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Ceci est le 10e article publié par Récréomath.


Notes pour une histoire 
des mathématiques récréatives

Par Charles-É. Jean

 

Les plus vieux problèmes de mathématiques ont été retrouvés en Égypte antique dans un papyrus. Le manuscrit qui contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, a été transcrit et enrichi par Ahmès vers 1650 avant l’ère chrétienne. C’était une copie d’une œuvre écrite deux siècles plus tôt. Voici le problème 26 du papyrus :

Problème 1. Si on additionne ensemble une quantité et son quart, on obtient 15. Quelle est cette quantité ?

Les Grecs ont en partie construit leur géométrie à partir de situations amusantes. C'est ainsi que Pythagore, Euclide, Archimède, Hipparque, Ptolémée, tout en introduisant de nouvelles idées mathématiques, ont largement contribué, par des problèmes demeurés célèbres, à mettre au jour les mathématiques récréatives. De tout temps, l’échange de problèmes a été un puissant moteur de développement des mathématiques. Chez les Égyptiens et les Orientaux, la question posée n'avait généralement aucune application dans la vie courante ; elle ne visait qu’à procurer un divertissement intellectuel.

"Chez tous les peuples anciens qui ont étudié les sciences, il est probable qu’il a été proposé et résolu des problèmes amusants, c’est-à-dire des problèmes qui frappent l’esprit et piquent la curiosité, soit par des énoncés d’une conception amusante, soit par l’ingéniosité des solutions ou encore par l’intérêt des résultats auxquels ils conduisent."
(Texte apparaissant dans un livre de Gaston Boucheny (1865-1935), Curiosités et récréations mathématiques, publié par Larousse en 1939)

Les paradoxes de Zénon d’Élée (v. 495-435 av. J.-C.) constituent, pour leur part, un défi à l’imagination et ont engendré l’analyse moderne.

Le grand mathématicien Archimède (287-212 av. J.-C.) a créé des méthodes de calcul et a introduit de nouvelles notions géométriques. Un des problèmes qu’il a posés consiste à déterminer le nombre de bêtes à cornes dans un troupeau. On lui doit aussi un casse-tête appelé syntémachion, lequel est à l’origine des casse-tête géométriques. Il s’est intéressé à des problèmes comme la rectification du cercle et la duplication du cube. Une classe de 13 solides a été nommée en son honneur.

Le mathématicien grec, Diophante d'Alexandrie, qui vécut au IIIe siècle a étudié les équations dont les solutions sont à valeurs entières. Aujourd’hui, ces équations sont dites diophantiennes. Il a écrit un traité sur les propriétés de certaines classes de nombres figurés. Voici un problème tiré de son Arithmétique :

Problème 2. Trouvez trois nombres tels que leur somme est un carré et que la somme de chaque paire de nombres est aussi un carré.

Il a aussi posé un problème où on recherche un quadruplet et un autre deux nombres carrés.

Au cours des premiers siècles de l’ère chrétienne et même avant, des auteurs grecs ont écrit de courts textes qui comprennent des épigrammes, des inscriptions funéraires, des oracles ou des réflexions philosophiques. Ces textes ont été compilés dans une collection littéraire Anthologie grecque. Parmi ces textes, on retrouve 48 récréations mathématiques (voir le texte) qui touchent à des sujets divers comme les poids, le partage, le temps, les héritages, le remplissage. Plusieurs de ces problèmes sont basés sur des notions mathématiques comme les fractions. Les auteurs des 48 problèmes se répartissent ainsi : un est dû à Cléobule de Lindos (6e s. av. J.-C.), un à Socrate (4e s. av. J.-C.), un à Diophante d’Alexandrie (4e s.), 32 à Métrodore (5e s.) et 13 d’auteurs anonymes. Parmi les récréations de Métrodore, on retrouve le problème de l’
épitaphe de Diophante.

