = 390.

885. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (16)

 Étapes

• On choisit quatre nombres dont l’un est le quart de la somme : sauf le quart de la somme, ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 2.

• Du dernier résultat, on soustrait chacun des nombres choisis, sauf le quart de la somme : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6, 7, 9, 14 les nombres choisis. La somme est 36. La moitié de 36 est 18. On fait : 18 – 6 = 12, 18 – 7 = 11, 18 – 9 = 9, 18 – 14 = 4. L’égalité est : 6^Δ + 7^Δ + 14^Δ = 4^Δ + 11^Δ + 12^Δ = 154.

886. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (17)

Étapes

• On choisit un nombre qui deviendra la valeur de n.

• On écrit n, n + 7 et n + 8 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit n + 2, n + 3 et n + 10 : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On obtient : 12, 19, 20, puis 14, 15, 22. L’égalité est : 12^D + 19^D + 20^D = 14^D + 15^D + 22^D = 478.

887. Six triangulaires  

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ? (18)

Étapes

• On choisit deux nombres m et n dont la différence est un multiple de 3.

• On choisit un troisième nombre p.

• On écrit p et on additionne successivement m et n au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On calcule le tiers de (m – n).

• On additionne p.

• On additionne successivement n et m au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit m = 17, n = 5, p = 6. On écrit 6, 23, 28. Le tiers de (m – n) est 4. On fait : 4 + 6 = 10, 10 + 5 = 15 et 15 + 17 = 32. L’égalité est : 6^D + 23^D + 28^D = 10^D + 15^D + 32^D = 703.

888. Sept triangulaires

Comment trouver trois triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ?

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 11, 5, 11 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 2 et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit : 11, 16, 27, puis 2, 6, 21, 25. L’égalité est : 11^D + 16^D + 27^D = 2^D + 6^D + 21^D + 25^D = 580.

889. Sept triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de trois triangulaires ?

 Étapes

• On choisit six nombres dont la somme est divisible par 3, dont un nombre est le tiers de la somme et dont deux nombres ont une somme égale au même tiers.

• Du tiers de la somme, on soustrait chacun des nombres choisis.

• On biffe les doublons et le zéro : les quatre premiers nombres sont les bases du premier membre de l’égalité et les trois autres sont celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 3, 5, 7, 13, 15 les nombres choisis dont la somme est 45. Le tiers de la somme est 15. En soustrayant de 15 chacun des nombres choisis, on obtient 13, 12, 10, 8, 2, 0. On biffe 0, 2 et 13 dans les deux groupes. L’égalité est : 3^D + 5^D + 7^D + 15^D = 8^D + 10^D + 12^D = 169.

890. Huit triangulaires

Comment décomposer un triangulaire en la somme de sept triangulaires ?

Étapes

• On choisit trois nombres dont la somme est impaire et dont la différence entre les nombres est au moins 2 : ce sont des bases du deuxième membre de l’égalité.

• On soustrait 1 à chacune des bases : ce sont d’autres bases du deuxième membre.

• On additionne le carré des nombres choisis.

• On soustrait 3 et on divise par 2 : c’est la septième base du deuxième membre.

• On additionne 2 : c’est la base du triangulaire qui est la somme.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 4 et 7 les nombres choisis. La différence est 1, 3, 6. On fait : 2² + 4² + 7² = 69, 69 – 3 = 66, 66 ÷ 2 = 33 et 33 + 2 = 35. L’égalité est : 35^D = 1^D + 2^D + 3^D + 4^D + 6^D + 7^D + 33^D = 630.

891. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 3, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 15 le nombre choisi. On écrit 15, 19, 22, 26, puis 16, 17, 24, 25. L’égalité est : 15^D + 19^D + 22^D + 26^D = 16^D + 17^D + 24^D + 25^D = 914.

892. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 5, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 9, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On écrit : 4, 9, 14, 19, puis 5, 7, 16, 18. L’égalité est : 4^D + 9^D + 14^D + 19^D = 5^D + 7^D + 16^D + 18^D = 350.

893. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 1, 6 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 7, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. On écrit : 7, 13, 14, 20, puis 8, 10, 17, 19. L’égalité est : 7^Δ + 13^Δ + 14^Δ + 20^Δ = 8^Δ + 10^Δ + 17^Δ + 19^Δ = 434.

894. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (4)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 11, 5, 11 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 2 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 4, 15, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. On écrit : 3, 14, 19, 30, puis 5, 9, 24, 28. L’égalité est : 3^D + 14^D + 19^D + 30^D = 5^D + 9^D + 24^D + 28^D = 766.

895. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (5)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 1, 4, 6, 7 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 2, 3, 5, 8 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. Les sommes sont 6, 9, 11, 12, puis 7, 8, 10, 13. L’égalité est : 6^D + 9^D + 11^D + 12^D = 7^D + 8^D + 10^D + 13^D = 210.

896. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (6)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie successivement 1, 8, 9, 10 par le nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On multiplie successivement 4, 5, 6, 13 par le nombre choisi : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3 le nombre choisi. Les produits sont 3, 24, 27, 30, puis 12, 15, 18 et 39. L’égalité est : 3^D + 24^D + 27^D + 30^D = 12^D + 15^D + 18^D + 39^D = 1149.

897. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (7)

 Étapes

• On choisit quatre nombres dont la somme est paire et dont l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas la moitié de la somme : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 2.

• Du dernier résultat, on soustrait chacun des nombres choisis : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 5, 11, 12 les nombres choisis. La somme est 30. La moitié de 30 est 15. On fait : 15 – 2 = 13, 15 – 5 = 10, 15 – 11 = 4, 15 – 12 = 3. L’égalité est : 2^Δ + 5^Δ + 11^Δ + 12^Δ = 3^Δ + 4^Δ + 10^Δ + 13^Δ = 162.

898. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (8)

 Étapes

• On choisit une suite de quatre termes.

• On additionne successivement un même nombre à chaque terme du quadruplet précédent jusqu’à ce qu’on ait 16 termes.

• On choisit les termes de rangs 2, 8, 9, 15 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 5, 12, 14 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite 4, 7, 10, 13. On additionne 14. Les termes suivants sont 18, 21, 24, 27, puis 32, 35, 38, 41, puis 46, 49, 52, 55. L’égalité est : 7^D + 27^D + 32^D + 52^D = 10^D + 18^D + 41^D + 49^D = 2312.

899. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (9)

Étapes

• On choisit une suite de quatre termes.

• On choisit un nombre qu’on additionne à chaque terme de la suite.

• On prend le premier et le quatrième élément de la première suite, ainsi que le deuxième et le troisième élément de la deuxième suite : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres éléments des deux suites : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2, 5, 8, 11 la suite choisie. On choisit 36. La deuxième suite est : 38, 41, 44, 47. On prend 2, 11, 41, 44. Il reste 5, 8, 38, 47. L’égalité est : 2^D + 11^D + 41^D + 44^D = 5^D + 8^D + 38^D + 47^D = 1920.

900. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (10)

 Étapes

• On écrit une suite de 16 termes.

• On choisit les termes de rangs 2, 8, 9 et 15 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 5, 12, 14 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49. L’égalité est : 7^D + 25^D + 28^D + 46^D = 10^D + 16^D + 37^D + 43^D = 1840.

901. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (11)

 Étapes

• On écrit deux quadruplets : (2, 8, 9, 15) et (3, 5, 12, 14).

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des quadruplets : les quatre premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit le polynôme (3a – 2). On obtient : 4, 22, 25, 43, puis 7, 13, 34, 40. L’égalité est : 4^D + 22^D + 25^D + 43^D = 7^D + 13^D + 34^D + 40^D = 1534.

902. Huit triangulaires

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (12)

Étapes

• On choisit une égalité dans laquelle la somme de deux carrés est égale à celle de deux carrés. Il ne doit pas avoir de nombres consécutifs dans cette égalité.

• On remplace chaque nombre élevé au carré par son prédécesseur et lui-même tout en conservant le signe d’égalité en bonne position.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 2² + 42² = 18² + 38² l’égalité choisie. On écrit successivement 1 et 2, 41 et 42, 17 et 18, 37 et 38. L’égalité est : 1^D + 2^D + 41^D + 42^D = 17^D + 18^D + 37^D + 38^D = 1768.

903. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (13)

 Étapes

• On prend deux variables a et b, puis on leur donne chacune une valeur.

• On trouve la valeur de chaque expression, a + 2b, 2a + 2b, 3a + b, b : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On trouve la valeur de chaque expression, a + b, 2a + b, 3a + 2b, 2b : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 2 et b = 5. On écrit : 12, 14, 11, 5, puis, 7, 9, 16, 10. En respectant l’ordre numérique, l’égalité est : 5^Δ + 11^Δ + 12^Δ + 14^Δ = 7^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 16^Δ = 264.

904. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (14)

 Étapes

• On prend deux variables a et b, puis on leur donne chacune une valeur.

• On trouve la valeur de chaque expression, a, a + 3b, 2a + b, 2a + 2b : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On trouve la valeur de chaque expression, a + b, a + 2b, 2a, 2a + 3b : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 3 et b = 4. On écrit : 3, 15, 10, 14, puis 7, 11, 6, 18. En respectant l’ordre numérique, l’égalité est : 3^Δ + 10^Δ + 14^Δ + 15^Δ = 6^Δ + 7^Δ + 11^Δ + 18^Δ = 286.

905. Huit triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de quatre triangulaires ? (15)

 Étapes

• On prend quatre variables a, b, c, d et on leur donne chacune une valeur.

• On trouve la valeur de chaque expression, ad – bc, bd + ac, ad + bc et bd – ac : les deux premières serviront à former les bases du premier membre de l’égalité et les deux autres, du deuxième membre.

• On choisit un nombre qu’on appelle opérateur et qui est supérieur au plus grand des quatre nombres trouvés.

