Le présent document vise à présenter les trois classes principales de récréations mathématiques et à les illustrer. Il a été élaboré pour ceux ou celles qui veulent faire un survol rapide et avoir une idée plus précise du champ occupé par les mathématiques récréatives. Cette classification s’attarde aux domaines de base des mathématiques. Toutefois, il ne s’agit pas de produire une liste exhaustive des objets récréatifs.

Depuis que l’homme a inventé les nombres, ces derniers ont pris une place importante dans la vie de tous les jours. Les conversations et les travaux à un moment ou l’autre intègrent les nombres et leur concept. Certains nombres ont la réputation d’être sans écart de conduite et inspirent plutôt la cohésion et la bonne entente tandis que d’autres semblent se moquer du bon sens. Aussi, avec les nombres s’est rapidement développé un ensemble de problèmes qui constituent une bonne partie de l’héritage récréatif.

Les récréations arithmétiques sont basées sur les propriétés des nombres et mettent en évidence les relations qui existent entre eux. Comme l’arithmétique est connue de tous et qu’elle offre une grande variété d’activités, une place importante lui est accordée dans le domaine récréatif. Pour mieux cerner la production, les récréations arithmétiques ont été subdivisées en trois classes : combinatoires, cryptarithmiques et numériques. Pour chacune des classes, on indique certains sujets qui y sont traités et on donne des exemples de problèmes.

Les récréations combinatoires touchent aux situations qui visent à disposer des chiffres ou des objets d’une façon définie en se basant sur des procédés de dénombrement.

Les récréations qu’on appelle magiques nécessitent des diagrammes de formes géométriques diverses qui contiennent des cases ou cellules dans lesquelles on peut écrire des nombres. Ces derniers doivent être disposés de façon qu’on retrouve généralement une constante dans chacune des rangées. La constante provient de certaines opérations, le plus souvent l’addition. Les récréations magiques les plus connues sont celles qui ont trait aux carrés magiques.

Problème 1. Dans les cases, écrivez les nombres pairs de 10 à 26 de façon à obtenir un carré magique c’est-à-dire que la somme des nombres doit être la même dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale.

Les solutions sont données.

Des carrés magiques peuvent être formés avec des nombres non nécessairement consécutifs ou entiers. C’est ainsi qu’il existe des carrés magiques constitués de fractions, de nombres premiers, de palindromes. À part les carrés, il existe des rectangles magiques. Ceux-ci négligent les diagonales et exigent une somme proportionnelle des lignes et des colonnes.

Problème 2. Dans le rectangle, placez les entiers de 1 à 12 de façon que la somme soit 40 sur chaque ligne et de 24 dans chaque colonne. Les nombres 13, 14 et 15 sont en bonne position.

À part les carrés et les rectangles magiques, il existe un grand nombre de formes de treillis qui peuvent devenir magiques, comme les cubes, les cercles, les polygones et les étoiles. Les rangées coïncident parfois avec le contour de figures géométriques et s’entrecroisent, si bien que certaines cellules appartiennent à plus d’une rangée.

Problème 3. Écrivez les nombres de 1 à 6 dans les cellules du triangle. La somme sur chaque côté doit être 11.

On peut créer de nombreuses situations en faisant intervenir des objets qu’on combine en appliquant parfois des opérations mathématiques.

Problème 4. Luc prend neuf jetons numérotés de 1 à 9. Combien y a-t-il de groupes possibles de trois jetons dont la somme est 15 ?

D’autres récréations sont connues comme la disposition de personnes autour d’une table, les chaînes de dominos, les mains de cartes, les tournois. Les probabilités, avec le triangle de Pascal, sont également un centre d’intérêt remarquable pour les récréations combinatoires.

Les récréations comportant des lettres qu’on peut traduire en chiffres étaient connues en Chine et en Inde au Moyen Âge. On les appelle récréations cryptarithmiques.

Un cryptarithme est une récréation dans laquelle les lettres (ou les symboles) sont réunies en une ou plusieurs opérations arithmétiques. À chaque lettre correspond un chiffre différent. Par exemple, A = 7, B = 0, etc.

Problème 5. Déchiffrez ce cryptarithme.

A P M Z    +   P M T Z      A S T A M

L’alphamétique est un cryptarithme dont les lettres forment des mots ou des phrases qui ont un sens.

Problème 6. Dans cette addition, quelle est la plus grande valeur de ONZE ?

Une autre forme de cryptarithme qu’on appelle l’astérithme existe depuis fort longtemps. Dans ce problème, des astérisques indiquent l’existence de chiffres sans égard à leur valeur respective. Seuls quelques chiffres sont donnés. Il s’agit de retrouver ceux qui manquent.

