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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Carré

1e Produit de deux facteurs égaux. Lorsque les deux facteurs sont des entiers naturels, le carré est dit parfait ou encore est appelé nombre carré. Après avoir énoncé que la somme des deux carrés 4 et 9 était 13, Diophante (v. 325 - v. 410) demanda de trouver deux autres carrés dont la somme est également 13. Les nombres cherchés sont 1/25 et 324/25. 

n Le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier, plus deux fois le produit du premier par le second, plus le carré du second nombre. Par exemple, le carré de (8 + 5) est égal à : 64 + 80 + 25 = 169.    

n Si un nombre a deux chiffres, son carré est égal au carré des dizaines, plus deux fois le produit des dizaines par les unités, plus le carré des unités. Par exemple, le carré de 85 est égal à : 802 + 2 × 80 × 5 + 52 = 7225. Si un nombre a plus de deux chiffres, on peut le décomposer en deux parties, l’une étant assimilée aux dizaines et l’autre aux unités. On applique alors l’algorithme donné. Par exemple, le carré de 726 (700 + 26) est égal à : 490 000 + 36 400 + 676 = 527 076.

n La différence des carrés de deux entiers consécutifs est égale
1er à la somme des deux bases. Par exemple, la différence du carré de 24 et du carré de 23 est égale à : 24 + 23 = 47.

2e au double du petit nombre auquel on additionne 1. Par exemple, la différence du carré de 24 et du carré de 23 est égale à : 23 × 2 + 1 = 47.

3e au double du grand nombre auquel on soustrait 1. Par exemple, la différence du carré de 24 et du carré de 23 est égale à : 24 × 2 - 1 = 47.

n Quand on connaît le carré d’un entier n, on peut obtenir le carré de (n - 1) en soustrayant (2n - 1) de n2. Par exemple, on sait que 242 = 576, le carré de 23 est égal à : 576 - 47 = 529.

n Quand on connaît le carré d’un entier n, on peut obtenir le carré de (n + 1) en additionnant n2 et (2n + 1). Par exemple, on sait que 242 = 576, le carré de 25 est égal à : 576 + 49 = 625.

n Quand on connaît le carré d’un entier n, on peut obtenir le carré de (n - 2) en soustrayant (4n - 4) de n2. Par exemple, on sait que 242 = 576, le carré de 22 est égal à : 576 - 92 = 484.

n Quand on connaît le carré d’un entier n, on peut obtenir le carré de (n + 2) en additionnant n2 et (4n + 4). Par exemple, on sait que 242 = 576, le carré de 26 est égal à : 576 +100 = 676.

n À partir de la première identité ci-dessous, on peut établir d’autres identités en combinant les bases des carrés.

22 + 32 + 82 = 42 + 52 + 62 = 77

242 + 352 + 862 = 422 + 532 + 682 = 9197

242 + 362 + 852 = 422 + 632 + 582 = 9097

252 + 342 + 862 = 522 + 432 + 682 = 9177

252 + 362 + 842 = 522 + 632 + 482 = 8977

262 + 342 + 852 = 622 + 432 + 582 = 9057

262 + 352 + 842 = 622 + 532 + 482 = 8957

 


n
La différence de deux carrés de rangs (n + 2) et n est égale à 4(n + 1). Par exemple, si n = 4, on a : 62 - 42 = 20 = 4 × 5.

n La différence de deux carrés de rangs (2n + 5) et (2n + 1) est égale à 8(2n + 3). Par exemple, si n = 4, on a : 132 - 92 = 88 = 8 × 11.

n Soit A la somme de deux carrés de rangs (2n + 3) et (2n + 7), soit B la somme de deux carrés de rangs (2n + 1) et (2n + 5), alors A - B = 16(n + 2). Par exemple, si n = 4, on a : A = 112 + 152 = 346, B = 92 + 132 = 250, alors A - B = 96 = 16 × 6.

n Soit A la somme de deux carrés de rangs (2n + 2) et (2n + 6), soit B la somme de deux carrés de rangs 2n et (2n + 4), alors A - B = 8(2n + 3). Par exemple, si n = 4, on a : A = 102 + 142 = 296, B = 82 + 122 = 208, alors A - B = 88 = 8 × 11.

n Dans Amusements mathématiques, en 1749, André-Joseph Penckoucke a présenté un procédé pour trouver trois carrés dont la somme est aussi un carré. Voici la façon de procéder :

1e On choisit un carré impair, par exemple 9 : c’est le premier nombre.

2e On soustrait 1 au premier nombre (8) ; on divise par 2 (4) ; on élève le résultat au carré (16) : c’est le deuxième nombre.

3e On additionne les deux premiers nombres. On fait : 9 + 16 = 25. On soustrait 1 au nombre précédent (24) ; on divise par 2 (12) ; on élève le résultat au carré ( 144): c’est le troisième nombre.