Albinus Flaccus Alcuin (735-804), un théologien anglo-saxon, composa des récréations pour les fils de l'empereur Charlemagne dont il fut le précepteur. Ces récréations, la plupart arithmétiques, furent ensuite réunies dans un recueil Propositions pour aiguiser la perspicacité des jeunes gens (Voir le texte). Les deux problèmes suivants sont remarquables : celui des boisseaux et celui du loup, de la chèvre et du chou. D’après Jean-Étienne Montucla (1725-1799) dans son Histoire des mathématiques, l'oeuvre d'Alcuin est considérée comme le germe des récréations mathématiques. Elle a inspiré plusieurs auteurs médiévaux.

Abu l’Wafa (940-998), un mathématicien iranien, a écrit un traité sur les carrés magiques. Il a approfondi les dissections géométriques et les constructions géométriques à la règle et au compas. Il a notamment posé le problème de la partition de trois carrés congruents pour former un seul carré dit de Wafa.

Le manuscrit Bhakshali trouvé en Indes en 1881 aurait été écrit probablement avant le Xe siècle, si on en juge par son contenu analysé en rapport avec les connaissances de l’époque. On y trouve le problème suivant :

Problème 3. Vingt hommes, femmes et enfants reçoivent en tout vingt pièces. Chaque homme reçoit trois pièces, chaque femme une pièce et demie et chaque enfant une demi-pièce. Combien y a-t-il d'hommes, de femmes et d'enfants ?

Le philosophe et astronome d’origine espagnol Rabbi ben Ezra (1092-1167) s’est intéressé aux permutations, aux combinaisons et au calendrier. Il écrivit trois traités sur les nombres. C’est à lui qu’on doit la récréation du stratagème de Josèphe.

Le mathématicien italien Fibonacci (1175-1240), dont le vrai nom était Léonard de Pise, fut confronté aux travaux des mathématiciens arabes dès sa jeunesse lors de nombreux voyages. Il a publié en 1202 Liber Abaci, un traité en latin, dans lequel il prônait la numération indo-arabe. Il a aussi écrit Practica geometriae qui faisait la synthèse des connaissances géométriques et trigonométriques de son époque. Il fit certaines découvertes, notamment une façon de trouver des triplets de Pythagore et la relation entre les carrés parfaits et les nombres impairs. Il est surtout connu pour avoir découvert une suite qui est la solution à un problème de la prolifération de lapins et qui porte son nom grâce à Édouard Lucas.

Jordanus Nemorarius, dit aussi Jordanus Teutonicus (v. 1180-1237), un mathématicien d'origine allemande, a écrit des traités d’arithmétique et de géométrie. Il fut le premier à utiliser des lettres comme variables, sans conduire toutefois à des calculs littéraux. Il étudia les problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l'angle. Nemorarius et Fibonacci furent les deux plus grands mathématiciens de l’époque médiévale.

Le mathématicien arabe Ibn Kallikan, en 1256, a été le premier à poser un problème sur les échecs. Ce problème consiste à rechercher le nombre de l’échiquier.

C’est au début du xive siècle que Manuel Moschopoulos, écrivain de Constantinople, introduisit les carrés magiques en Europe en les traitant sous une forme mathématique. Jusqu'alors ceux-ci n’étaient connus que par les alchimistes et les magiciens. En 1300, Moschopoulos écrivit un traité mathématique sur le sujet. Il s’inspirait alors de l’œuvre de Al-Buni, un arabe, qui se servait de ces carrés pour établir des idées mystiques et enseigner des pratiques occultes.

Le plus vieux problème européen d’échecs a été posé par Guarini di Forli en 1512. C’est une question d’échange de cavaliers.

Le moine franciscain (1445-1517) Fra Luca Pacioli a publié en 1498 De divina proportione, un ouvrage dédié au nombre d’or et à la suite de Fibonacci. Dans De viribus quantitatis, œuvre inachevée et inédite, où il propose des récréations mathématiques, des proverbes et énigmes, il a posé ce problème :

Problème 4. Huit religieuses habitent chacune une cellule autour d’une cour intérieure. On compte trois religieuses sur chaque côté de la cour, soit une par cellule. Comment devront être disposées les huit religieuses pour qu’on puisse compter quatre religieuses sur chaque côté de la cour ?

