161. Le calendrier
Il existe différentes méthodes pour identifier le jour de la semaine d'une date donnée. L'une, par tableaux, ne requiert aucun calcul. Cette méthode est présentée dans mon livre Évasions calculées (Modulo Éditeur, 1982).

Voici deux autres méthodes expliquées en partant du même problème :

Quel jour de la semaine était le 8 mars 1666 ?

1. Méthode par calculs
On part du jour où on est. On avance ou on recule au 8 mars le plus proche en comptant les jours. Supposons qu'on est le 23 décembre 1993, un jeudi, alors la date la plus proche est le 8 mars 1994.

On détermine le nombre de jours du 24 décembre 1993 au 8 mars 1994.

décembre : 8 jours

janvier : 31 jours

février : 28 jours

mars : 8 jours

Total : 75 jours.

Il y a un écart de 10 semaines et 5 jours. Puisque le 23 décembre 1993 est un jeudi, le 8 mars 1994 est un mardi (5 jours plus tard).

Du 8 mars 1666 au 8 mars 1994, il y a 328 années parmi lesquelles 79 furent bissextiles. Une année est bissextile quand elle est divisible par 4. Cependant, les années du siècle qui ne sont pas divisibles par 400 comme 1700, 1800, 1900 ne sont pas bissextiles.

Puisqu'une année non bissextile renferme 52 semaines et un jour, il y a d'une année à l'autre un décalage d'un jour sur le jour de la semaine. Ainsi, si le 6 juillet 1993 est un mardi, le 6 juillet 1994 est un mercredi. Chaque année bissextile produit un décalage de deux jours, car l'année équivaut à 52 semaines et deux jours.

Puisqu'il s'est écoulé 328 années dont 79 étaient bissextiles, il y a un décalage de 328 + 79 = 407 jours, c'est-à-dire 58 semaines et un jour. À partir du 8 mars 1994 qui est un mardi, il faut reculer d'un jour.

Le 8 mars 1666 était donc un lundi.

2. Méthode par tableaux et calculs
Dans cette méthode, on utilise les trois tableaux ci-dessous et une suite d'opérations.

Tableau 1. Code du mois

* Si l'année est bissextile, janvier correspond à 00 et février à 03.

Tableau 2. Code du siècle

Tableau 3. Code du jour de la semaine

Voici la séquence des opérations appliquées sur le 8 mars 1666 :

1. On additionne

a) le quantième du mois                                                    0 8

b) le code du mois (tableau 1)                                           0 4

c) le code du siècle (tableau 2)                                          0 6

d) les deux derniers chiffres de l'année                             6 6

e) ce dernier nombre divisé par 4 en ignorant le reste      1 6

Total                                                                                 1 0 0

2. On divise le total par 7 et on note le reste                     0 2

3. Le reste de la division correspond au code

du jour de la semaine (tableau 3)                                     Lundi

Déterminez, par la méthode de votre choix, le jour de la semaine des dates suivantes.

a) Le 31 janvier 1933

b) Le 2 juin 1945

c) Le 19 octobre 1958

d) Le 24 novembre 1978

e) Le 3 mai 1988

f) Le 1 janvier 2000

162. La famille des nombres
Beaucoup de récréations mathématiques utilisent les nombres à leur état pur. De nombreuses classes de nombres ont été définies. Citons, parmi les moins connus, les nombres amiables, automorphes, figurés, funiculaires, hétéromèques, hexagonaux, palindromes, pentagonaux, polygonaux, promèques, pyramidaux, triangulaires.

Selon Godfrey H. Hardy (1877-1947), dans son livre A Mathematician's Apology, il existe seulement quatre nombres supérieurs à l'unité qui sont les sommes des cubes de leurs chiffres. Le nombre 153 en est un, car 1³ + 5³ + 3³ est égal à 153.

Trouvez les trois autres nombres inférieurs à 1000 ayant les mêmes propriétés.