4e On additionne les trois nombres. On fait : 9 + 16 + 144 = 169. La somme des trois carrés est le carré de 13.

n Le même auteur a expliqué comment on peut trouver deux nombres dont la somme et la différence sont chacune un carré.

1e On choisit deux nombres au hasard, par exemple 5 et 11.

2e On calcule le double de leur produit, soit 2(5 ´ 11) = 110. C’est le premier nombre.

3e On calcule la somme de leurs carrés, soit 52 + 112 = 146. C’est le deuxième nombre.

La somme des deux nombres, soit 256, est le carré de 16. Leur différence est 36 qui est le carré de 6.

n Un nombre étant donné, on peut faire la somme des carrés de ses chiffres et répéter la même opération sur le résultat obtenu. Par exemple, si le premier terme est 45, le deuxième sera 42 + 52 = 41, le troisième 42 + 12 = 17 et ainsi de suite. Le tableau suivant donne la séquence de nombres lorsque le nombre initial varie de 1 à 24.

1

 1

2

 4 ð C

3

 9, 81, 65, 61, 37 ð C

4

ð C

5

 25, 29, 85, 89 ð C

6

 36, 45, 41, 17, 50, 25,  29, 85, 89 ð C

7

 49, 97, 130, 10, 1, 1

8

 64, 52, 29, 85, 89 ð C

9

 81, 65, 61, 37 ð C

10

ð 1, 1

11

 2, 4 ð C

12

 5, 25, 29, 85, 89 ð C

13

 10, 1, 1

14

 17, 50, 25, 29, 85, 89 ð  C

15

 26, 40, 16 ð C

16

ð C

17

 50, 25, 29, 85, 89 ð C

18

 65, 61, 37 ð C

19

 82, 68, 100, 1,1

20

ð C

21

 5, 25, 29, 85, 89 ð C

22

 8, 64, 52, 29, 85, 89 ð C

23

 13, 10, 1, 1

24

 20 ð C

Tous les nombres de ce tableau appartiennent à deux cycles différents : (1, 1) et le cycle C qui est illustré ci-dessous.

Les nombres inférieurs à 100 qui conduisent directement à ce cycle sont : 2, 24, 40, 61, 73, 85, 98. Dans certains carrés magiques d’ordre 4, les sommes des carrés des éléments de la première et de la quatrième ligne (ou colonne) sont identiques ; de même les sommes des carrés des éléments de la deuxième et de la troisième ligne (ou colonne) sont identiques. Voici un exemple dans lequel la somme des carrés est donnée à droite et en bas :

16

2

3

13

438

5

11

10

8

310

9

7

6

12

310

4

14

15

1

438

378

370

370

378

 

De plus, la somme des carrés des huit éléments des diagonales est égale à la somme des carrés des huit éléments apparaissant en périphérie en excluant les coins. On a : 162 + 112 + 62 + 12 + 132 + 102 + 72 + 42 = 748 et 22 + 32 + 82 + 122 + 152 + 142 + 92 + 52 = 748. Ce carré magique est le numéro 175 de l’index de Frénicle

Dans certains carrés magiques, les diagonales brisées ont la même propriété. Voici un exemple :

49

6

2

43

8

37

41

14

36

9

13

42

7

48

44

1

On a : 2 + 14 + 36 + 48 = 6 + 8 + 42 + 44 = 100 et 22 + 142 + 362 + 482 = 62 + 82 + 422 + 442 = 3800. Quand on élève au cube chacun des mêmes éléments, on a aussi une égalité, soit : 23 + 143 + 363+ 483 = 63 + 83 + 423 + 443 = 160 000. Comme dans le carré précédent, la somme des carrés des huit éléments des deux diagonales est égale à la somme des carrés des huit éléments apparaissant en périphérie, excluant les coins. On a : 492 + 372 + 132 + 12 + 72 + 92 + 412 + 432 = 7600 et 62 + 22 + 142 + 422 + 442 + 482 + 362 + 82 = 7600. Quand on élève au cube chacun des mêmes éléments, on a aussi une égalité, soit : 493 + 373 + 133 + 13 + 73 + 93 + 413 + 433 = 320 000 et 63 + 23 + 143 + 423 + 443 + 483 + 363 + 83 = 320 000.

* * * * * * *

2e Comme figure géométrique, le carré est un polygone qui prend une large place dans la littérature récréative. On le considère comme la figure la plus parfaite, à cause de sa forme simple et de la propriété qu’il possède de se reproduire indéfiniment dans le plan. Il est la base de la configuration du tablier de nombreux jeux comme l'échiquier et le damier. La composition d'un carré au moyen de carrés congruents ou non relève du domaine récréatif. On peut construire notamment un carré avec respectivement deux, trois ou quatre carrés congruents, comme indiqué ci-dessous.