• De l’opérateur, on soustrait et on additionne chacun des quatre nombres trouvés.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit a = 5, b = 3, c = 2 et d = 4. Pour le premier membre, on a 14 et 22. Pour le second membre, on a 26 et 2. On choisit 27. On fait : 27 – 14 = 13, 27 + 14 = 41, 27 – 22 = 5, 27 + 22 = 49. On fait : 27 – 26 = 1, 27 + 26 = 53, 27 – 2 = 25, 27 + 2 = 29. En respectant l’ordre numérique, l’égalité est : 5^Δ + 13^Δ + 41^Δ + 49^Δ = 1^Δ + 25^Δ + 29^Δ + 53^Δ = 2192.

906. Neuf triangulaires  

Comment trouver quatre triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq triangulaires ?

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 4, 4, 8, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 1 et on additionne successivement 1, 8, 4, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit : 4, 8, 16, 17, puis 1, 2, 10, 14, 18. L’égalité est : 4^D + 8^D + 16^D + 17^D = 1^D + 2^D + 10^D + 14^D + 18^D = 335.

907. Dix triangulaires  

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq triangulaires ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 4, 8, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 4, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On écrit : 5, 9, 13, 21, 22, puis 6, 7, 15, 19, 23. L’égalité est : 5^Δ + 9^Δ + 13^Δ + 21^Δ + 22^Δ = 6^Δ + 7^Δ + 15^Δ + 19^Δ + 23^Δ = 635.

908. Dix triangulaires

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq triangulaires ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 1, 5, 2 au dernier résultat : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 5, 1, 5 au dernier résultat : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. On écrit 13, 14, 19, 21, puis 9, 11, 16, 17, 22. L’égalité est : 8^D + 13^D + 14^D + 19^D + 21^D = 9^D + 11^D + 16^D + 17^D + 22^D = 653.

909. Dix triangulaires

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de cinq triangulaires ? (3)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On additionne successivement 0, 4, 8, 16, 17 au nombre choisi : ce sont les bases d’un premier membre de l’égalité.

• On additionne successivement 1, 2, 10, 14, 18 au nombre choisi : ce sont les bases d’un deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 7 le nombre choisi. Les sommes sont 7, 11, 15, 23, 24, puis 8, 9, 17, 21, 25. L’égalité est : 7^D + 11^D + 15^D + 23^D + 24^D = 8^D + 9^D + 17^D + 21^D + 25^D = 790.

910. Onze triangulaires  

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (1)

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 1, 9, 1, 3, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 2 et on additionne successivement 1, 3, 1, 9, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit : 1, 10, 11, 14, 15, puis 2, 3, 6, 7, 16, 17. L’égalité est : 1^D + 10^D + 11^D + 14^D + 15^D = 2^D + 3^D + 6^D + 7^D + 16^D + 17^D = 347.

911. Onze triangulaires  

Comment trouver cinq triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (2)

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 6, 3, 3, 2, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 3 et on additionne successivement 2, 2, 3, 3, 6 au résultat précédent  : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit :  6, 9, 12, 14, 16, puis 3, 5, 7, 10, 13, 19. L’égalité est : 6^D + 9^D + 12^D + 14^D + 16^D = 3^D + 5^D + 7^D + 10^D + 13^D + 19^D = 385.

912. Douze triangulaires

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 4, 5, 8, 5, 4 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 10, 2, 10, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1 le nombre choisi. On écrit 1, 5, 10, 18, 23, 27, puis 2, 3, 13, 15, 25, 26. L’égalité est : 1^D + 5^D + 10^D + 18^D + 23^D + 27^D = 2^D + 3^D + 13^D + 15^D + 25^D + 26^D = 896.

913. Douze triangulaires  

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (2)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 1, 10, 1, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 8, 2, 8, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 5 le nombre choisi. On écrit : 5, 10, 11, 21, 22, 27, puis 6, 7, 15, 17, 25, 26. L’égalité est : 5^Δ + 10^Δ + 11^Δ + 21^Δ + 22^Δ + 27^Δ = 6^Δ + 7^Δ + 15^Δ + 17^Δ + 25^Δ + 26^Δ = 998.

914. Douze triangulaires  

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (3)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 5, 2, 3, 2, 5 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 5, 1, 5, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 6 le nombre choisi. On écrit : 6, 11, 13, 16, 18, 23, puis 7, 9, 14, 15, 20, 22. L’égalité est : 6^Δ + 11^Δ + 13^Δ + 16^Δ + 18^Δ + 23^Δ = 7^Δ + 9^Δ + 14^Δ + 15^Δ + 20^Δ + 22^Δ = 761.

915. Douze triangulaires  

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (4)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 6, 3, 3, 3, 6 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 3, 6, 1, 6, 3 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On écrit : 4, 10, 13, 16, 19, 25, puis 5, 8, 14, 15, 21, 24. L’égalité est : 4^Δ + 10^Δ + 13^Δ + 16^Δ + 19^Δ + 25^Δ = 5^Δ + 8^Δ + 14^Δ + 15^Δ + 21^Δ + 24^Δ = 807.

916. Douze triangulaires  

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (5)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 26, 15, 52, 15, 26 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 8 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 57, 2, 57, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1 le nombre choisi. On écrit : 1, 27, 42, 94, 109, 135, puis 9, 10, 67, 69, 126, 127. L’égalité est : 1^D + 27^D + 42^D + 94^D + 109^D + 135^D = 9^D + 10^D + 67^D + 69^D + 126^D + 127^D = 20 922.