163. Des nombres narcissiques
Les quatre nombres du problème précédent sont dits narcissiques en ce que, tout comme le dieu Narcisse, ils s'éprennent de leur propre image qui correspond aux chiffres sur lesquels une opération est faite. Les chiffres d'un nombre narcissique sont écrits dans leur ordre initial ; mais ils peuvent être regroupés par tranches variables. Les opérations sur les chiffres sont généralement l'élévation à une puissance et la factorielle. Les nombres ainsi formés sont la plupart du temps additionnés. Ainsi, on peut écrire :

145 = 1! + 4! + 5!

3435 = 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵

4913 = (4 + 9 + 1 + 3)³

216 513 = -216² + 513²

5 882 353 = 588² + 2353²

Dans sa chronique Jeux et problèmes du bulletin AMQ de mars 1986, Jean-Marie Labrie demande de représenter certains nombres narcissiques.

Représentez les nombres narcissiques suivants en utilisant la même puissance pour chacun :

· 1233

· 1634

· 8833

 

164. Des chaînes
Il existe des chaînes de nombres narcissiques utilisant seulement une puissance. En voici une fondée sur la puissance 3 :

160 : 1³ + 6³ + 0³ = 217

217 : 2³ + 1³ + 7³ = 352

352 : 3³ + 5³ + 2³ = 160

Trouvez deux autres chaînes en utilisant la puissance 3. Le nombre de départ de chaque chaîne est inférieur à 160.

165. Puissances en ordre
Le nombre 598 est remarquable car il est égal à 5¹ + 9² + 8³. Ses chiffres affectés d'une puissance de 1 à 3 dans cet ordre forment des nombres qui, additionnés, donnent l'entier lui-même.

Trouvez trois autres nombres supérieurs à 100 et inférieurs à 598 qui possèdent ces propriétés.

166. Variations sur 1987
À chaque fois qu'une nouvelle année apparaît, il est intéressant de jouer avec les chiffres du millésime.

L'année 1987 présente des particularités. Ce nombre est premier. La somme de ses chiffres est 25, un carré parfait. La somme réduite à un chiffre est 7, un autre nombre premier. Une façon spectaculaire d'écrire 1987 est d'utiliser chaque chiffre de 1 à 9 en ordre décroissant pour la base et chacun des mêmes chiffres en ordre croissant pour la puissance, tout en utilisant l'addition et la soustraction.

1987 = 9¹ + 8² - 7³ + 6⁴ + 5⁵ - 4⁶ + 3⁷ - 2⁸ + 1⁹

a) Avec les chiffres de 1987, pris chacun une seule fois, et au moyen d'opérations arithmétiques, on peut obtenir comme résultats plusieurs nombres. Ainsi,

1 = 7 - (18 ÷ Ö9)

2 = (9 + 7) ÷ ( 8 × 1)

Trouvez une expression pour chaque résultat de 3 à 10.

b) En suivant les mêmes règles et en conservant les chiffres de 1987 dans l'ordre, on peut écrire :

1 = 1⁹⁸⁷

2 = Ö19 - 8 - 7

Trouvez une expression pour chaque résultat de 3 à 10.

c) En utilisant un même chiffre autant de fois que nécessaire avec certaines opérations, on peut écrire :

1987 = (1 + 1)11 - [(11 × 11) + 1] ÷ (1 + 1)

1987 = Ö2²² - 2²⁺²⁺² + 2 + 2/2

Écrivez 1987 avec :

· des 3

· des 4

· des 5

· des 6

d) Représentez 1987 avec un 1, neuf 9, huit 8 et sept 7.

e) On peut représenter 1987 avec chacun des chiffres de 1 à 9 dans l’ordre numérique croissant. Par exemple, 1987 = 1 - 2 + 345 × 6 + 7 - 89.

Trouvez une expression lorsque les neuf chiffres de 1 à 9 sont en ordre décroissant.

f) Faites un travail de recherche similaire avec le millésime de l'année en cours.

167. Un problème de divisibilité
L'expression 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ est-elle divisible successivement par les nombres de 2 à 10 ?

Le tableau suivant peut vous aider à répondre à cette question. Il indique la valeur de 2ⁿ, de 3ⁿ et de leur somme lorsque l'exposant varie de 1 à 10.