Problème 7. Déchiffrez cet astérithme qui est une multiplication au long.

4 * *          ´  * *        4 * * *     * * 4 *     4 * * * 4

Les récréations dites numériques sont reliées principalement à la théorie des nombres sous sa facture ancienne. On y manipule les nombres en les faisant rebondir dans des sens divers. Les dix chiffres interviennent assez souvent. Parfois, on exclut le 0. On y utilise les propriétés élémentaires des nombres de même que des opérations de base comme l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’extraction d’une racine et l’élévation à une puissance. Les récréations numériques forment un immense domaine qui n’est pas encore totalement exploré. C’est en faisant le tour de ce domaine qu’on découvre la richesse des nombres et la puissance des calculs.

Les récréations, liées au temps, se concentrent en bonne partie autour du jour de la semaine.

Problème 8. Le 6 mai 1950, le feu transforme une partie de la ville de Rimouski en un immense brasier. Quel jour de la semaine était-ce ?

Pour résoudre ce problème, on a créé le calendrier perpétuel et mis au point plusieurs formules. D’autres problèmes sont relatifs à la date de Pâques et à la disposition des nombres sur une feuille de calendrier.

Le principe sur lequel s’appuient les problèmes d’âges est que deux personnes vieillissent en même temps.

Problème 9. Horace a trois ans de plus que Fabien. Dans six ans, Horace et Fabien auront ensemble 47 ans. Quel est l’âge de chacun ?

Dans la vie courante, l’argent provoque de nombreuses situations qu’il est bon de rendre amusantes.

Problème 10. Jennifer a amassé 129 centimes répartis en 11 pièces de monnaie. Comment peut-on former ce montant avec des pièces de 1, 5, 10 et 25 centimes ?

En utilisant des chiffres donnés et des opérations, on peut représenter des nombres. Le problème des 4 est bien connu.

Problème 11. À l’aide d’opérations simples, écrivez 80 avec six 8.

Après les nombres entiers, les fractions jouent un rôle important. Des cases peuvent être disposées de telle façon qu’on peut lire une ou des fractions.

Problème 12. Florence découpe sept jetons et les numérote de 3 à 9, sauf 7. Elle prend quatre jetons dont la somme des numéros est 23 et les dépose sur le tableau.

Disposez quatre jetons pour que l’égalité soit vraie.

À l’instar des mots croisés, l’arithmétique amusante génère des nombres croisés. Les indices sont parfois transparents, parfois complexes. On peut faire un clin d’œil à l’algèbre comme dans cet exemple.

Problème 13. Remplissez cette grille avec des chiffres à partir des définitions. On ne connaît pas, cependant, les valeurs de a et de b.

                         A : a²          B : 75a        C : 51a - 1         

                         D : b²          E : 4a²         F : 68b

Cet outil peut être utilisé lorsque les calculs sont fastidieux ou comme prétexte à une récréation.

Problème 14. Ambroise possède une calculatrice qui affiche huit chiffres. Quel est le plus grand carré que la calculatrice peut montrer ?

Le calcul rapide, les devinettes, les nombres pensés, les tours de carte sont des domaines qui provoquent beaucoup de surprise et de mystification. Les tours sont basés sur des opérations mathématiques parfois simples. Les magiciens savent, tout en faisant des diversions, exploiter la puissance des liens entre les nombres et les opérations.

Problème 15. Prenez un nombre. Multipliez-le par 3. Additionnez 5. Soustrayez le nombre choisi. Additionnez 13. Divisez par 2. Soustrayez le nombre choisi. Quel est le résultat ?

Dès le moment où l’homme a eu besoin de construire des édifices, de partager des champs, il a dû inventer la géométrie pratique. Puis, peu à peu, une géométrie théorique a vu le jour. On envisageait alors les corps matériels au point de vue de leur forme, de leur étendue et de leur position relative. Dans ce contexte, des problèmes amusants apparurent. Ils permirent de percevoir une géométrie plus fantaisiste basée sur l’union de la forme et du calcul. Les récréations géométriques sont donc reliées principalement aux mesures et aux formes des figures géométriques.

Il s’agit de constituer le plus souvent des carrés avec des pièces définies ou à trouver.

Problème 16. Assemblez les pièces suivantes : un carré 6 ´ 6, deux carrés 4 ´ 4, trois carrés 3 ´ 3 et un certain nombre de carrés 1 ´ 1. Vous devez ainsi former un carré 10 ´ 10. De combien de carrés 1 ´ 1 a-t-on besoin ?

