Magiques

u Appliquer les propriétés des carrés magiques. – Stratégie de résolution de problèmes qui consiste à utiliser une ou des propriétés relatives aux carrés magiques en les appliquant aux données du problème. Cette stratégie en est une d’application.

Problème 1. La somme de trois nombres de trois chiffres est 1665. De plus, ces nombres utilisent tous les chiffres de 1 à 9 et la somme des chiffres de chaque nombre est 15. Trouvez ces trois nombres.

Démarche. On forme le carré magique normal d’ordre 3.

La somme des nombres sur chaque rangée est 15. Le carré magique comprend tous les entiers de 1 à 9. En lisant par lignes, on obtient :
357 + 492 + 816       375 + 429 + 861       186 + 537 + 942
168 + 573 + 924       294 + 618 + 753       249 + 681 + 735

En lisant par colonnes, on obtient :
159 + 672 + 834       195 + 627 + 843        276 + 438 + 951
267 + 483 + 915       384 + 519 + 762        348 + 591 + 726

Problème 2. Soit a + b + c = d + e + f et a²+ b² + c² = d² + e² + f² où a, b, c, d, e,  f sont des entiers naturels différents. Trouvez une solution lorsque a + b + c = 24.

Démarche. En trouvant un carré magique dont la densité est 24, on résout le problème. La densité, c’est la somme des éléments sur chacune des huit rangées du carré. Si la densité est 24, le nombre du centre est 8. Il faut trouver des couples de nombres dont la somme est 16, comme exemples : (1, 15), (2, 14) et (7, 9). Cela peut donner :

Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première rangée horizontale (verticale) est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième rangée horizontale (verticale). Une solution est : a = 14, b = 1, c = 9, d = 7, e = 15 et  f = 2.

© Charles-É. Jean