Base
Nombre de chiffres utilisés dans un système de numération où chaque chiffre
a une valeur de position. Lorsque la base est 2, le système de numération est
dit binaire. Lorsque la base est 3, il est dit
ternaire. Lorsque la base est 10,
il est dit décimal.
L'application de bases diverses permet la résolution de
certains problèmes récréatifs. Par exemple, l'analyse du baguenaudier et du
nim se fait à partir de la numération en base 2. Le tableau suivant donne les
15 plus petits entiers naturels en bases allant de 2 à 12.
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
11 |
10 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
100 |
11 |
10 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
101 |
12 |
11 |
10 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
110 |
20 |
12 |
11 |
10 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
111 |
21 |
13 |
12 |
11 |
10 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
1000 |
22 |
20 |
13 |
12 |
11 |
10 |
8 |
8 |
8 |
8 |
1001 |
100 |
21 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
9 |
9 |
1010 |
101 |
22 |
20 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
A |
A |
1011 |
102 |
23 |
21 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
B |
1100 |
110 |
30 |
22 |
20 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
1101 |
111 |
31 |
23 |
21 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
1110 |
112 |
32 |
24 |
22 |
20 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
1111 |
120 |
33 |
30 |
23 |
21 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
Philippe de La Hire (1640-1718) a donné un procédé qui
permet de produire des carrés
magiques
en passant d’une base n à la base 10. De façon générale, on
choisit deux carrés latins orthogonaux.
On superpose les éléments correspondants de ces deux carrés et on inscrit le
résultat dans le troisième carré. Chaque premier chiffre est une
"dizaine" et le second est l’unité de nombres dans la base n.
On convertit chacun de ces nombre en base 10. On obtient le quatrième carré
qui contient les nombres de 1 à (n2 - 1). Ce
carré est magique. Si on additionne 1 à chaque élément, le carré magique
est normal.
Voici trois exemples :
1. Les deux premières grilles sont des carrés latins
orthogonaux d’ordre 3. On les superpose ; on obtient le troisième carré
qui est formé des nombres de 0 à 22 en base 3. Le quatrième carré contient
les nombres de 0 à 8 ; il est magique. Sa densité
est 12.
2 |
0 |
1 |
+
|
1 |
0 |
2 |
=
|
21 |
00 |
12 |
|
7 |
0 |
5 |
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
02 |
11 |
20 |
2 |
4 |
6 |
1 |
2 |
0 |
0 |
2 |
1 |
10 |
22 |
01 |
3 |
8 |
1 |
En additionnant 1, on obtient le seul carré magique normal d’ordre
3.
2. Les deux premières grilles sont des carrés latins
orthogonaux d’ordre 4. On les superpose ; on obtient le troisième carré
qui est formé des nombres de 0 à 33 en base 4. Le quatrième carré contient
les nombres de 1 à 15 ; il est magique. Sa densité est 30.
1 |
2 |
0 |
3 |
+
|
1 |
2 |
3 |
0 |
=
|
11 |
22 |
03 |
30 |
|
5 |
10 |
3 |
12 |
0 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
2 |
1 |
00 |
33 |
12 |
21 |
0 |
15 |
6 |
9 |
3 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
3 |
32 |
01 |
20 |
13 |
14 |
1 |
8 |
7 |
2 |
1 |
3 |
0 |
3 |
0 |
1 |
2 |
23 |
10 |
31 |
02 |
11 |
4 |
13 |
2 |
En additionnant 1, le carré magique est normal ; c’est
le numéro 504 de l’index de Frénicle.
Il est un des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4.
3. Les deux premières grilles sont des carrés latins
orthogonaux d’ordre 5. Chaque ligne du premier carré est formée des entiers
de 0 à 4 dans l’ordre naturel, le 0 étant décalé de deux cases d’une
ligne à l’autre. Chaque ligne du deuxième carré est formée de 0, 1, 4, 2,
3 dans cet ordre, le 0 étant décalé de trois cases d’une ligne à l’autre.
On superpose les éléments ; on obtient le troisième carré qui est
formé des nombres de 0 à 44 en base 5. Le quatrième carré contient les
nombres de 0 à 24 ; il est magique. Sa densité est 60.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
+
|
0 |
1 |
4 |
2 |
3 |
=
|
00 |
11 |
24 |
32 |
43 |
|
0 |
6 |
14 |
17 |
23 |
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
4 |
2 |
3 |
0 |
1 |
34 |
42 |
03 |
10 |
21 |
19 |
22 |
3 |
5 |
11 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
3 |
0 |
1 |
4 |
2 |
13 |
20 |
31 |
44 |
02 |
8 |
10 |
16 |
24 |
2 |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
0 |
41 |
04 |
12 |
23 |
30 |
21 |
4 |
7 |
13 |
15 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
4 |
22 |
33 |
40 |
01 |
14 |
12 |
18 |
20 |
1 |
9 |
Pour avoir un carré magique normal, on additionne 1 à chaque élément du
dernier carré. Il est l’un des 275 305 224 carrés magiques normaux d’ordre
5.
© Charles-É. Jean
Index
: B
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