Dictionnaire de mathématiques récréatives Carré latin

Latin

° Carré latin. – Carré d'ordre n dans lequel les cellules contiennent n lettres, nombres ou symboles, appelés éléments, qui sont disposés de telle manière qu'ils apparaissent une et une seule fois sur chaque ligne et dans chaque colonne. Chacune des lignes ou colonnes est constituée par la permutation des n éléments. Il existe 12 carrés latins d’ordre 3.

Voici les deux modèles de base :

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En remplaçant tout chiffre par un autre, on peut former 10 autres carrés latins d’ordre 3. Il existe 576 carrés latins d’ordre 4. Voici les 24 carrés latins d’ordre 4 dont la première ligne contient 1, 2, 3 et 4 dans cet ordre :

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

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(7) (8) (9) (10) (11) (12)

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(13) (14) (15) (16) (17) (18)

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(19) (20) (21) (22) (23) (24)

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3

Les carrés latins 1, 7, 13 et 19 sont normalisés ; les carrés 4 et 5 sont diagonaux ; les carrés 1 et 21 sont antidiagonaux ; les carrés 1, 2, 3, 6, 7, 8, 13, 18, 19 et 21 sont symétriques. On peut former d’autres carrés latins en remplaçant chaque chiffre par un autre.

Il existe 161 280 carrés latins d’ordre 5. En voici trois :

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La première ligne est identique. Les autres lignes ont les mêmes permutations disposées autrement. Il existe 812 851 200 carrés latins d’ordre 6. En voici trois :

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Soit q le nombre de carrés latins normalisés d’ordre n, le nombre total de carrés latins d’ordre n est : q × n! × (n - 1)!. Par exemple, comme il y a 56 carrés latins normalisés d’ordre 5, on compte 56 × 5! × 4! = 161 280 carrés latins d’ordre 5.

Il existe des classes de carrés latins remarquables qui sont définis.
1. Si les éléments de la première ligne et de la première colonne sont en ordre naturel, le carré est dit normalisé.

2. Si chacune des deux diagonales est composée d’éléments différents, le carré est dit diagonal.

3. Si chaque diagonale contient un élément répété, le carré est dit antidiagonal.

4. Si les diagonales brisées d’un carré latin diagonal contiennent des éléments différents, ce carré est dit pandiagonal.

5. Si chaque paire d’éléments conjugués sur une diagonale est identique, le carré est dit symétrique.

6. Si on peut superposer deux carrés latins pour donner un carré gréco-latin, ces carrés sont dits orthogonaux ; si les deux carrés ne donnent pas un carré gréco-latin, ils sont dits inextensibles.

7. Si deux carrés latins ou plus sont formés selon une même règle, ils sont dits réguliers.

On peut définir d’autres classes de carrés latins remarquables.

1. Ceux dont les permutations sont identiques horizontalement et verticalement.

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On compte 96 carrés latins de cette classe.

2. Ceux dont les éléments conjugués sont complémentaires sur chaque ligne et dans chaque colonne. La somme de ces éléments est (1 + n).

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On compte 48 carrés latins de cette classe.

3. Ceux dont les permutations sont circulaires autant pour les lignes que pour les colonnes.

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Sur chaque ligne et dans chaque colonne du premier carré, on peut lire (1, 2, 3, 4) en ordre cyclique ; dans le second carré, on peut lire (1, 2, 4, 3). On compte 24 carrés latins de cette classe.

4. Ceux qui peuvent être partagés en compartiments tels que les nombres de 1 à n apparaissent dans chacun d’eux. En voici six :

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On compte 288 carrés latins de cette classe. Le sudoku appartient à cette classe.

Les carrés latins ont été popularisés à la suite du problème des officiers d'Euler. Ils peuvent servir à la construction de carrés magiques. La table de Pythagore est un carré latin. Le sudoku en est un aussi.

Les carrés latins appartiennent à la classe des récréations combinatoires.

Pour la recherche
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Index : L

Voir Carré latin dans l'Aide-mémoire.

Voir aussi :

Carré gréco-latin diagonal

Rectangle latin