On doit aussi à Pacioli le problème des ducats.

En 1484, un médecin parisien, Nicolas Chuquet (1445-1500), termina Triparty en la science des nombres. Cet ouvrage, écrit en français, s’intéressait à l’arithmétique, à l’algèbre et aux problèmes récréatifs. En effet, on y trouve un chapitre entier qui contient des récréations tantôt inédites, tantôt inspirées par les travaux de ses prédécesseurs. Ce chapitre est intitulé Jeux et esbatements qui par la science des nombres se font. Pour Nicolas Chuquet, c’était une façon d’appliquer ses théories mathématiques et de développer l’arithmétique des Arabes. Selon Émile Fourrey, né en 1869, "cet important ouvrage doit être considéré comme le plus ancien monument de la science arithmétique et algébrique française." Voici un problème récréatif dont Nicolas Chuquet est l’auteur :

Problème 5. Un homme a jeté trois dés et tu veux connaître les points de chacun. Alors, dis-lui qu’il double les points d’un dé à son choix et qu’il ajoute 5 au résultat. Puis, dis-lui de multiplier le résultat par 5 et d’additionner les points d’un deuxième dé. Enfin, dis-lui de placer les points du troisième dé comme unité du nombre. Et maintenant, demande-lui le nombre qu’il a obtenu. Au moyen de ce nombre, comment vas-tu faire pour deviner les points des trois dés ?

Chuquet a repris un problème d’Alcuin faisant intervenir un loup, une chèvre et un chou. On lui doit aussi des récréations comme celles des bijoux, des deniers et du tavernier.

Cornélius Agrippa (1486-1535) s’est intéressé à la construction de carrés magiques d’ordres 3 à 9 qu’il a associés aux sept planètes alors connues, le plus vieux carré magique connu étant celui de Jaïna.

Niccolo Tartaglia (1499-1557), un mathématicien italien, a écrit L’arithmétique qui contient plusieurs problèmes de mathématiques amusantes. On y trouve la récréation de traversées de ménages, celle de transvasement et celle de décimation dans laquelle apparaissent des chrétiens et des Turcs.

Le mathématicien italien Jérôme Cardan (1501-1576) a mentionné pour la première fois en 1550 un solitaire qu’il a appelé le baguenaudier.

Diego Palomino a publié en 1599 un traité sur les carrés magiques. Il fut sans doute inspiré par la célèbre peinture Melencholia gravée en 1514 par Albretch Dürer (1471-1528) dans laquelle un carré magique apparaît.

Au 17e siècle, une révolution scientifique s’opère. On réimprime les oeuvres des Anciens et on édite des recueils destinés à rendre plus accessibles les textes connus. "On y trouve, en effet, en premier lieu, des problèmes plaisants et délectables et des questions inouies, proposés à coup sûr, pour la plupart, aux savants et aux professeurs plus qu’aux écoliers et aux étudiants. Parmi ces ouvrages, voici, pris au hasard, les Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres de Bachet de Méziriac (1612, 1624), les Problemata duo nobilissima, de Cyriaque de Mangin (1616), les deux cents questions ingénieuses et récréatives extraictes et tirées des Oeuvres mathématiques de Valentin Menher, allemand, avec quelques annotations de Michel Coignet, le tout corrigé et mis en ordre par Didier Henrion, les Récréations mathématiques du Père Leurechon, qui furent à l’origine de tant de belles disputes et de savantes solutions qui venaient gonfler, à chaque réédition, le texte primitif ; ou encore les Questions inouies ou récréation des savants, de Mersenne." (Extrait de Livre, pouvoirs et société à Paris au XVIIe siècle, 1598-1701, vol. 1 p. 245).