Assembler des carreaux pour former un pavage ou un revêtement était un problème connu des Pythagoriciens. Bien des formes géométriques peuvent être utilisées pour recouvrir de façon indéfinie un plan sans vide et sans empiétement. Voici un exemple de pavage :

Dans certains foyers, les casse-tête sont un divertissement très populaire. En mathématiques, les pièces peuvent être des figures géométriques remarquables.

Problème 17. Découpez 24 triangles équilatéraux de même grandeur. Coloriez 12 de ces triangles en rouge et les 12 autres en bleu. Assemblez les triangles de façon à former un hexagone régulier dont les carreaux sont alternativement de couleur rouge et bleue.

On peut construire des figures avec une règle et un crayon. On peut le faire aussi avec des objets comme les cure-dents ou les allumettes.

Problème 18. Construisez trois carrés au moyen de 10 cure-dents.

Ces récréations permettent de regrouper des objets qui sont mis en ordre, en classes ou à la suite.

Problème 19. Joignez tous les A de cette figure par cinq lignes droites sans lever le crayon. Toute ligne droite doit toucher à au moins trois A.

Les mesures
Ces récréations considèrent l’étendue sous ses aspects de longueur, de surface et de volume. De plus, elles touchent principalement aux propriétés et aux mesures de cette étendue.

Problème 20. Valère partage une pizza de façon que l’angle au centre soit de 60 degrés. Combien devra-t-il faire de traits de couteau ?

Dans une grille carrée 3 × 3, on peut compter 14 carrés de différentes grandeurs : neuf carrés 1 ´ 1, quatre carrés 2 ´ 2 et 1 carré 3 ´ 3. Des triangles, des losanges, des rectangles, des carrés peuvent être cachés dans certaines figures.

Problème 21. Combien y a-t-il de carrés de toute grandeur dans une grille rectangulaire 3 ´ 5 ?

Attribuer à chacun exactement la même part n’est pas toujours facile. Comment diviser une tarte en sept parties tout à fait égales ? Comment décomposer un carré en vingt triangles égaux ? En respectant les règles élémentaires de la géométrie, des partages astucieux peuvent se dégager.

Problème 22. Un père avait de son vivant donné le quart de son terrain carré à l’aîné de la famille. À sa mort, il légua par testament le reste du terrain à ses quatre autres enfants. Mais, il fallait que chacun des quatre ait un terrain de même forme et de même grandeur.

Partagez le terrain.

Il existe plusieurs types d’illusions d’optique qui proviennent de causes physiologiques ou psychologiques. Selon l’acuité de nos yeux, il se peut que chaque jour des illusions visuelles nous arrivent sans que nous les détections. L’illusion suivante est bien connue :

Les deux segments MN et PQ sont d’égale longueur et pourtant …

 
La superficie

L’aire des carrés et des rectangles peut être déterminée en partageant la figure en carrés unitaires.

Problème 23. Alban a tracé le rectangle suivant qui contient uniquement des carrés. Chaque carré unitaire mesure un centimètre carré.

Trouvez l’aire de ce rectangle.

En considérant des points comme les sommets de figures géométriques connues ou inconnues, on peut dessiner de nombreuses figures.

Problème 24. Boris a dessiné 12 points en un rectangle 3 ´ 4.

 

Combien peut-on tracer de rectangles de toute grandeur si les points en sont les sommets ?

Les allumettes peuvent servir à écrire des chiffres romains, à dessiner des figures, à représenter des nombres ou des lettres. Elles peuvent aussi servir à former des figures.

Problème 25. Cette figure nécessite trois allumettes sur le côté gauche ou droite.

 

Combien d’allumettes seront nécessaires pour former cette figure ?

Reproduire les lignes d’un dessin d’un point à un autre sans lever le crayon et sans passer plus d’une fois sur une même ligne représente parfois un cauchemar, puisque certains réseaux ne peuvent pas être parcourus. La clé du problème se trouve dans le nombre de chemins qui passent par les points d’intersection. Si le point de départ n’est pas donné, il faudra s’assurer que le point choisi conduit à une solution.

Problème 26. Parmi les dessins suivants, lequel ou lesquels peuvent être reproduits d’un seul trait ?

Les anciens Égyptiens, au moment où les mathématiques n’étaient pas encore tellement développées, ne pouvaient pas déterminer la mesure de l’hypoténuse d’un triangle rectangle en fonction des deux autres côtés. C’est en prenant une corde et en y faisant 13 nœuds à égale intervalle qu’ils découvrirent la relation 3, 4, 5 entre les côtés. Dans les récréations, on s’intéresse principalement aux mesures en nombres entiers.