168. Nouvelle approche de la parité
Les nombres naturels peuvent être partagés en deux sous-ensembles : les pairs et les impairs. Il est intéressant de relever les différentes définitions données à ce sujet dans les manuels scolaires, les lexiques ou dictionnaires.

À titre d'exemple, nous indiquons la définition de A. Bouvier et M. George dans le Dictionnaire des mathématiques, publié aux Presses universitaires de France.

Entier pair. - Entier multiple de 2. Dans l'anneau Z, l'ensemble 2Z des entiers pairs est un idéal.

Entier impair. - Nombre entier de la forme 2n + 1 ou n appartient à N. Leur ensemble est le complémentaire dans l'anneau Z de l'idéal 2Z des entiers pairs.

Amusons-nous à compliquer la parité des entiers. Sans donner une définition formelle, voici une façon de classifier les entiers de 2 à 11

2 : simplement pair

3 : simplement impair

4 : pairement pair

5 : pairement impair

6 : impairement pair

7 : impairement impair

8 : pairement pairement pair

9 : pairement pairement impair

10 : pairement impairement pair

11 : pairement impairement impair

a) Quel nombre est impairement impairement impairement impairement pairement pairement impair ?

b) En admettant que P est mis pour pairement ou pair et que I est mis pour impairement ou impair, trouvez le nombre correspondant à :

· P I P P I

· I P P I P I

· P I P I I P I I P

· P I P I I I I P P P

c) Comme précédemment, trouvez la parité de :

· 12

· 19

· 48

· 145

· 167

· 501

169. Les nombres décubés
Il existe, en mathématique, de nombreux sujets qui peuvent permettre des recherches courtes. En particulier, l'arithmétique fourmille de sujets accessibles à des élèves du secondaire. Afin d'illustrer les possibilités d'explorer des champs nouveaux, créons l'ensemble des nombres décubés.

Donnons d'abord une définition.

Un nombre décubé est un nombre formé d'un entier naturel élevé au cube et diminué de sa racine cubique. Exemple : 4³ - 4 = 60 est un nombre décubé.

Les cinq plus petits nombres décubés sont dans l'ordre : 0, 6, 24, 60, 120.

Voici des problèmes qui permettront de mettre en évidence certaines propriétés des nombres décubés :

a) 117 600 est un nombre décubé. Quelle est sa racine ?

b) 249 984 est un nombre décubé. Quel est le nombre décubé suivant ?

c) Quel est le 100^e nombre décubé ?

d) Combien y a-t-il de nombres décubés entre 10 000 et 20 000 ?

e) Quel est le plus petit nombre décubé supérieur à 700 000 ?

f) 60 552 est-il un nombre décubé ?

g) Parmi les nombres suivants, un seul est décubé. Lequel ?

h) Quel est le dernier chiffre du 9997^e nombre décubé ?

i) Indiquez au moins deux propriétés des nombres décubés.

170. Problèmes non résolus
Les mathématiciens ont parfois, dans le passé, fait fausse route après avoir admis des évidences. Pensons au ruban de Möbius. Cette bande de papier n'a qu'une face. Elle n'a ni envers ni endroit. Pourtant, avant le 19^e siècle, les mathématiciens croyaient qu'une bande de papier avait nécessairement deux faces.

Dans l'Antiquité, les mathématiciens ont consacré beaucoup de temps à résoudre trois problèmes devenus célèbres à cause de leur insolubilité à l'aide de la règle et du compas.

a) la trisection d'un angle

b) la mesure de la circonférence et la quadrature du cercle

c) la duplication du cube

Voici deux problèmes non résolus :
a) Combien y a-t-il de nombres premiers de la forme (10ⁿ - 1)/9 ?

b) Quel est le plus petit nombre entier qui peut être décomposé en une somme de deux puissances quatrièmes et cela, de deux façons ?

Par exemple, 97 peut être décomposé en une somme de deux puissances quatrièmes et cela d'une seule façon, soit 97 = 2⁴ + 3⁴_.