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) mit à jour le texte grec de l’Arithmétique de Diophante en l’accompagnant d’une traduction latine. Il
écrivit le premier recueil imprimé de récréations mathématiques. Cet ouvrage fut publié en 1612 sous le titre de Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Il fut réédité six fois, la dernière étant en 1993. Le livre de Bachet rassemble plusieurs problèmes peu connus à l'époque. Outre que ce soit une mine de renseignements, c'est, selon Émile Fourrey, né en 1869, "un modèle d'ingéniosité et de science". Aussi, Bachet est considéré comme le pionnier des récréations mathématiques. On lui doit une récréation de poids, une autre de disparition intitulée le bourgeois une autre de cartes qui fut reprise par Ozanam. Bachet a découvert le plus petit nombre abondant impair. Il a indiqué un procédé de formation de carrés magiques normaux d'ordre impair. Il a proposé des intervalles au jeu de la bataille des nombres.

En 1624, un recueil Récréations mathématiques a été publié. Il est traditionnellement attribué au jésuite lorrain Jean Leurechon (1591-1670). Toutefois, il a été révisé et augmenté notamment par Henrik Van Etten en 1626 et Claude Mydorge en 1630, sans compter l’apport d’auteurs anonymes. Il a été traduit en allemand et enrichi par Daniel Schwenter (1585-1636). Il a été aussi traduit en anglais par William Oughtred en 1667 sous le titre Mathematical Recreations lately compiled by H. Van Etten, invented and written by W. Oughtred. Ce dernier auteur publia aussi en 1669 Récréations mathématiques, composées de plusieurs problèmes plaisans et facétieux.

Le Français Claude Mydorge (1585-1647) fit paraître en 1630 Examen du livre des récréations mathématiques et de ses problèmes. En 1659, Denis Henrion publia Les récréations mathématiques avec l’examen de ses problèmes.

René Descartes (1596-1650) a donné à l’algèbre un essor remarquable en proposant une notation et en utilisant le premier le terme équation. Il a aussi apporté une contribution à la théorie des nombres, tout en établissant une relation entre la géométrie et les nombres. Il a identifié des nombres amiables, triparfaits et tétraparfaits. Il a établi les lois de formation des nombres polyédriques

Pierre Simon de Fermat (1601-1665) est devenu célèbre grâce à son dernier théorème qui fut démontré en 1993 par l’Anglais Andrew Wiles. Il est à l’origine de la théorie des probabilités grâce la résolution d’un problème d’enjeux posé par le chevalier de Méré (1607-1684). On lui doit d’avoir imaginé un échiquier arithmétique, un treillis cubique, une classe de nombres qui portent son nom et qui apparaissent dans la formation de polygones réguliers. Il a contribué à approfondir les connaissances concernant les classes de nombres polygonaux, notamment en élaborant des propriétés. Il a étudié les classes de nombres amiables et multiparfaits. Il fut le premier à s’intéresser aux carrés magiques sous un angle scientifique, en les dissociant ainsi des talismans. Il a notamment imaginé des procédés généraux pour construire les carrés magiques impairement pairs.

Blaise Pascal (1623-1662) a écrit un traité sur les nombres figurés et un autre sur les carrés magiques à bordures. Il a étudié le triangle arithmétique qui porte son nom. En 1654, il a résolu, en correspondance avec Fermat, le problème d’enjeux posé par Méré.

En 1694, Jacques Ozanam (1640-1717) publia Récréations mathématiques et physiques. Cet ouvrage a eu beaucoup d’éditions avec additions successives. Ozanam, un autodidacte, avait un don remarquable pour communiquer ses connaissances mathématiques. Il accordait une grande importance à la valeur éducative des récréations. Considéré comme le précurseur des écrivains contemporains de mathématiques récréatives, il s'est inspiré largement des travaux de ses prédécesseurs. Son livre fut plus tard revu et enrichi par Montucla et traduit en anglais par Charles Hutton (1737-1823). On doit notamment à Ozanam le problème des cartes et celui des dîners

En Angleterre, William Leybourn (1626-1700) a publié Pleasure with Profit en 1694. Il s’inspira aussi de ses prédécesseurs.