917. Douze triangulaires  

Comment trouver six triangulaires dont la somme est égale à celle de six triangulaires ? (6)

 Étapes

• On choisit six nombres dont aucun n’est le sixième de la somme : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On divise la somme par 3.

• Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 3, 4, 6, 10, 12, 16 les nombres choisis dont la somme est 51. On fait : 51 ÷ 3 = 17. En soustrayant de 17 chacun des nombres choisis, on obtient 14, 13, 11, 7, 5 et 1. L’égalité est : 3^Δ + 4^Δ + 6^Δ + 10^Δ + 12^Δ + 16^Δ = 1^Δ + 5^Δ + 7^Δ + 11^Δ + 13^Δ + 14^Δ = 306.

918. Quatorze triangulaires  

Comment trouver sept triangulaires dont la somme est égale à celle de sept triangulaires ?

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 2, 3, 3, 2, 1, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 2, 1, 2, 3, 3, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 12 le nombre choisi. On écrit : 12, 14, 17, 20, 22, 23, 25, puis 13, 15, 16, 18, 21, 24, 26. L’égalité est : 12^Δ + 14^Δ + 17^D + 20^D + 22^D + 23^D + 25^D = 13^D + 15^D + 16^D + 18^D + 21^D + 24^D + 26^D = 1400.

919. Seize triangulaires  

Comment trouver huit triangulaires dont la somme est égale à celle de huit triangulaires ? (1)

 Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 1, 3, 3, 1, 3, 3, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant Δ à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 4 le nombre choisi. On écrit 4, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 21, puis 5, 6, 9, 12, 13, 16, 19, 20. L’égalité est : 4^Δ + 7^Δ + 10^Δ + 11^Δ + 14^Δ + 15^Δ + 18^Δ + 21^Δ = 5^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 12^Δ + 13^Δ + 16^Δ + 19^Δ + 20^Δ = 786.

920. Seize triangulaires  

Comment trouver huit triangulaires dont la somme est égale à celle de huit triangulaires ? (2)

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 24, 6, 53, 3, 47, 24, 24, 16 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne 1 au nombre choisi.

• On écrit le dernier nombre et on additionne successivement 16, 24, 24, 47, 3, 53, 6, 24 au résultat précédent : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant D à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 1 le nombre choisi. On écrit : 1, 25, 31, 84, 87, 134, 158, 182, 198, puis 2, 18, 42, 66, 113, 116, 169, 175, 199. L’égalité est : 1^D + 25^D + 31^D + 84^D + 87^D + 134^D + 158^D + 182^D + 198^D = 2^D + 18^D + 42^D + 66^D + 113^D + 116^D + 169^D + 175^D + 199^D = 66 180.

921. Décomposition d’un triangulaire

Comment décomposer le carré d’un triangulaire en la somme d’un cube et d’un carré ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On le multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée et on conserve la partie entière : c’est le nombre élevé au cube.

• Du triangulaire, on soustrait le résultat précédent : c’est le nombre élevé au carré.

Soit 55 le triangulaire. On fait : 55 × 2 = 110, √110 = 10,49, puis 55 – 10 = 45. L’égalité est : 55² = 10³ + 45² = 3025.

922. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent d’un rang quand on connaît le rang du plus petit ?

Étape

• On additionne 1 au rang donné.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 + 1 = 10. La différence est 10. Le triangulaire de rang 10 est 55 et celui de rang 9 est 45.

923. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de deux rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 2 le rang donné.

• On additionne 3.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 9. On fait : 9 × 2 = 18 et 18 + 3 = 21. La différence est 21. Le triangulaire de rang 11 est 66 et celui de rang 9 est 45.

924. Soustraction de deux triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de trois rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 3 le rang donné.

• On additionne 6.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 12. On fait : 12 × 3 = 36 et 36 + 6 = 42. La différence est 42. Le triangulaire de rang 12 est 78 et celui de rang 15 est 120.

925. Soustraction de triangulaires

Comment trouver la différence de deux triangulaires qui diffèrent de quatre rangs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 4 le rang donné.

• On additionne 10.

Soit à trouver la différence de deux triangulaires dont le rang du plus petit est 10. On fait : 10 × 4 = 40 et 40 + 10 = 50. La différence est 50. Par exemple, le triangulaire de rang 14 est 105 et celui de rang 10 est 55. On a : 105 – 55 = 50. La différence est 50.

926. Soustraction mixte

Comment trouver la différence entre un carré et un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On divise par 2.

Soit à trouver la différence du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7 × 6 = 42 et 42 ÷ 2 = 21. La différence est 21. Le carré est 49 et le triangulaire est 28.

927. Soustraction de carrés

Comment trouver la différence des carrés de deux triangulaires consécutifs quand on connaît leurs rangs ?

Étape

• On élève au cube le rang du plus grand triangulaire.

Soit à trouver la différence du carré du triangulaire de rang 5 et du carré du triangulaire de rang 4. On fait : 5³ = 125. La différence est 125. Le triangulaire de rang 5 est 15 et 15² = 225. Le triangulaire de rang 4 est 10 et 10² = 100.

928. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par son successeur.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie la différence donnée des deux nombres par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 7 et dont la différence des triangulaires est 49. On fait : 49 × 2 = 98, 7 × 8 = 56, 98 – 56 = 42, 7 × 2 = 14, 42 ÷ 14 = 3 et 3 + 7 = 10. Les deux nombres sont 3 et 10.

929. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ? (1)

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On divise la différence des carrés par A.

• On additionne A.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 30 et dont la différence des carrés est 56. On fait : 30 × 2 = 60, 60 – 56 = 4, A = 4, 56 ÷ 4 = 14, 14 + 4 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 9 – 4 = 5. Les deux nombres sont 5 et 9.

930. Double soustraction

Comment trouver deux nombres dont on connaît la différence de leurs triangulaires et la différence de leurs carrés ? (2)

Étapes

• On multiplie par 2 la différence des triangulaires.

• On soustrait la différence de leurs carrés : c’est la valeur de A.

• On multiplie A par son successeur.

• Du résultat de la première ligne, on soustrait le résultat précédent.

• On multiplie A par 2.

• On divise l’un par l’autre les deux résultats précédents : c’est un premier nombre.

• On additionne A : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence des triangulaires est 21 et dont la différence des carrés est 39. On fait : 21 × 2 = 42, 42 – 39 = 3, A = 3 et 3 × 4 = 12. On fait : 42 – 12 = 30, 3 × 2 = 6, 30 ÷ 6 = 5 et 5 + 3 = 8. Les deux nombres sont 5 et 8.

931. Multiplication de deux triangulaires

Comment trouver le produit de deux triangulaires consécutifs dont on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On additionne 2 au rang du plus petit.

• On multiplie par le rang du plus petit.

• On multiplie par le successeur du résultat.

• On divise par 4.

Soit à trouver le produit des triangulaires de rangs 6 et 7. On fait : 6 + 2 = 8, 8 × 6 = 48, 48 × 49 = 2352 et 2352 ÷ 4 = 588. Le produit est 588. Le triangulaire de rang 6 est 21, celui de rang 7 est 28 et 21 × 28 = 588.

932. Multiplication mixte

Comment trouver le produit d’un carré et d’un triangulaire de même rang sans connaître le carré et le triangulaire ?

Étapes

• On élève le rang à la quatrième puissance.

• On élève le rang au cube.

• On additionne les deux résultats.

• On divise par 2.

Soit à trouver le produit du carré de rang 7 et du triangulaire de même rang. On fait : 7⁴ = 2401, 7³ = 343, 2401 + 343 = 2744 et 2744 ÷ 2 = 1372. Le produit est 1372. Le carré est 49, le triangulaire est 28 et 49 × 28 = 1372.

933. Double d’un triangulaire

Comment décomposer le double d’un triangulaire en deux facteurs qui sont des nombres consécutifs ?

Étapes

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière : c’est un premier facteur.

• On additionne 1 : c’est un second facteur.

Soit à décomposer 342 qui est le double du triangulaire 171. On fait : √342 = 18,49. La partie entière est 18. On fait : 18 + 1 = 19. Les deux facteurs sont 18 et 19.

934. Division mixte

Comment trouver le quotient d’un triangulaire quand on le divise par un carré de même rang sans connaître le triangulaire et le carré ?

Étapes

• On additionne 1 au rang : c’est le numérateur de la fraction.

• On multiplie le rang par 2 : c’est le dénominateur de la fraction.

• On simplifie la fraction au besoin.

Soit à trouver le quotient du triangulaire de rang 9 et du carré de même rang. On fait : 9 + 1 = 10 et 9 × 2 = 18. La fraction est 10/18. En simplifiant, on obtient 5/9. Le triangulaire de rang 9 est 45, le carré de même rang est 81 et 45/81 = 5/9.

935. Double opération

Comment trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un triangulaire ?

Étapes

• On choisit deux triangulaires de même parité.

• On les additionne.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On soustrait le plus petit nombre choisi : c’est un deuxième nombre.

Soit 66 et 120 les triangulaires choisis. On fait : 66 + 120 = 186, 186 ÷ 2 = 93 et 93 – 66 = 27. Les deux nombres sont 27 et 93.

936. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur somme et la différence de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la somme par son successeur.

• On soustrait le double de la différence des triangulaires. On note le résultat.

• On multiplie par 2 le successeur de la somme donnée des deux nombres.

• On divise le résultat noté par le résultat précédent : c’est un premier nombre.

• De la somme donnée, on soustrait le résultat précédent : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme est 11 et dont la différence des triangulaires est 42. On fait : 11 × 12 = 132, 132 – 84 = 48, 12 × 2 = 24, 48 ÷ 24 = 2 et 11 – 2 = 9. Les deux nombres sont 2 et 9.

937. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ? (1)

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un premier nombre.

• On soustrait l’une de l’autre la somme et la différence des triangulaires.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 93 et dont la différence est 63. On fait : 93 + 63 = 156 et √156 = 12,49. La partie entière est 12. On fait : 93 – 63 = 30 et √30 = 5,48. La partie entière est 5. Les deux nombres sont 5 et 12.

938. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît la somme de leurs triangulaires et la différence de leurs triangulaires ? (2)

Étapes

• On additionne la somme et la différence des triangulaires.

• On multiplie par 4.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait 1.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On divise par 2 le résultat de la première ligne.

• On soustrait la différence donnée.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée. La partie entière est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la somme des triangulaires est 76 et dont la différence des triangulaires est 56. On fait : 76 + 56 = 132, 132 × 4 = 528, 528 + 1 = 529 et √529 = 23. On fait : 23 – 1 = 22, 22 ÷ 2 = 11, 132 ÷ 2 = 66, 66 – 56 = 10, 10 × 2 = 20 et √20 = 4,47. La partie entière est 4. Les deux nombres sont 4 et 11.

939. Double opération

Comment trouver deux nombres dont on connaît leur différence et la somme de leurs triangulaires ?

Étapes

• On multiplie la différence par son successeur.

• On multiplie par 2 la somme des triangulaires.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

• On multiplie par 2.

• On élève au carré le successeur de la différence donnée.

• On additionne les deux résultats précédents.

• On extrait la racine carrée.

• On soustrait le successeur de la différence donnée.

• On divise par 2 : c’est un premier nombre.

• On additionne la différence donnée : c’est un deuxième nombre.

Soit à trouver deux nombres dont la différence est 5 et dont la somme des triangulaires est 42. On fait : 5 × 6 = 30, 42 × 2 = 84, 84 – 30 = 54, 54 × 2 = 108 et 6² = 36. On fait : 108 + 36 = 144, √144 = 12, 12 – 6 = 6, 6 ÷ 2 = 3 et 3 + 5 = 8. Les deux nombres sont 3 et 8.

940. Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire ?

Étapes

• On choisit un triangulaire.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine carrée.

• On retient la partie entière. On note le résultat.

• On multiplie par 2.

• On multiplie par le triangulaire choisi.

• On multiplie le résultat noté par lui-même.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 28. On fait : 28 × 2 = 56 et √56 = 7,48. On note 7. On fait : 7 × 2 = 14, 14 × 28 = 392 et 7 × 7 = 49. On fait : 392 – 49 = 343. Le nombre 343 est un cube. Il est de rang 7.

941. Triangulaires et cubes  

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ? (1)

Étapes

• On additionne le triangulaire et son rang.

• On additionne 1.

• On additionne le triangulaire donné.

• On multiplie l’un par l’autre le successeur du rang et le résultat précédent.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 + 8 = 44, 44 + 1 = 45, 45 + 36 = 81 et 9 × 81 = 729. Le nombre 729 est un cube. C’est le cube de 9.

942. Triangulaires et cubes

Comment trouver un cube à partir d’un triangulaire donné dont on connaît le rang ? (2)

Étapes

• On soustrait l’un de l’autre le triangulaire et son rang.

• On élève au carré.

• On élève le triangulaire donné au carré.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un cube à partir du triangulaire 36 qui est de rang 8. On fait : 36 – 8 = 28, 28² = 784, 36² = 1296 et 1296 – 784 = 512. Le nombre 512 est un cube. C’est le cube de 8.

Note. Les carrés sont aussi des nombres figurés. Toutefois, le sujet a été traité au chapitre 4.

943. Nombre pentagonal

Comment savoir si un nombre est pentagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• Si le résultat est un carré, le nombre donné est pentagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 51 est pentagonal. On fait : 51 × 24 = 1224 et 1224 + 1 = 1225. Le nombre 1225 est un carré, celui de 35. Donc, 51 est pentagonal.

Soit à savoir si 120 est pentagonal. On fait : 120 × 24 = 2880 et 2880 + 1 = 2881. Le nombre 2881 n’est pas un carré. Donc, 120 n’est pas pentagonal.

944. Nombre pentagonal

Comment savoir si un nombre est pentagonal ? (2)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le triple moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est pentagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 70 est pentagonal. Le couple de facteurs possible est (5, 14). Le nombre 70 est pentagonal.

Soit à savoir si 135 est pentagonal. Aucun couple de facteurs n’est possible. Le nombre 135 n’est pas pentagonal.

945. Nombre pentagonal

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

• On divise par 2.

Soit 6 le rang donné. On fait : 6 × 3 = 18, 18 – 1 = 17, 17 × 6 = 102 et 102 ÷ 2 = 51. Le pentagonal de rang 6 est 51.

946. Nombre pentagonal

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ? (2)

Étapes

• On écrit le rang donné.

• Y compris ce nombre, on écrit une quantité de nombres consécutifs correspondant au rang donné.

• On additionne ces nombres.

Soit 7 le rang donné. On écrit 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. La somme est 70. Le pentagonal de rang 7 est 70.

947. Nombre pentagonal

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ? (3)

Étapes

• On multiplie le rang donné par son successeur. On note le résultat.

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On multiplie par 2.

• On additionne le résultat noté.

• On divise par 2.

 Soit 9 le rang donné. On fait : 9 × 10 = 90, 9 × 8 = 72, 72 × 2 = 144, 144 + 90 = 234 et 234 ¸ 2 = 117. Le pentagonal de rang 9 est 117.

