Lexique de résolution de problèmes Fausse position double

Double
u Appliquer la règle de fausse position double. – Stratégie ancienne qui consiste à supposer successivement deux nombres et à opérer sur chacun comme s’il conduisait au résultat. Chacune de ces suppositions entraîne une erreur à moins qu’on ait atteint le nombre cherché. Dans certains cas, le nombre supposé doit être rejeté car il conduit à une impasse, comme d’arriver à une fraction alors qu’on doit aboutir à un nombre entier.

Cette stratégie est applicable lorsqu’il existe une proportion entre les nombres supposés d’une part et entre leurs résultats respectifs d’autre part. Elle peut toutefois être appliquée comme méthode d’approximation principalement quand les deux nombres supposés donnent une valeur proche du résultat cherché.

Cette stratégie était connue plusieurs siècles avant l’avènement de l’algèbre, notamment chez les anciens Égyptiens. Elle en est une d’application. Voici comment on procède :

1^er On suppose un premier nombre A et on fait les opérations exigées par le problème. On atteint un résultat R_A. On calcule l’erreur E_A entre le résultat et le nombre qui lui correspond dans le problème.

2^e On suppose un second nombre B et on fait les opérations exigées par le problème. On atteint un résultat R_B. On calcule l’erreur E_B entre le résultat et le nombre qui lui correspond dans le problème.

3^e On multiplie A et E_B. On multiplie B et E_A.
a) Si les erreurs E_Aet E_B sont toutes deux inférieures ou toutes deux supérieures au nombre du problème, on soustrait les deux produits l’un de l’autre et on divise le résultat par la différence des deux erreurs.

b) Si les erreurs E_Aet E_B sont l’une inférieure et l’autre supérieure au nombre du problème, on additionne les deux produits et on divise le résultat par la somme des deux erreurs.

Problème 1. Une mère distribue 50 noix à trois de ses enfants. Le deuxième reçoit cinq noix de plus que le premier. Le troisième reçoit deux noix de moins que le deuxième. Combien le premier a-t-il reçu de noix ?

Démarche. 1^e On suppose que le premier reçoit 8 noix. Le deuxième en recevra 13 et le troisième 11. Le total est 32. On fait 50 - 32 = 18. L’erreur est de 18.

2^e On suppose que le premier reçoit 15 noix. Le deuxième en recevra 20 et le troisième 18. Le total est 53. On fait : 53 - 50 = 3. L’erreur est de 3.

3^e On fait : 8 ´ 3 + 15 ´ 18 = 294. La somme des erreurs est 21. On divise 294 par 21. Le résultat est 14.

Le premier a reçu 14 noix.

Problème 2. Quel est le nombre dont la somme du tiers et du quart est égale à 77 ?

Démarche. 1^e On suppose 72. Le tiers de 72 est 24 ; le quart est 18. La somme est 42. On fait 77 - 42 = 35. L’erreur est de 35.

2^e On suppose 108. Le tiers de 108 est 36 ; le quart est 27. La somme est 63. On fait 77 - 63 = 14. L’erreur est de 14.

3^e On fait : 108 ´ 35 - 72 ´ 14 = 2772. La différence des erreurs est 21. On fait : 2772 ¸ 21 = 132.

Le nombre cherché est 132.

Index : D

Les stratégies d’application mentionnées dans ce lexique sont :

1. Appliquer la règle de fausse position double

2. Appliquer la règle de fausse position simple

3. Appliquer la règle de trois

4. Appliquer les propriétés de la moyenne

5. Appliquer les propriétés des carrés magiques

6. Appliquer les propriétés des figures géométriques

7. Appliquer les propriétés des nombres

8. Appliquer les propriétés des transformations géométriques

9. Appliquer un algorithme

10. Appliquer une règle

11. Associer le calcul mental

12. Écrire une équation

13. Écrire une phrase mathématique

14. Estimer le résultat

15. Faire la preuve

16. Réduire à l'unité

17. Réduire le nombre d'inconnues

18. Utiliser une formule

19. Utiliser une proposition

20. Vérifier les calculs