À partir du XVIIIe siècle, des mathématiciens firent réapparaître des problèmes anciens, adaptés aux situations et aux lieux de leur époque, et en créèrent de nouveaux. L'analyse de quelques-unes de ces récréations permit alors de développer certains domaines des mathématiques ou de faire naître de nouvelles théories.

Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) fit l’analyse du célèbre problème des sept ponts de Königsberg. Ce problème souleva un grand intérêt dans la population et pourtant personne ne trouva de solution. Euler démontra qu’aucun chemin ne pouvait être tracé. Le loustic qui avait formulé le problème fut sans doute déçu de la réponse. Mais, il aurait été heureux d’apprendre qu’il avait provoqué l’éclosion d’une nouvelle branche des mathématiques, la théorie des graphes. Euler s’est intéressé à de nombreuses suites de nombres comme les nombres parfaits et les nombres amiables dont il donna une liste de 61 paires. Il a posé un problème touchant à la décomposition d’un polygone et qui est à l’origine de la suite de Catalan. Il a résolu de nombreux problèmes comme ceux de la croix, des deniers, des fausses enveloppes, des officiers, des œufs et des rencontres. Il a étudié le parcours du cavalier sur un échiquier et celui du chameau.

Le XIXe siècle s'est intéressé à plusieurs sujets, notamment aux problèmes liés aux échecs, aux carrés magiques, au solitaire, au taquin, à la géométrie de position et aux situations logiques. Cette dernière classe de problèmes fut enrichie, entre autres, grâce aux travaux de Charles L. Dodgson, mieux connu sous le pseudonyme de Lewis Carroll (1832-1898). On lui doit notamment un diagramme, le problème des blessés et celui de l’horloge.

En 1837, Bernard Violle a publié Traité complet des carrés magiques simples et composés. Cet ouvrage en deux tomes partage les carrés magiques en deux classes : ceux d’ordre pair et ceux d’ordre impair. L’auteur traite notamment des carrés magiques à bordures, des carrés magiques à compartiments, des carrés magiques à croix, des carrés magiques à châssis. On y trouve aussi un essai sur les cercles magiques, de même qu’un traité des cubes magiques qu’on croit être le premier traité sur le sujet.

Édouard Lucas (1842-1891), pour sa part, a composé et analysé des récréations en relation principalement avec l'analyse combinatoire, la topologie et la théorie des nombres. Il a écrit de nombreux articles sur des sujets à caractère récréatif et publié plusieurs livres, dont quatre tomes de Récréations mathématiques. Son œuvre est un modèle d’ingéniosité et de subtilité. Le problème de la traversée des ménages est bien connu. Édouard Lucas, dans Théorie des nombres, l’a résolu en faisant intervenir n couples. Il proposa des problèmes de carrés diaboliques, d’allumettes, de taquins continentaux, de ménages autour d’une table, d’assemblage de dominos en quadrilles. Il a montré l’utilité des échiquiers arithmétiques et étudié les réseaux bicursaux. Il a inventé un abaque et des solitaires dont la tour de Hanoï et celle de Brahma. Il a analysé de nombreuses suites de nombres dont les nombres figurés et une suite qui porte son nom.

S’inspirant des problèmes traditionnels et des devinettes transmises de façon orale, l'Américain Sam Loyd (1841-1911) et le Britannique Henry Ernest Dudeney (1857-1930), qui furent en même temps rivaux et amis, ont donné aux récréations une tournure nouvelle en proposant de nombreuses situations inédites. Tous deux composèrent des problèmes touchant notamment aux propriétés des nombres, à la construction, au partage et au découpage de figures géométriques, aux réseaux, aux combinaisons, au déplacement de pièces d’échecs, aux carrés magiques, aux labyrinthes, aux paradoxes, aux solitaires dont le tangram.