948. Nombre pentagonal

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ? (4)

Étapes

• On multiplie le rang donné par son prédécesseur.

• On multiplie par 1,5.

• On additionne le rang.

 Soit 8 le rang donné. On fait : 8 × 7 = 56, 56 × 1,5 = 84, 84 + 8 = 92. Le pentagonal de rang 8 est 92.

949. Nombre pentagonal

Comment trouver un pentagonal d’un rang donné ? (5)

Étapes

• Pour chaque pentagonal de rang n, on écrit une suite de raison 3 à partir de 1 et formé de n nombres.

• On additionne les nombres de chaque ligne.

Voici les cinq premiers pentagonaux :

1 = 1

1 + 4 = 5

1 + 4 + 7 = 12

1 + 4 + 7 + 10 = 22

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35

950. Rang d’un pentagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait pentagonal ?

Étapes

• On multiplie le pentagonal par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

Soit à trouver le rang du pentagonal 117. On fait : 117 × 24 = 2808, 2808 + 1 = 2809 et √2809 = 53. On fait : 53 + 1 = 54 et 54 ÷ 6 = 9. Le pentagonal 117 est de rang 9.

951. Successeur d’un pentagonal

Comment trouver le successeur d’un pentagonal dont on connaît le rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On additionne 1.

• On additionne le pentagonal donné.

Soit à trouver le successeur du pentagonal de rang 6 qui est 51. On fait : 6 × 3 = 18, 18 + 1 = 19 et 19 + 51 = 70. Le successeur de 51 est 70.

952. Addition de pentagonaux

Comment trouver la somme de deux pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie par 3 le rang du plus petit.

• On additionne 2.

• On multiplie par le rang.

• On additionne 1.

Soit à trouver la somme de pentagonaux de rangs 5 et 6. On fait : 5 × 3 = 15, 15 + 2 = 17, 17 × 5 = 85 et 85 + 1 = 86. La somme est 86. Le pentagonal de rang 5 est 35 et celui de rang 6 est 51.

953. Addition de pentagonaux

Comment trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang de celui du centre ?

Étapes

• On multiplie le rang par 3.

• On multiplie par le prédécesseur du résultat.

• On additionne 6.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme de trois pentagonaux consécutifs dont celui du centre est de rang 5. On fait : 5 × 3 = 15, 15 × 14 = 210, 210 + 6 = 216 et 216 ÷ 2 = 108. La somme est 108. Les pentagonaux de rangs 4, 5 et 6 sont respectivement 22, 35 et 51.

954. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par lui-même.

• On multiplie par 2.

Soit à trouver la somme d’un triangulaire et d’un pentagonal de rang 5. On fait : 5 × 5 = 25 et 25 × 2 = 50. La somme est 50. Le triangulaire est 15 et le pentagonal est 35.

955. Addition mixte

Comment trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de même rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 5.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang.

• On divise par 2.

Soit à trouver la somme d’un carré et d’un pentagonal de rang 7. On fait : 7 × 5 = 35, 35 – 1 = 34, 34 × 7 = 238 et 238 ÷ 2 = 119. La somme est 119. Le carré est 49 et le pentagonal est 70.

956. Soustraction de pentagonaux

Comment trouver la différence de deux pentagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 3.

• On additionne 1.

Soit à trouver la différence de pentagonaux de rangs 7 et 8. On fait : 7 × 3 = 21 et 21 + 1 = 22. La différence est 22. Les pentagonaux sont 70 et 92.

957. Décomposition de pentagonaux

Comment décomposer un nombre pentagonal en deux facteurs ?

Étapes

• On multiplie le nombre par 24.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 6.

• Si le résultat est pair, on divise par 2 ; sinon, on conserve le résultat : c’est le premier facteur.

• On divise le pentagonal par le premier facteur : c’est le second facteur.

Soit à décomposer le pentagonal 176. On fait : 176 × 24 = 4224, 4224 + 1 = 4225 et √4225 = 65. On fait : 65 + 1 = 66, 66 ÷ 6 = 11 et 176 ÷ 11 = 16. Le pentagonal 176 peut être décomposé en deux facteurs, soit 11 et 16.

Soit à décomposer le pentagonal 477. On fait : 477 × 24 = 11 448, 11 448 + 1 = 11 449 et √11 449 = 107. On fait : 107 + 1 = 108, 108 ÷ 6 = 18, 18 ÷ 2 = 9 et 477 ÷ 9 = 53. Le pentagonal 477 peut être décomposé en deux facteurs, soit 9 et 53.

958. Nombre hexagonal

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 32.

• On additionne 4.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat est un entier, le nombre choisi est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 35 est hexagonal. On fait : 35 × 32 = 1120, 1120 + 4 = 1124 et √1124 = 33,5. Le nombre 35 n’est pas hexagonal.

Soit à savoir si 66 est hexagonal. On fait : 66 × 32 = 2112, 2112 + 4 = 2116 et √2116 = 46. Le nombre 66 est hexagonal.

959. Nombre hexagonal

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (2)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• Si le résultat n’est pas un entier, le nombre donné n’est pas hexagonal.

• Si le résultat est un entier, on divise la racine carrée par 4.

