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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Polyèdre

Solide limité de toute part par un ensemble fini de polygones plans, appelés faces. Les points de rencontre des faces sont appelés sommets et, les segments qui relient les sommets arêtes. Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté de 2 est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets. Cette relation est appelée loi de Descartes-Euler. 

Il existe cinq polyèdres réguliers convexes appelés solides platoniciens, 13 polyèdres semi-réguliers convexes appelés solides d'Archimède et quatre polyèdres étoilés réguliers. Les deltaèdres sont des polyèdres non réguliers construits à partir de faces triangulaires équilatérales. Le polyèdre peut servir de support à un treillis magique. Un polyèdre peut être flexible. On peut en faire le nattage

Des nombres figurés ont été créés à partir de polyèdres. On connaît quatre classes principales : les gnomoniques polyédriques, les polyédriques, les hyperpolyédriques ou polyédriques D4 et les polyédriques D5. Pour chacune de ces classes en rapport avec un polyèdre, un tableau présente les 10 plus petits nombres.

Nombres gnomoniques polyédriques ou polyédriques D2

Classe/Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tétraédrique

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

Octaédrique

1

5

13

25

41

61

85

113

145

181

Cubique

1

7

19

37

61

91

127

169

217

271

Icosaédrique

1

11

36

76

131

201

286

386

501

631

Dodécaédrique

1

19

64

136

235

361

514

694

901

1135

Nombres polyédriques ou polyédriques D3

Classe/Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tétraédrique 

1

4

10

20

35

56

84

120

165

220

Octaédrique

1

6

19

44

85

146

231

344

489

670

Cubique  

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

Icosaédrique

1

12

48

124

255

456

742

1128

1629

2260

Dodécaédrique

1

20

84

220

455

816

1330

2024

2925

4060

Nombres hyperpolyédriques ou polyédriques D4

Classe/Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hypertétraédrique

1

5

15

35

70

126

210

330

495

715

Hyperoctaédrique

1

7

26

70

155

301

532

876

1365

2035

Hypercubique

1

9

36

100

225

441

784

1296

2025

3025

Hypericosaédrique

1

13

61

185

440

896

1638

2766

4395

6655

Hyperdodécaédrique

1

21

105

325

780

1596

2926

4950

7875

11 935

Nombres polyédriques D5

Classe/Rang

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tétraédrique D5  

1

6

21

56

126

252

462

792

1287

2002

Octaédrique D5  

1

8

34

104

259

560

1092

1968

3333

5368

Cubique D5

1

10

46

146

371

812

1596

2892

4917

7942

Icosaédrique D5

1

14

75

260

700

1596

3234

6000

10 395

17 050

Dodécaédrique D5

1

22

127

452

1232

2828

5754

10 704

18 579

30 514

© Charles-É. Jean

Index : P

Voir aussi Polyèdre dans l'Aide-mémoire.