La topologie utilise les points, les lignes et les figures. Cependant, la topologie n’est pas intéressée aux mesures elles-mêmes ; elle étudie plutôt les propriétés des figures lorsque la forme varie. D’ailleurs, la théorie des graphes est un support précieux dans la résolution de certaines récréations.

Aussitôt que l’enfant peut manipuler les objets avec une certaine aisance, il prend vite plaisir à plier des feuilles de papier et à y découvrir des formes familières. Certains pliages nécessitent des calculs ; d’autres paraissent curieux ou même capricieux.

Pour Euler, passer à travers un labyrinthe, c’est partir du point prévu d’arrivée et de chercher ainsi le chemin dans le sens inverse. Lorsqu’un créateur de labyrinthes prévoit cette stratégie, il dissimule autant ou plus d’impasses dans le parcours inverse et la stratégie échoue. Par ailleurs, certains amateurs conviennent de prendre toujours le premier chemin à droite ou à gauche jusqu’à ce qu’ils rencontrent une impasse ou un chemin déjà parcouru. Dans ce cas, ils prennent alors le second chemin toujours du même côté. Il existe, dans le plan, plusieurs formes de labyrinthes.

Il y a, dans la solution de chaque récréation, une part de raisonnement. Cependant, il existe des récréations qui sont essentiellement à base d’inférence, c’est-à-dire que l’intelligence passe d’une vérité à une autre en raison du lien avec la première qui a été jugée vraie. Ces récréations de nature logique exigent peu de calculs et peu de transformations géométriques.

La logique ancienne était une branche de la philosophie qui s’articulait autour du discours ; la logique moderne, qui se veut algorithmique, se présente comme un système scientifique du raisonnement. C’est dans ce contexte nouveau que les récréations  logiques se développent. Des outils précieux ont été inventés par des logiciens qui désiraient symboliser des raisonnements.

C’est souvent d’une façon trompeuse ou piégée que les récréations de cette catégorie sont présentées. On y trouve des questions d’astuce, des faux raisonnements, des opérations illégales, des raisonnements faibles ou sans consistance, des arguments faux déguisés en vérité, des arrangements d’idées en un ordre vraisemblable mais non logique, des pièges qui sont parfois attirants, des faussetés qu’il faut détecter. Souvent, le lecteur accrochera sur un détail ou se laissera distraire par une incongruité mineure qui en cache une plus grande. La subtilité de la question et l’art du ricochet amènent dans des voies extérieures celui qui veut dénouer l’énigme. Le problème, même s’il est posé avec des mots simples ou imagés, peut contenir des données superflues.

Problème 27. Deux mères et deux filles se rendent au cinéma. Le droit d’entrée d’une personne est de 5 pistoles. Le commis réclame 15 pistoles. Pourtant, le commis ne leur a donné aucune réduction et il ne s’est pas trompé. Comment cela se fait-il ?

On croit une proposition vraie et elle est fausse. On la croit fausse ; elle est vraie ou simplement elle est contradictoire. Que peut-on penser de quelqu’un qui dit : " Je suis menteur. " ; de l’autre qui écrit sur le mur d’un corridor : " Il est interdit d’écrire sur ce mur. " ; de l’autre enfin qui clame avec certitude : " Toutes les règles ont des exceptions. " ?

La cryptographie est une méthode d’écriture secrète au moyen de lettres, de signes ou de chiffres. C’est l’art de composer des messages secrets qui sont intelligibles seulement pour ceux qui connaissent la clé ou qui la découvrent.

Problème 28. Déchiffrez ce message dans lequel les lettres sont toutes décalées d’un même rang.

KF EFDPVWSF MF DPEF

Dans ces récréations, à la manière d’un casse-tête, les pièces sont des propositions en désordre. Chaque proposition doit être juxtaposée à une ou l’autre pour aboutir à un tout cohérent. Édouard Lucas considère ces récréations comme faisant partie de la géométrie de l’ordre. Le problème du zèbre est bien connu. 

Au moyen d’indices qui mettent en relation deux éléments ou plus, il s’agit de reconstituer le tableau complet de façon à identifier le propriétaire du zèbre. C’est généralement sous une forme semblable que se présentent les récréations d’affectation. Des informations sont données qui permettent de déduire que certains éléments sont liés ou tout à fait sans relation. En combinant ensemble toutes les déductions, on en arrive à replacer tous les éléments dans un contexte cohérent et vérifiable.

Problème 29. Gabrielle, Sara et Rosalie demeurent dans trois quartiers différents : Hochelaga, Mont-Royal et Ville-Marie.