• Si le reste est 3, le nombre donné est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 77 est hexagonal. On fait : 77 × 8 = 616, 616 + 1 = 617 et √617 = 24,84. Le nombre 77 n’est pas hexagonal.

Soit à savoir si 120 est hexagonal. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961 et √961 = 31. On fait : 31 ÷ 4 = 7 reste 3. Le nombre 120 est hexagonal.

960. Nombre hexagonal

Comment savoir si un nombre est hexagonal ? (3)

Étapes

• On cherche, pour ce nombre, un couple de facteurs dont le plus grand est le double moins 1 de l’autre.

• S’il y a un couple de facteurs possible, le nombre est hexagonal. Sinon, il ne l’est pas.

Soit à savoir si 190 est hexagonal. Le couple de facteurs possible est (10, 19). Le nombre 190 est hexagonal.

Soit à savoir si 240 est hexagonal. Aucun couple de facteurs tel que défini n’est possible. Le nombre 240 n’est pas hexagonal.

961. Nombre hexagonal

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ? (1)

Étapes

• On multiplie le rang donné par 2.

• On soustrait 1.

• On multiplie par le rang donné.

Soit 8 le rang donné. On fait : 8 × 2 = 16, 16 – 1 = 15 et 15 × 8 = 120. L’hexagonal de rang 8 est 120.

962. Nombre hexagonal

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ? (2)

Étapes

• On multiplie par 2 le rang donné.

• On soustrait 1. On note le résultat.

• À partir de 1, on écrit une quantité de nombres consécutifs correspondant au résultat noté

• On additionne ces nombres.

Soit 4 le rang donné. On fait : 4 × 2 = 8 et 8 – 1 = 7. On écrit sept nombres consécutifs à partir de 1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. La somme est 28. L’hexagonal de rang 4 est 28.

963. Nombre hexagonal

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ? (3)

Étapes

• On multiplie le rang donné par son prédécesseur.

• On multiplie par 2.

• On additionne le rang.

Soit 9 le rang donné. On fait : 9 × 8 = 72, 72 × 2 = 144 er 144 + 9 = 153. L’hexagonal de rang 9 est 153.

964. Nombre hexagonal

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ? (4)

Étapes

• On multiplie le rang donné par son successeur. On note le résultat.

• On multiplie le rang par son prédécesseur.

• On multiplie par 3.

• On additionne le résultat noté.

• On divise par 2.

Soit 11 le rang donné. On fait : 11 × 12 = 132, 11 × 10 = 110, 110  × 3 = 330, 132 + 330 = 462 et 462 ¸ 2 = 231. L’hexagonal de rang 11 est 231.

965. Nombre hexagonal

Comment trouver l’hexagonal d’un rang donné ? (5)

Étapes

• Pour chaque hexagonal de rang n, on écrit une suite de raison 4 à partir de 1 et formé de n nombres.

• On additionne les nombres de chaque ligne.

Voici les cinq premiers hexagonaux :

1 = 1

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

1 + 5 + 9 + 13 + 17 = 45

966. Hexagonaux et carrés

Comment trouver un hexagonal à partir d’un carré ?

Étapes

• On choisit un carré.

• On multiplie par 2.

• On extrait la racine du carré donné.

• On soustrait l’un de l’autre les deux résultats précédents.

Soit à trouver un hexagonal à partir du carré 81. On fait : 81 × 2 = 162, √81 = 9 et 162 – 9 = 153. Le nombre 153 est hexagonal. Il est de rang 9.

967. Rang d’un hexagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ? (1)

Étapes

• On multiplie le nombre par 8.

• On additionne 1.

• On extrait la racine carrée.

• On additionne 1.

• On divise par 4.

Soit à trouver le rang de l’hexagonal 120. On fait : 120 × 8 = 960, 960 + 1 = 961, √961 = 31, 31 + 1 = 32 et 32 ÷ 4 = 8. L’hexagonal 120 est de rang 8.

968. Rang d’un hexagonal

Comment trouver le rang d’un nombre qu’on sait hexagonal ? (2)

Étapes

• On trouve les couples de facteurs possibles du nombre donné.

• On retient les deux facteurs dont le plus grand est le double moins 1 de l’autre.

• Le plus petit facteur est le rang de l’hexagonal.

Soit à trouver le rang de l’hexagonal 190. Les couples de facteurs possibles sont (1, 190), (2, 95), (5, 38) et (10, 19). Le nombre 19 est le double moins 1 de 10. On retient les facteurs (10, 19). Le nombre 190 est un hexagonal de rang 10.

969. Successeur d’un hexagonal

Comment trouver le successeur d’un hexagonal dont on connaît le rang ?

Étapes

• On multiplie le rang par 4.

• On additionne 1.

• On additionne l’hexagonal donné.

Soit à trouver le successeur de 120 qui est l’hexagonal de rang 8. On fait : 8 × 4 = 32, 32 + 1 = 33 et 33 + 120 = 153. Le successeur de 120 est 153.

970. Addition d’hexagonaux

Comment trouver la somme de deux hexagonaux consécutifs quand on connaît le rang du plus petit ?

Étapes

• On multiplie le rang du plus petit par 4.