Le Britannique W. W. Rouse Ball (1850-1925) a publié en 1892 Mathematical Recreations and Essays. Ce livre étudie de façon détaillée les récréations arithmétiques et géométriques, les polyèdres, le parcours des pièces d’échecs, les carrés magiques, la topologie, l’analyse combinatoire, la cryptanalyse. Le Canadien d’origine britannique H. S. M. Coxeter (1907-2003) mit à jour les données de ce livre si bien qu’il fut édité pour une 13e fois en 1987.

Au XXe siècle, des dizaines d'auteurs de nombreux pays ont pris la relève. Citons : Pierre Berloquin, Boris A. Kordiemsky, Maurice Kraitchik, Yakov Perelman, Fred. Schuh, J. A. H. Hunter, Gyles Brandreth, Édouard Fourrey, Joseph S. Madachy. Certains ont analysé des jeux, des récréations ou des solitaires ; d'autres en ont composé. Ils ont ainsi élargi des domaines existants ou encore ouvert de nouvelles voies.

L'Américain Martin Gardner (1914-2010) a contribué plus que tout autre à enrichir les mathématiques récréatives. Auteur de nombreux articles, en particulier dans la revue Scientific American, et d'une quarantaine de livres, Martin Gardner a analysé de façon remarquable un grand nombre de sujets et a composé de nombreux problèmes. À ce titre, il peut être considéré comme le père des mathématiques récréatives. Voici quelques-uns des nombreux sujets analysés par Martin Gardner :

Anneaux de Borromée

Le battage de cartes

La bouteille de Klein

Les carrés magiques

Le soma

Les dissections géométriques

La divisibilité

Les hexaflexagones

L’hypercube

Le hex

Des jeux de société

Les pièces aux échecs

Les pièces de monnaie

Les polyamants

Les polyominos

Les reptuiles

Le solitaire

Le triangle de Pascal

L’américain William L. Schaaf a produit dans les années 1970 un guide bibliographique dans lequel il a dressé une liste exhaustive des articles et des livres de mathématiques récréatives qui ont été publiés jusqu'à lui. Cet ouvrage permet de saisir l’ampleur de la production de la littérature récréative.

Dans les années 1970, le Hongrois Ernö Rubik a imaginé un cube formé de 26 petits cubes visibles multicolores. Ce solitaire fut appelé cube de Rubik. Il eut un énorme succès dans le monde entier. Il n’était pas rare de voir un amateur manipuler le cube dans les cafés, les trains, les gares, etc. Un siècle plutôt, le taquin qui avait été popularisé par Sam Loyd avait été aussi très populaire. Alors que le cube de Rubik se joue dans l’espace, le taquin se joue dans le plan. À la suite du succès du cube de Rubik, de nombreux solitaires à trois dimensions furent mis sur le marché. Au début des années 2000, le sudoku, un autre solitaire, fit fureur sur la planète.

À la fin du XXe siècle, l’entrée massive d’internet dans les foyers a permis aux mathématiques récréatives de faire un nouveau pas. De nombreux sites ont été mis sur pied. Des chercheurs dont les travaux n’avaient pas encore été publiés ont profité de ce réseau pour présenter leur découverte au monde entier. Les écrits ne sont pas tous d’égale valeur ; mais ils permettent à un plus grand nombre de participer à l’enrichissement de cette discipline. 

De plus, la rapidité et la simplicité des communications sont des éléments majeurs dans la diffusion. Internet facilite les échanges de problèmes et ainsi reprend la voie qui a permis l’éclosion et le développement des mathématiques récréatives. Û

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Solutions des problèmes
Solution 1. La quantité est 12.

Solution 2. Les nombres sont 41, 80 et 320.

Solution 3. Il y a deux hommes, cinq femmes et 13 enfants.

Solution 4. On doit placer deux religieuses dans chaque coin.

Solution 5. On soustrait 250 du nombre obtenu pour trouver un nombre dont les chiffres indiquent les points de ces dés dans l’ordre.