1. La fille du quartier Mont-Royal a téléphoné à Sara.

2. Rosalie et la fille du quartier Ville-Marie ont déjeuné ensemble.

3. Sara aime bien visiter les restaurants du quartier Ville-Marie qui est voisin du sien.

Déterminez le quartier où habite chaque fille.

Une proposition est vraie ou fausse. Voilà une proposition qui doit être vraie. Car, si elle était fausse, une affirmation ne serait pas toujours vraie ou fausse. Et si elle était ni fausse ni vraie, que serait-elle ? Il y a des gens qui disent la vérité, d’autres qui mentent. C’est à partir de cette réalité que des récréations ont été produites. On rencontre alors trois types de personnes :

celle qui dit toujours la vérité,

celle qui ment toujours,

celle qui parfois dit la vérité, parfois ment.

On ne connaît pas toujours la disposition d’esprit des personnes si bien que leurs paroles peuvent demeurer ambiguës tant qu’on n’a pas trouvé les liens logiques qui les unissent.

Problème 30. Dans une salle, il y a 16 personnes. L’une d’elles a gagné un voyage dans le Sud. À tour de rôle, chacune affirme qu’elle connaît le gagnant. Une seule personne dit la vérité, tandis que les autres mentent.

Qui a gagné un voyage dans le Sud ?

Les solitaires peuvent être associés aux récréations logiques. Le matériel est souvent constitué de jetons qui peuvent être déplacés selon des règles définies.

Problème 31. Sur la grille de gauche, Élise dépose six jetons : deux blancs, deux noirs et deux rouges. Un jeton se déplace horizontalement, verticalement ou obliquement en sautant par-dessus un autre.

Déplacez les jetons de façon à obtenir la grille de droite.

La récréation ci-après est inspirée du taquin, ce solitaire qui fut très populaire à la fin du 19^e siècle. On y associe une pièce du jeu d’échecs.

Problème 32. Gabrielle prend 15 jetons et les numérote de 1 à 15. Elle les place dans une grille 4 ´ 4 comme ci-après. Elle déplace un à un les jetons sur une case libre en respectant la marche du cavalier aux échecs.

Déplacez les jetons pour que, à la fin, les nombres apparaissent dans leur ordre naturel.

Ces récréations présentent des nombres, des symboles ou des lettres qui se succèdent d’après une loi de formation inconnue. On les retrouve notamment dans les tests destinés à mesurer le quotient intellectuel. La loi de formation ne peut s’appuyer que sur un nombre suffisant de données. Il peut arriver qu’on trouve une loi de formation imprévue.

Problème 33. Inscrivez dans les cercles vides le nombre manquant.

La loi de formation ne fait pas toujours appel à des calculs. Celle-ci met par parfois à l’épreuve la capacité visuelle.

Problème 34. Dans ce tableau, les chiffres 0 et 1 ont été placés selon des règles particulières. Complétez la dernière ligne du tableau.

Comme dans les récréations cryptarithmiques, chaque lettre est représentée par un chiffre différent. Pour chaque mot, on donne les chiffres dans le désordre. Par exemple, les mots qui ont les mêmes lettres ont nécessairement les mêmes chiffres.

Problème 35. Marc-Antoine choisit six lettres. Il écrit trois mots et indique les chiffres pour chaque mot.

LIN : 273        BEL : 517        NEZ : 425

Quel est le nombre qui correspond à BIEN ?

Cette forme de récréations peut être résolue en se basant sur la grande fréquence de certaines lettres comme le E, le S, le R et le T. On peut aussi analyser la fin des mots où on trouve assez souvent une voyelle, principalement le E.

Problème 36. On peut lire ci-dessous une phrase. À chaque nombre de 1 à 26 correspond une lettre de l’alphabet. Quatre indices sont donnés.

Déchiffrez cette phrase.

Dans une grille, on peut disposer des groupes d’objets différents de façon à ne jamais retrouver le même objet plus d’une fois dans une même rangée. On a là le domaine des carrés latins et gréco-latins.

Problème 37. Dans une grille carrée 5 ´ 5, placez les lettres A, B, C, D, E, de façon à ne jamais retrouver la même lettre sur toute ligne, colonne ou diagonale.

 

Par ces illustrations, on voit que les mathématiques récréatives touchent à des sujets variés. Si on regarde autour de soi, on peut découvrir des situations qui peuvent être traduites de façon à attirer et à divertir l’esprit humain. La variété et la richesse des récréations mathématiques sont des atouts qui peuvent leur permettre d’entrer à l’école. Elles peuvent servir alors à développer le raisonnement mathématique et à augmenter la performance en résolution de problèmes. Û