    

Voici deux autres façons d’obtenir un carré à partir de trois carrés :
1er On accole deux carrés (figure A). On les partage comme il est illustré en B. On assemble les six pièces obtenues autour du carré qui reste. On obtient le carré C qui est composé de six pièces.

2e On prend deux carrés. On trace une diagonale dans chaque carré et on découpe chaque carré en deux pièces en suivant la diagonale. On dispose les pièces obtenues le long du troisième carré de telle sorte que la diagonale touche au carré et qu’aucun triangle n’empiète l’un sur l’autre.

On trace une droite qui relie deux sommets consécutifs des angles droits des triangles. On découpe la partie excédentaire ; celle-ci comble l’espace vide entre la droite et l’autre triangle. On obtient ainsi un carré composé de neuf pièces.

Le carré est l'objet de dissection. Il peut être découpé en un nombre minimum n de pièces qui sont alors assemblées pour former chacune des figures indiquées. Sauf les croix, les polygones sont réguliers.

Le tableau suivant contient les 10 plus petits nombres pour chacune des classes de nombres figurés reliés au carré. La dimension D est donnée pour chaque classe.

Classe

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Gnomonique

1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Centré D1

1

1

4

8

12

16

20

24

28

32

36

Carré

2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 Centré D2

2

1

5

13

25

41

61

85

113

145

181

Pyramidal

3

1

5

14

30

55

91

140

204

285

385

Centré D3

3

1

6

19

44

85

146

231

344

489

670

Hyperpyramidal

4

1

6

20

50

105

196

336

540

825

1210

Centré D4

4

1

7

26

70

155

301

532

876

1365

2035

Pyramidal D5

5

1

7

27

77

182

378

714

1254

2079

3289

Étoilé

2

1

8

21

40

65

96

133

176

225

280

Centré D5

5

1

8

34

104

259

560

1092

1968

3333

5368

Centré étoilé

2

1

9

25

49

81

121

169

225

289

361

Deux carrés ayant chacun n unités de côté assemblés avec deux carrés ayant chacun (n + 1) unités de côté forment un carré ayant (2n + 1) unités de côté à la condition que deux carrés unitaires coïncident au centre du grand carré. Voici un carré dans lequel on a deux carrés 4 × 4 et deux carrés 5 × 5 :

Toute figure carrée pavée de petits carrés congruents et juxtaposés côté à côté est appelée, par extension, carré. L'arithmétique et la géométrie s'unissent quand on place des nombres, des lettres ou des symboles dans les petits carrés, selon des règles variées. 

Les carrés magiques à eux seuls ont fait l'objet de nombreux travaux. Les carrés formés de nombres reçoivent une appellation en fonction des règles d'arrangement des éléments.

Les classes de carrés mentionnées dans ce dictionnaire sont :

Algébrique (Carré)

Antimagique (Carré)

Antidiagonal  (Carré latin)

Antitruqué (Carré)

Arithmétique (Carré magique)

Arithmo-géométrique (Carré magique)

Associé (Carré magique)

Bimagique (Carré)

Bordures (Carré magique à)

Cabalistique (Carré)

Châssis (Carré magique à)

Chromatique (Carré)

Coloré (Carré)

Compartiments (Carré magique à)

Composé (Carré magique)

Croix (Carré magique à)

Curieux (Carré magique)

Dentelé (Carré)

Désenchanté (Carré)

Diabolique (Carré)

Distrait (Carré)

Dürer (Carré de)

Enchanté (Carré)

Franklin (Carré de)

Frénicle (Carré de)

Général (Carré magique)

Géométrique (Carré magique)

Gnomonique (Carré magique)

Gréco-latin (Carré)

Hétérogène (Carré)

Homogène (Carré magique)

Imparfait (Carré)

Intermédiaire (Carré)

Jaïna (Carré)

Latin (Carré)

Littéral (Carré magique)

Magico-magique (Carré)

Magique (Carré)

Multimagique (Carré)

Normal (Carré magique)

Orthogonal (Carré magique)

Parcours (Carré)

Parfait  (Carré) (2)

Pentamagique (Carré)

Premier (Carré magique)

Renversé (Carré magique)

Réversible (Carré magique)

Sator (Carré)

Semi-diabolique (Carré)

Semi-géométrique (Carré)

Semi-magique (Carré)

Surtruqué (Carré)

Talismanique (Carré)

Tétramagique (Carré)

Trimagique (Carré)

Troué (Carré magique)

Truqué (Carré)

Wafa (Carré de)

3e Au poker, combinaison des quatre cartes de la même couleur : quatre rois, par exemple.

© Charles-É. Jean

Index : C

Voir : 

Carré renversé

Carré trigonal

Règle d'Hoppenot

Voir aussi Carré dans l'Aide-mémoire.

Consultez le livre 1001 nombres charmants