Dictionnaire de mathématiques récréatives Nombre centré décagonal

Décagonal
° Nombre centré décagonal. – Nombre figuré qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon régulière sur des décagones. Les centrés décagonaux de dimension inférieure ou égale à 5 sont définis ci-après.

n Nombre centré décagonal D1
Nombre centré linéaire ou de dimension 1 dont les points sont disposés sur les côtés d’un décagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe, sauf 1, est un multiple de 10. Les dix plus petits nombres sont : 1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Le terme général de rang n, en excluant 1, est 10(n - 1). Pour trouver le rang d’un centré décagonal D1, on divise le nombre par 10 et on additionne 1 au quotient. Pour trouver son successeur, on lui additionne 10. Par exemple, 80 est de rang 9 car 80 ÷ 10 = 8. Son successeur est 90.

Voici quatre propriétés concernant cette classe de nombres :

La somme des n plus petits centrés décagonaux D1 est un centré décagonal D2 de rang n.

La somme de deux centrés décagonaux D1 successifs, en excluant 1, est égale à 20 fois le rang du plus petit moins 10.

Tout centré décagonal D1 est la différence de deux centrés décagonaux D2 successifs.

Les nombres centrés décagonaux D1 forment une suite arithmétique de degré 1.

n Nombre centré décagonal D2
Nombre centré plan ou de dimension 2 dont les points sont disposés sur les côtés parallèles de décagones réguliers, ayant en plus un point au centre. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés décagonaux D1. Le terme général est (5n² - 5n + 1). Les 39 plus petits centrés décagonaux D2 sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		1	11	31	61	101	151	211	281	361
1	451	551	661	781	911	1051	1201	1361	1531	1711
2	1901	2101	2311	2531	2761	3001	3251	3511	3781	4061
3	4351	4651	4961	5281	5611	5951	6301	6661	7031	7411

Un nombre est de cette classe si, ayant retranché le dernier chiffre 1 du nombre, les chiffres qui restent forment un triangulaire. Le rang du centré décagonal D2 est supérieur de 1 à celui du triangulaire. Pour trouver son successeur, on lui additionne 10 fois son rang. Par exemple, 361 est un centré décagonal D2 car 36 est le triangulaire de rang 8. Il est au rang 9. Son successeur est 361 + (10 × 9) = 451. Pour trouver un nombre de cette classe, on ajoute 1 comme unité à tout triangulaire. Par exemple, comme 528 est un triangulaire, 5281 est un centré décagonal D2. Le triangulaire 528 est de rang 32 et le centré décagonal 5281 est de rang 33.

Voici cinq propriétés concernant cette classe de nombres :

Le chiffre des unités est toujours 1.

La somme des n plus petits centrés décagonaux D2 est un centré décagonal D3 de rang n.

La différence de deux centrés décagonaux D2 successifs est 10 fois le rang du plus petit.

Tout centré décagonal D2 est la différence de deux centrés décagonaux D3 successifs.

Les nombres centrés décagonaux D2 forment une suite arithmétique de degré 2.

La suite des centrés décagonaux D2 est la même que celle des centrés étoilés.

n Nombre centré décagonal D3
Nombre centré solide ou de dimension 3 dont les points sont disposés sur un solide associé à un décagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés décagonaux D2 successifs. Le terme général est n(5n² - 2)/3. Les 29 plus petits centrés décagonaux D3 sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		1	12	43	104	205	356	567	848	1209
1	1660	2211	2872	3653	4564	5615	6816	8177	9708	11 419
2	13 320	15 421	17 732	20 263	23 024	26 025	29 276	32 787	36 568	40 629

Un nombre est de cette classe si on peut décomposer son triple en deux facteurs : un entier et le quintuple du carré de cet entier moins 2. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le quintuple du produit de son rang et du rang suivant plus 1. Par exemple, 848 est un centré décagonal D3 car 848 × 3 = 8 × 318. Il est au rang 8. Son successeur est 848 + (5 × 8 × 9 + 1) = 1209.

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 10 chiffres différents : 1 234 567 890.

Le chiffre des unités du nombre est le même que celui de son rang.

La somme des n plus petits centrés décagonaux D3 est un centré décagonal D4 de rang n.

La différence de deux centrés décagonaux D3 successifs est un centré décagonal D2.

Tout centré décagonal D3 est la différence de deux centrés décagonaux D4 successifs.

Les nombres centrés décagonaux D3 forment une suite arithmétique de degré 3.

n Nombre centré décagonal D4
Nombre centré hypersolide ou solide de dimension 4 dont les points sont disposés sur un hypersolide associé à un décagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés décagonaux D3. Le terme général est n(n + 1)(5n² + 5n - 4)/12. Les 19 plus petits centrés décagonaux D4 sont :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		1	13	56	160	365	721	1288	2136	3345
1	5005	7216	10 088	13 741	18 305	23 920	30 736	38 913	48 621	60 040
2	73 360	88 781	106 513	126 776	149 800	175 825	205 101	237 888	274 456	315 085

Un nombre est de cette classe si, multiplié par 12, on peut le décomposer en trois facteurs : un entier, le suivant et le quintuple du produit de ces deux entiers moins 4. Son rang est le plus petit facteur. Pour trouver son successeur, on lui additionne le tiers du produit de rang suivant et du quintuple de son carré moins 2. Par exemple, 1288 est un centré décagonal D4 car 1288 × 12 = 7 × 8 × (5 × 7 × 8 - 4). Il est au rang 7. Son successeur est 1288 + [8 × (5 × 8² - 2)/3] = 2136.

Voici six propriétés concernant cette classe de nombres :

La période des unités des nombres successifs correspond à un palindrome de 20 chiffres : 01 360 518 655 681 506 310.

Les unités sont 0, 1, 3, 5, 6 et 8.

La somme des n plus petits centrés décagonaux D4 est un centré décagonal D5 de rang n.

La différence de deux centrés décagonaux D4 successifs est un centré décagonal D3.

Tout centré décagonal D4 est la différence de deux centrés décagonaux D5 successifs.

Les nombres centrés décagonaux D4 forment une suite arithmétique de degré 4.

n Nombre centré décagonal D5
Nombre centré solide D5 ou de dimension 5 dont les points sont disposés sur un solide de dimension 5 associé à un décagone régulier. Tout nombre de rang n de cette classe est la somme des n plus petits centrés décagonaux D4. Le terme général est n(n + 1)(n + 2)(n² + 2n - 1)/12. Les 10 plus petits centrés décagonaux D5 sont : 1, 14, 70, 230, 595, 1316, 2604, 4740, 8085 et 13 090. Les différences successives des suites à partir de la suite des centrés décagonaux D5 sont :

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